高考数学一轮复习 第五章 数列 5.2 等差数列及其前n项和考向归纳(1).doc

等差数列及其前n项和考向1等差数列的基本运算1(2015重庆高考)在等差数列an中，若a24，a42，则a6()a1 b0 c1 d6【解析】an为等差数列，2a4a2a6，a62a4a2，即a62240.【答案】b2(2015陕西高考)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为_【解析】设数列首项为a1，则1 010，故a15.【答案】51等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题2等差数列前n项和公式的应用方法根据不同的已知条件选用两个求和公式，如已知首项和公差，则使用公式snna1d，若已知通项公式，则使用公式sn.考向2等差数列的判定与证明(1)设an(n1)2，bnn2n(nn*)，则下列命题中不正确的是()aan1an是等差数列 bbn1bn是等差数列canbn是等差数列 danbn是等差数列(2)(2014全国卷)已知数列an的前n项和为sn，a11，an0，anan1sn1，其中为常数证明：an2an；是否存在，使得an为等差数列？并说明理由【解析】(1)对于a，an(n1)2，an1an(n2)2(n1)22n3，设cn2n3，cn1cn2.an1an是等差数列故a正确对于b，bnn2n(nn*)，bn1bn2n，设cn2n，cn1cn2，bn1bn是等差数列故b正确对于c，an(n1)2，bnn2n(nn*)，anbn(n1)2(n2n)3n1，设cnanbn3n1，cn1cn3，anbn是等差数列故c正确对于d，anbn2n2n1，设cnanbn，cn1cn不是常数故d错误【答案】d(2)证明：由题设知anan1sn1，an1an2sn11，两式相减得an1(an2an)an1，由于an10，所以an2an.由题设知a11，a1a2s11，可得a21.由知，a31，令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n3；a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2，因此存在4，使得数列an为等差数列等差数列的四个判定方法1定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数2等差中项法：证明对任意正整数n都有2an1anan2后，可递推得出an2an1an1ananan1an1an2a2a1，根据定义得出数列an为等差数列3通项公式法：得出anpnq后，得an1anp对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列an为等差数列4前n项和公式法：得出snan2bn后，根据sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列an为等差数列变式训练(2014大纲全国卷)数列an满足a11，a22，an22an1an2.(1)设bnan1an，证明bn是等差数列；(2)求an的通项公式【解】(1)证明：由an22an1an2得an2an1an1an2，即bn1bn2.又b1a2a11，所以bn是首项为1，公差为2的等差数列(2)由(1)得bn12(n1)2n1，即an1an2n1.于是(ak1ak)(2k1)，所以an1a1n2，即an1n2a1.又a11，所以an的通项公式为ann22n2.考向3等差数列性质的应用(1)(2015广东高考)在等差数列an中，若a3a4a5a6a725，则a2a8_.(2)(2016郑州模拟)已知等差数列an满足a2a44，a3a510，则它的前10项和s10_.(3)设等差数列an的前n项和为sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，sn324(n6)，求数列an的项数及a9a10.【解析】(1)因为等差数列an中，a3a4a5a6a725，所以5a525，即a55.所以a2a82a510.(2)a2a42a34，a32，又a3a52a410，a45，da4a33，又a3a12d2，a14，s1010(4)395.【答案】(1)10(2)95(3)由题意知a1a2a636，anan1an2an5180，得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216，a1an36，又sn324，18n324，n18.即a1a1836，从而a9a10a1a1836.等差数列性质的应用技巧1本例中主要使用了等差数列中两项和的性质，即若mnpq2k，则amanapaq2ak.2掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口变式训练1在等差数列an中，3(a3a5)2(a7a10a13)24，则该数列前13项和是_【解析】3(a3a5)2(a7a10a13)32a423a106a46a1024，a4a104，a1a134.s1326.【答案】262已知等差数列an的前n项和为sn，且s1010，s2030，则s30_.【解析】s10，s20s10，s30s20成等差数列，且s1010，s2030，s20s1020，s30s202201030，s3060.【答案】60考向4等差数列的前n项和命题角度1等差数列前n项和的最值1(2014北京高考)若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，则当n_时，an的前n项和最大【解析】a7a8a93a80，a80.a7a10a8a90，a9a80.数列的前8项和最大，即n8.【答案】82等差数列an中，设sn为其前n项和，且a10，s3s11，则当n为多少时，sn最大？【解】法一由s3s11，得3a1d11a1d，则da1.从而snn2n(n7)2a1，又a10，所以0.故当n7时，sn最大法二由于snan2bn是关于n的二次函数，由s3s11，可知snan2bn的图象关于n7对称由方法一可知a0，故当n7时，sn最大法三由方法一可知，da1.要使sn最大，则有即解得6.5n7.5，故当n7时，sn最大法四由s3s11，可得2a113d0，即(a16d)(a17d)0，故a7a80，又由a10，s3s11可知d0，所以a70，a80，所以当n7时，sn最大命题角度2求数列|an|的前n项和3在公差为d的等差数列an中，已知a110，且a1,2a22,5a3成等比数列(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|a2|a3|an|.【解】(1)由题意得，a15a3(2a22)2，即a15(a12d)2(a1d)22，整理得d23d40，解得d1或d4.当d1时，ann11，当d4时，an4n6.总上知d1，ann11(nn*)或d4，an4n6(nn*)(2)设数列an的前n项和为sn.因为d0，由(1)得d1，ann11.令an0，即n110得n11，从而当n11时，an0，当n12时，an0.所以当n11时，|a1|a2|a3|an|snn2n；当n12时，|a1|a2|a3|an|(a1a2a11)(a12a13an)2s11snn2n110.综上所述，|a1|a2|a3|an|1求等差数列前n项和最值的方法(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意nn*.(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使