高中数学 第四章 定积分 1 定积分的概念同步练习 北师大版选修2-2.DOC

高中数学 第四章 定积分 1 定积分的概念同步练习 北师大版选修2-2高手支招6体验成功基础巩固1.用定积分定义求由x=2,x=3,y=,y=0围成的图形的面积.解:在2,3上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间2,2+,2+,2+2+,3,记第i个区间为2+,2+(i=1,2,n),其长度为x=. 分别过上述n-1个分点作x轴的垂线与曲边梯形相交,把曲边梯形分成n个小曲边梯形,它们的面积分别为s1、s2、sn,显然s=,设f(x)=,如图所示,当n很大时,x很小,在区间2+,2+上,可以认为函数f(x)=的值变化很小,近似地等于一个常数,不妨认为它近似地等于i=处的函数值f(i)=,这样在区间2+,2+上,用小矩形面积si近似地代替si,则有sisi=f(i)x=(i=1,2,n).sn=si=f(i)=.思路分析:定积分的概念产生于分割、近似代替、求和、取极限这四步.故用四步法求定积分要注意解题的层次性,当然本题省略了求极限这一步.2.已知某物体做直线运动,其在时刻t(s)的速度为v(t)=t3(m/s),求物体在时刻t=0秒至时刻t=5秒这5秒时间内运动的距离.解:s=v(t)dt=(k）3(n)=k3(n)=2(n)=156.25(米）.答:该物体在5秒内运动的距离为156.25米.思路分析：v（t）dt指速度为v（t）的运动的物体从时刻a到时刻b所运动过的路程。本题还是用四步法求定积分，简化了解题过程.3.用定积分表示抛物线y=x2-2x+3与直线y=x+3所围成的图形面积.解:解方程组,得交点横坐标为x=0和x=3.作图如下:曲边梯形面积为(x2-2x+3)dx,梯形面积为(x+3)dx,阴影部分的面积为:(x+3)dx-(x2-2x+3)dx=(-x2+3x)dx=.思路分析:由图可知所求面积为一个梯形面积与一个曲边梯形面积的差.4.写出图中阴影部分s的计算公式.解:阴影面积为sabed+sbcfe-sacfd,即s=f(x)dx+g(x)dx-(x)dx.思路分析:如果欲计算面积的图形不是曲边梯形,那么计算这样图形面积的总体思路是:首先把图形分成几个曲边梯形,然后再计算面积.5.自地面垂直向上发射火箭,火箭的质量为m,试计算将火箭发射到距地面的高度为h时所做的功.解:地球吸引火箭的力为:f(r)=mg,其中m表示火箭的质量,r表示地球的半径,r表示地球中心到火箭的距离.将r,r+h分成n等份,得ri=,ri=r+i.故f(ri)=mg.故火箭用以克服地球引力所做的功为w=f（ri）ri=mg=mgr2ri=mgr2dr=mgr2（-）.思路分析:发射火箭需加外力,它必须克服地球的引力,用以克服地球引力的外力与地球引力大小相等,因此被积函数就是地球对物体的引力,问题得解.6.利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积.(1)y=0,y=,x=2;(2)y=x-2,x=y2.解：(1)曲线所围成的区域如图1所示:设此面积为s,则s=（-0）dx=dx.(2)曲线围成的平面区域如图2所示:s=a1+a2,a1由y=,y=-,x=1围成;a2由y=x,y=x-2,x=1和x=4围成.a1=-（-)dx,a2=-（x-2）dx，s=2dx+（-x+2）dx. 图1 图2思路分析：用定积分计算平面区域的面积,首先要确定已知曲线所围成的区域,由区域的形状选择积分函数,再确定积分上、下限,当计算公式s=|f（x）-g（x）|dx中的f(x)或g(x)是分段函数时,面积要分段计算.综合应用7.若（x-1）dx=-4,求a的值.解：由（x-1）dx=xdx-dx=0-2a=-2a=-4,a=2.思路分析：利用定积分的性质、几何意义是关键.8.用定积分的几何意义求dx(ba)的值.解:dx表示f(x)= ,x=a,x=b,y=0所围成图形的面积.由y=得y2+(x-)2=()2(y0).故f(x)=表示的曲线是半圆.故