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第二章习题答案1设a1，a2，an均为正数，且. 证明函数在Cn上定义了一个向量范数.证明：(1) 正定性：对，有f(x)0，当x=0时，f(x)=0.(2) 奇次性：. (3) 三角不等式： . 所以函数f(x)是一个向量范数.2. 证明：在R1中任何向量范数，一定有 .证明：对任意向量范数，根据向量范数的定义和性质，又因为，有 ，其中.3. 设是Pn中的向量范数，则也是Pn中的向量范数的充要条件为A是可逆矩阵.证明：必要性：如果矩阵A不可逆，则存在，使得，即，这与向量范数的正定性矛盾，所以矩阵A可逆. 充分性：矩阵A可逆，对，则，所以，正定性满足；，奇次性满足；，三角不等式也满足，故是向量范数.4. 证明(1) ;(2) 与是相容的；(3) 与、均相容；(4) .证明：(1) 设，令. 根据定义有，所以有，同时有，所以有. (2) 见课本61页下. (3) 令，. 因为. 所以，与相容; 因为. 所以，与相容. (4) 令，因为，同时有有上述结果有，所以(4)成立.5. 若，且，则，.证明：根据定义；.6. 设x，Ax的向量范数为，证明：它对应的算子范数是.证明：对任意矩阵A，存在酉矩阵U，V，得到矩阵A的奇异值分解A=UDV. 其中是矩阵A的奇异值，D=diag(). 根据定义，有=max.7. 若是算子范数，则(1) ;(2) ;(3) .证明：根据算子范数定义， (1) ; (2) ，； (3) ，令，则，得，从而.8. 设，是对应于两个向量范数，的算子范数，B可逆，则.证明：根据定义，有，把代入上式，得到，令y=Bx，则，则.9. 设，是Cn上的两个向量范数，a1，a2是两个正实数，证明(1) ;(2) 都是Cn上的向量范数.证明：需要证明(1)和(2)满足范数定义中的三个条件即可.(1) (正定性) 当时，则；当x=0时，则. 奇次性显然成立. (三角不等式) . (1)证毕.(2) 正定性和奇次性同(1)，容易得到. 下面证明三角不等式：. 证毕.10. 证明.证明：因为，即，其中为半正定矩阵AHA的特征值. 又由于，即. 证毕.11设是上的相容矩阵范数，B，C都是n阶可逆矩阵，且及都是小于或等于1，证明对任何定义了上的一个相容矩阵范数.证明：首先证明是一个矩阵范数。 (正定性) 对任意，则，即，且当且仅当A=0. (奇次性) . (三角不等式) .下面证明相容性. 证毕
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