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微分中值定理练习题微分中值定理练习题 1 试证拉格朗日中值定理 2 设 f x在 0 1上连续 在 0 1 内可导 0 1 0ff 1 1 2 f 试证 1 存在 1 1 2 使 f 2 对任意实数 0 使 1ff 3 模型 设 f x在 a b上连续 在 a b内可导 且 0f af b 则下列结论 皆成立 1 存在 a b 使 0ff 为实常数 2 存在 a b 使 1 0 k fkf 0 kk 为实常数 3 存在 a b 使 0fgf g x为连续函数 4 设 f x在 0 1上连续 在 0 1 内可导 1 0 1 0 1 2 fff 试证 1 存在 1 1 2 使 f 2 存在 0 使 2 3 1ff 5 模型 设 f x g x在 a b上皆连续 在 a b内皆可导 且 0 0f ag b 则存在 a b 使 0fgfg 6 设 f x在 0 1上连续 在 0 1 内可导 0 0f k为正整数 求证 存在 0 1 使 fkff 7 设 f x在 0 1上连续 在 0 1 内可导 0 0f 当0 x 时 0 f x 试证 对任意正整数k 存在 0 1 使 1 1 fkf ff 8 设0 x 试证ln 1 1 x xx x 9 设不恒为常数的函数 f x在 a b上连续 在 a b内可导 且 f af b 证明 在 a b内至少有一点 使得 0f 10 设 f x在 a b上连续 在 a b内可导 证明在 a b内至少存在一点 使 bf baf a ff ba 11 设0ab 函数 f x在 a b上连续 在 a b内可导 证明存在一点 a b 使 ln b f bf af a 12 设 f x在 a b上连续 在 a b内可导 且0ab 证明 存在 a ba b 使 2 abf f 13 设 f x在 a b内有 123 0 fxx x x 是 a b内相异的三个点 求证 123 123 1 33 xxx ff xf xf x 14 若 f x在 0 1上有三阶导数 且 0 1 0ff 设 3 F xx f x 试证 在 0 1 内至少存在一点 使得 0F 15 设 f x在 0 1上可导 在 0 1 内有二阶导数 且 0 1 0ff 试证 方程2 0fxxfx 在 0 1 内有一实根 16 设 f x在 a b上连续 在 a b内可导 试证 存在 a b 使得 ff a f b 17 设0ab 函数 f x在 a b上连续 在 a b内可导 且 f ab f ba 试证明 存在 a b 使得 f f 18 设 f x在0 2 上连续 在0 2 内可导 证明 0 2 使 sin22 cos20ff 19 设 f x在 0 1上连续 0 1 内可导 且 1 0f 证明 0 1 使 tan 0ff 20 设 f x在 1 1 上具有三阶连续导数 且 1 0 1 1 0 0 ff f 证明 1 1 使 3f 21 设 f x在 0 a aa 上具有二阶连续导数 且 0 0f 1 写出 f x的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式 2 证明 a a 使 3 3 a a a ff x dx 22 设 0 1 x 证明 22 1 ln 1 xxx 23 设 0 lim1 x f x x 且 0fx 证明 f xx 24 设函数 f x 在闭区间 0 1上连续 在开区间 0 1 内可导 且 1 0 0 1 3 ff 证明 存在 11 0 1 22 使得 22 ff 25 证明 1 对任意正整数n 都有 111 ln 1 1nnn 2 设 111 1ln 1 2 23 n ann n 证明数列 n a收敛 微分中值定理微分中值定理练习题答案或提示练习题答案或提示 凡是证明题均为提示 为节约篇幅 在题号后不再写 提示 二字 1 作辅助函数 f bf a F xf xx ba 用罗尔定理 2 1 令 xf xx 用零点定理 2 令 x F xef xx 用罗尔定理 3 1 令 x F xe f x 用罗尔定理 2 令 k x F xef x 用罗尔定理 3 令 G x F xef x 其中 G xg x 用罗尔定理 4 1 令 xf xx 用零点定理 2 令 3 x F xef xx 5 令 F xf x g x 用罗尔定理 6 令 1 kg xx 用模型 第 5 题 7 令 1 k F xf x fx 8 令 ln 1 f tt 在 0 x用拉格朗日定理 9 ca b 使 f cf af b 若 f cf a 则在 a c上用拉格朗日定理 若 f cf a 则在 c b上用拉格朗日定理 10 令 F xxf x 用拉格朗日定理 11 令 ln g xxf x g x 在 a b上用柯西中值定理 12 令 2 g xxf x g x 在 a b上先用柯西中值定理 然后用拉格朗日中值定理 13 令 123 0 3 xxx x 将 123 f xf xf x在 0 x处展开成一阶泰勒公式 将三式相 加可证得结论 14 将 3 F xx f x 在0 x 处展开成二阶泰勒公式 15 f x在 0 1上先用罗尔定理 11 0 0 1 fxx 令 2 F xx fx 在 1 0 x上 用罗尔定理 16 令 F xf xf abx 在 a b上用罗尔定理 17 令 F xxf x 在 a b上用罗尔定理 18 令 sin2F xf xx 用罗尔定理 19 令 sinF xf xx 用罗尔公式 20 写出 f x的二阶麦克劳林公式 拉格朗日型余项 21 2 利用 1 的展开式 对展开式两边取从a 到a的定积分 22 令 22 1 l