高考数学 玩转压轴题 专题2.15 超越方程反解难巧妙构造变简单.doc

专题2.15 超越方程反解难巧妙构造变简单【题型综述】导数研究超越方程超越方程是包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数，与超越方程相对的是代数方程超越方程的求解无法利用代数几何来进行大部分的超越方程求解没有一般的公式，也很难求得解析解在探求诸如，方程的根的问题时，我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决此类题的一般解题步骤是：1、构造函数，并求其定义域2、求导数，得单调区间和极值点3、画出函数草图4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与轴的交点情况求解【典例指引】例1已知函数在处取得极小值（1）求实数的值；（2）设，其导函数为，若的图象交轴于两点且，设线段的中点为，试问是否为的根？说明理由【思路引导】（1）先求导数，再根据，解得，最后列表验证（2）即研究是否成立，因为，利用，得，所以=0，转化为其中，最后利用导数研究函数单调性，确定方程解的情况（2）由（1）知函数函数图象与轴交于两个不同的点，（ ），两式相减得 下解即令，即令，又，在上是増函数，则，从而知，故，即不成立故不是的根例2设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）令，其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围（3）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围【思路引导】（1）先求导数然后在函数的定义域内解不等式和的区间为单调增区间， 的区间为单调减区间；（2）先构造函数再由以其图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，知导函数恒成立，再转化为求解；（3）先把握有唯一实数解，转化为有唯一实数解，再利用单调函数求解【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究方程的根、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题利用导数研究函数的单调性的步骤：确定函数的定义域；对求导；令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间例3已知函数（）（1）讨论的单调性；（2）若关于的不等式的解集中有且只有两个整数，求实数的取值范围【思路引导】（1）求出，分两种情况讨论，分别令 得增区间，令得减区间；（2） ，令，利用导数研究其单调性，结合零点定理可得结果试题解析：（1），当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在上单调递增，在单调递减；（2）依题意， ，令，则，令，则，即在上单调递增又，存在唯一的，使得当， 在单调递增；当， 在单调递减，且当时，又， ，故要使不等式解集中有且只有两个整数，的取值范围应为【同步训练】1已知函数（），且的导数为（）若是定义域内的增函数，求实数的取值范围；（）若方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围【思路引导】（）只需，即恒成立，求出即可得结果；（）原方程等价于，研究函数的单调性，结合图象可得结果 令，解得或列表得：100增极大值减极小值增由表可知当时， 取得极大值；当时， 取得极小值又当时，此时因此当时，；当时，；当时， ，因此实数的取值范围是2已知函数的图象的一条切线为轴（1）求实数的值；（2）令，若存在不相等的两个实数满足，求证： 【思路引导】（1）对函数求导，由题可设切点坐标为，由原函数和切线的斜率为可得方程组，解方程组得值；（2）由题知，可构造去绝对值后的函数，利用导数与函数单调性的关系，判断的单调性，再构造函数，利用导数判断出的单调性，最后可令，利用单调性可得结论 且在上单调递减，在上单调递增，当时， ，记，记函数的导函数为，则 3已知函数（），（1）若的图象在处的切线恰好也是图象的切线求实数的值；若方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围（2）当时，求证：对于区间上的任意两个不相等的实数， ，都有成立【思路引导】（1）首先求函数的图象在处的切线， ， ，又因为切点为，所以切线方程为，于是问题转化为直线与函数图象相切，于是可以根据直线与抛物线相切进行解题；问题转化为方程在区间内有唯一实数解，参变量分离得，设， ，研究的单调性、极值，转化为直线与有且只有一个交点，（2）当时， 在上单调递增， 在上单调递增，设，则， ，于是问题转化为，构造函数，通过函数在上单调递减，可以求出的取值范围， ，函数单调递增， ， ，函数单调递减， ，且时， ，；证明：（2）不妨设，则， ，可化为设，即，在上单调递减，恒成立，即在上恒成立，从而，当时，命题成立4已知函数（1）设，记的导函数为，求；若方程有两个不同实根，求实数的取值范围；（2）若在上存在一点使成立，求实数的取值范围【思路引导】（1）对进行求导，将代入可得的值；对进行二次求导，判断的单调性得其符号，从而可得的单调性，结合图象的大致形状可得的取值范围；（2）将题意转化为，令，题意等价于在上的最小值小于0，对进行求导，对导函数进行分类讨论，判断单调性得其最值（2）由题可得，令，则在上的最小值小于0，又，1，当时，即， 在上递减，所以，解得；2，当即， 在递增，解得；3，当，即，此时要求又，所以，所以此时不成立，综上或点睛：本题考查导数的运用：求考查函数与方程的联系单调区间最值，同时考查不等式的存在性转化为求函数的最值问题，正确求导是解题的关键在正确求导的基础上，利用导数与的关系得到函数的单调区间，也是在高考中的必考内容也是基础内容；注意存在性问题与恒成立问题的区别5已知函数（1）试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数；（2）若为自然数，则当取哪些值时，方程在上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数的取值范围【思路引导】（1）先求函数导数，根据导函数零点确定函数单调区间，再根据为某个单调区间的子集得的取值范围，（2）结合三次函数图像确定的取值范围：当,且时，方程在上有可能有三个不等实根，再根据端点值大小确定实数的满足的条件： ，最后解不等式可得实数的取值范围只需满足即可因为，且，因而，所以，即，综上所述，当,且时，满足题意，此时实数的取值范围是6已知函数，且直线是函数的一条切线（1）求的值；（2）对任意的，都存在，使得，求的取值范围；（3）已知方程有两个根，若，求证: 【思路引导】（1）对函数求导， ，设直线与函数相切与点，根据导数的几何意义可得， ，解得，求出；（2）对任意的 ，都存在，使得，只需要的值域是值域的子集，利用导数的方法分别求、的值域，即可求出的取值范围；（3）根据题意得,两式相减得， ，所以，令，则，则，令，对求导，判断的单调，证明 (2) 由（1）得，所以，当， 时， ，所以在上单调递减，所以当， 时， ， ，当时， ，所以在上单调递增，所以当时， ，依题意得 ，所以，解得(3) 依题意得,两式相减得，所以，方程可转化为7已知函数（为自然对数的底数，），（1）若，求在上的最大值的表达式；（2）若时，方程在上恰有两个相异实根，求实根的取值范围；（3）若，求使的图象恒在图象上方的最大正整数【思路引导】 (1)先求函数导数，根据定义域以及 取值分类讨论导函数是否变号，确定函数单调性，进而确定函数最值，(2)作差函数，求导得原函数先减后增，因此要有两个相异实根，需极小值小于零，两个端点值大于零，解不等式可得的取值范围； (3)实际为一个不等式恒成立问题，先转化为对应函数最值问题（利用导数求差函数最小值），再研究最小值恒大于零问题，继续求导研究函数单调性，并结合零点存在定理限制或估计极点范围，最后范围确定最大正整数试题解析：(1) 时，,；当时，在上为增函数，此时，当时，在上为增函数，故在上为增函数，此时当时，在上为增函数，在上为减函数，若，即时，故在上为增函数，在上为减函数，此时若，即时，在上为增函数，则此时，综上所述： （2），在上单调递减，在上单调递增，在上恰有两个相异实根， ，实数的取值范围是， 8设函数（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数的值；（3）若方程，有两个不相等的实数根，比较与0的大小【思路引导】 (1)先求函数导数,再求导函数零点 ,根据定义域舍去,对进行讨论, 时，单调增区间为时,有增有减;(2) 函数有两个零点，所以函数必不单调,且最小值小于零 ,转化研究最小值为负的条件:,由于此函数单调递增,所以只需利用零点存在定理探求即可,即取两个相邻整数点代入研究即可得的取值范围,进而确定整数值,（3）根据，所以只需判定大小,由可解得,代入分析只需比较大小, 设,构造函数,利用导数可得最值,即可