一个撞击问题的联想.doc

一个撞击问题的联想在八年级数学启东中学作业本（龙门书局）一书中，有这样一道题：正方形的盘中有一只黑球和一只白球。请你打击黑球经盘的四边后击中白球。问：黑球应经过怎样的路线才能击中白球？一给出解法、初步体验 对这道题笔者首先给出其中两种解法。令黑球为P，白球为Q。 图1： 解：作P关于AB的一次对应点， 作Q分别关于DC,AD,BC的三次对应点， （作图过程中保留各对应点）连结，分别交各边及延长线与，连 结，交AD与且其必经过（，和，分别是关于CB的对应点）。连结，交AD与，顺次连结P，Q。即为P球所经过的一条路线。图2：解：分别作P关于AD，AB的二次对应点和Q关于CD，BC的二次对应点，（在作图过程中保留各对应点），连结，分别交于，（如图）。连结， 交AD与，连结，交CD与，顺次连结，Q。即为P球所经过的另一条路线。二控制范围、预以约定笔者为了后面的讨论有效，对本文中的一些内容预以约定：约定1：P，Q可看作， 。约定2： i , j为自然数。 约定3：如图1中，以一条边所在的直线为对称轴，作P点的对称点，将这个点称作P的一次对应点，记为。如果是由作关于某条直线的一次对应点，则称为二次对应点，记作。以此类推。约定4：每条边只可撞击一次。如果一边可撞击多次则没有研究的价值。如图3：只要将P和Q无限的对应下去，P就可在AD和BC间无限次撞击后击中Q。注：事实上这个约定告诉我们，不能重复用一条边作为对应边。约定5：不讨论球位置不好的特殊情形。如图4：要求P只撞击AB边，然后击中Q。（）约定6：本文原理是光的直线传播和反射原理，这里笔者只给出作法不以证明。三深入讨论、寻找规律下面我们依次从零次到四次撞击来分析并且同时考虑约定2的意义。（ i , j为自然数）。是否能表示i+j个撞击点和i+j次撞击？零次：直接撞击可以用来表示。这里的0可以表示没有撞击任何边，也表示没有撞击点。一次： 如图5，作P关于AD的对应点，然后连结Q，交AD与，连结P、Q，即为所求。这里有，并且我们还发现了另外一种作法。也就是我们总能找到这样的对应使 的结果相同。这里提示我们只要考虑就行了。我们知道有四种情况。所以撞击一条边最多有四种作法。两次：如图6，这里我们发现也是成立的，有和两个交点，同时我们也找到了它的另外一个等价形式。这里我们不妨用来讨论它的撞击情况，有四种情形，所以还有三种对应。从而撞击两条边最多有种作法。 三次：由上面的分析我们知道，由于每次对应都增加一个交点（可以类推下去），所以我们约定2是有意义的。 每一类总是可以找到一种连结方法与其它作法是相同的，这里我们就可以只考虑的形式了。有四个，在作的时候由约定4，可以知道只有三种情况了。最后也就只有2种情况了。所以在不考虑球所在位置特殊性的情况下，三次撞击的最多可能有种作法。四次：我们现在已经可以很轻松的知道四次撞击都可以看成是，四次撞击的最多可能有种作法。我们看到约定2不光是有意义的，而且 （ i , j为自然数且），也总是可以看成是等价的。 最后让我们再通过图7，来体会一下约定4中“注”的意义。作法：作P关于AD的对应点，Q关于AD,DC,BC的三次对应点。连结。这里由于重复运用了AD作为对应边，所以黑球在AD边上撞击了两次。这虽然也是四次撞击，但是它并不满足题目的要求。四展开想象、拓展问题如果将原题中的“正方形”改为“任意凸多边形”！是否还能通过上面的方法作出图形？只要两个球的位置足够好，答案是肯定的。事实上，正方形和任意凸多边形的不同点就在于两条边之间的夹角是否是直角的问题。下面我们只要讨论一个任意锐角是否能通过我们的方法作图就可以了。任意锐角：先作，如图8；再作，如图9。作法（图9）：作P分别关于AB、AC的对应点，AB关于AC的对应线AD，连接，Q，分别交AD、AC与，找出在AB边的对应点，依次连接P、Q。容易证明这两种作法都能满足题意。同理任意钝角也能作。五规范作法、给出范例给出四次撞击的作法： （1）在不重复运用各边的情况下，分别将P，Q作两次对应为，。 （2）连结，并将所经过路线部分的凸四边形关于对应边对称补全。 （3）从向标出与各多边形的交点