高中数学 第二章 平面向量 2.3 从速度的倍数到数乘向量课堂导学案 北师大版必修4.doc

2.3 从速度的倍数到数乘向量课堂导学三点剖析1.向量数乘的定义及其运算律【例1】 在平行四边形abcd中，=a,=b,求、.思路分析：由平面几何的知识可知，对角线相等且互相平分，用已知向量可以表示所求向量；也可用所求向量表示已知向量.联立方程组，求得所求向量.解：如右图，利用平行四边形的性质,得=a,=b.=+=-,=a-b.又=+,=,=a+b.友情提示 把向量的加减同数乘结合起来，用来解决分向量的加减问题.各个击破类题演练 1若o为平行四边形abcd的中心，=4e1,=6e2,则3e2-2e1=_.解析:3e2=,2e1=,3e2-2e1=-=(-)=(+)=.答案：变式提升 1化简(4a-3b)+b-(6a-7b)=_.解析：原式=（4a-3b+b-a+b）=(4-)a+(-3+)b=(a-b)=a-b.答案：a-b2.对向量数乘运算律的应用【例2】 设x是未知向量，解方程2（x-a）-(b-3x+c)+b=0.思路分析：向量方程与实数方程类似，我们可用和实数方程类似的方法来求解.解：原方程化为2x-a-b+x-c+b=0，x-a+b-c=0，x=a-b+c，x=a-b+c.友情提示 向量的加、减、数乘混合运算与实数的加、减、乘混合运算十分类似，运算时完全可以按照实数运算的思路进行.类题演练 2设x为未知向量，解方程x+3a-b=0.解析:原方程化为x+(3a-b)=0.所以x=0-(3a-b),x=-3a+b.所以x=-9a+b.变式提升 2如右图所示,已知abcd的边bc、cd上的中点分别为k，l，且= e1,= e2，试用e1, e2表示，.解析：设=x,则=x,=e1-x,=e1-x，又=x,由+=，得x+e1-x= e2,解方程，得x=e2-e1即=e2-e1.由=-，=e1-x,得=e1+e2.3.向量共线的应用【例3】 已知两个非零向量e1和e2不共线，且ke1+ e2和e1+ke2共线，求实数k的值.思路分析：因为ke1+e2和e1+ke2共线，所以一定存在实数，使得ke1+e2=(e1+ke2).解：ke1+e2和e1+ke2共线，存在实数，使得ke1+e2=(e1+ke2).(k-)e1=(k-1)e2.e1和e2不共线，k=1.友情提示 本题从正反两方面运用了向量数乘的几何意义，利用共线得到关于k的方程，用待定系数法解决问题.类题演练 3a=e1+2e2,b=3e1-4e2,且e1、e2共线，则a与b（ ）a.共线 b.不共线c.可能共线，也可能不共线 d.不能确定解析：e1与e2共线，则存在实数e1=e2,a=e1+2e2=(+2)e2,b=3e1-4e2=(3-4)e2,当3-40时，a=b，故a与b共线.当3-4=0时，b=0,a与b也共线.答案：a变式提升 3 设e1、e2是不共线的向量，已知向量=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若a、b、d三点共线，求k的值.解析：=-=（2e1-e2）-(e1+3e2)= e1-4e2, 由题设a、b、d三点共线，故存在实数,使=,所以2e1+ke2=(e1-4e2),解得所以k=-8.【例4】 如右图所示，在平行四边形abcd中，=a,ab=b,m是ab的中点，点n是bd上一点，|bn|=|bd|.求证：m、n、c三点共线.思路分析：本题主要考查运用向量知识解决平面几何问题.要证三点共线（m、n、c），不妨证、具有一定的倍数关系.只要用已知条件a,b表示出，问题就可以解决.证明：=a,=b,=-=a-b.=+=b+=b+(a-b)=a+b=(2a+b).又=+=b+a=(2a+b),=3.又与有共同起点，m、n、c三点共线.友情提示 几何中证明三点共线，可先在三点中选取起点和终点确定两个向量，看能否找到唯一的实数使两向量具有一定的倍数关系.类题演练 4已知两个非零向量e1和e2不共线，如果=2e1+3e2，=6e1+23e2，=4e1-8e2.求证：a、b、d三点共线.证明：=+=2e1+3e2+6e1+23e2+4e1-8e2=12e1+18e2=6(2e1+3e2)=6.向量与向量共线.又与有共同的起点a,a、b、d三点共线.变式提升 4如右图，已知abc