黑龙江省牡丹江市海林一中2015-2016学年高二数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年黑龙江省牡丹江市海林一中高二（上）期末数学试卷（理科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1抛物线y=2x2的焦点坐标为（）a（1，0）b（，0）c（0，）d（0，）2某学校共有老、中、青教职工215人，其中青年教职工80人，中年教职工人数是老年教职工人数的2倍为了解教职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工16人，则该样本中的老年教职工人数为（）a6b8c9d123命题“xr，都有log2x0成立”的否定为（）ax0r，使log2x00成立bx0r，使log2x0成立cxr，都有log2x0成立dxr，都有log2x0成立4阅读程序框图，则该程序运行后输出的k的值是（）a3b4c5d65如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）a84，4.84b84，1.6c85，4d85，1.66国家物价部门在2015年11月11日那天，对某商品在网上五大购物平台的一天销售量及其价格进行调查，5大购物平台的售价x元和销售量y件之间的一组数据如表所示：价格x99.51010.511销售量y1110865由散点图可知，销售量y与价格x之间有明显的线性相关关系，已知其线性回归直线方程是：y=3.2x+a，则a=（）a24b35.6c40d40.57已知椭圆与双曲线共同焦点，它们的离心率之和为，则此椭圆方程为（）abcd8某科技研究所对一批新研发的产品长度进行检测（单位：mm），如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为（）a20b22.5c22.75d259从（m，n1，2，3）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率是（）abcd10已知p是抛物线y2=4x上的一个动点，则点p到直线l1：3x4y+12=0和l2：x+2=0的距离之和的最小值是（）a1b2c3d411已知正方体abcda1b1c1d1，则ac与平面bdc1所成角的余弦值为（）abcd12若点o（0，0）和点分别是双曲线y2=1（a0）的中心和右焦点，a为右顶点，点m为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）a1，+）b（0，+）c2，+）d0，+）二填空题：本大题共4小题，每小题5分13“若x（1，2），x2+mx+40”是假命题，则m的取值范围为14一位同学家里订了一份报纸，送报人每天都在在早上5：206：40之间将报纸送到达，该同学的爸爸需要早上6：007：00之间出发去上班，则这位同学的爸爸在离开家前能拿到报纸的概率是15直三棱柱abca1b1c1中，若bac=90，2ab=2ac=aa1，则异面直线ba1与b1c所成的角的余弦值等于16如图，已知f1，f2是椭圆c：（ab0）的左、右焦点，点p在椭圆c上，线段pf2与圆x2+y2=b2相切于点q，且点q为线段pf2的中点，则椭圆c的离心率为三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知命题p：x28x200，q：x22x+1m20（m0），若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围182014年“五一节”期间，高速公路车辆较多，交警部门通过路面监控装置抽样调查某一山区路段汽车行驶速度，采用的方法是：按到达监控点先后顺序，每隔50辆抽取一辆，总共抽取120辆，分别记下其行车速度，将行车速度（km/h）分成七段60，65），65，70），70，75），75，80），80，85），85，90），90，95）后得到如图所示的频率分布直方图，据图解答下列问题：（）求a的值，并说明交警部门采用的是什么抽样方法？（）求这120辆车行驶速度的众数和中位数的估计值（精确到0.1）；（）若该路段的车速达到或超过90km/h即视为超速行驶，试根据样本估计该路段车辆超速行驶的概率19某位同学在2015年5月进行社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了5月1日至5月5日的白天平均气温x（c）与该奶茶店的这种饮料销量y（杯），得到如下数据：日 期5月1日5月2日5月3日5月4日5月5日平均气温x（c）91012118销量y（杯）2325302621（1）若从这五组数据中随机抽出2组，求抽出的2组数据不是相邻2天数据的概率；（2）请根据所给五组数据，求出y关于x的线性回归方程=x+（参考公式： =， =）20如图，四棱锥pabcd的底面是正方形，pa底面abcd，pa=ad，点m是pd的中点，作mepc，交pc于点e（1）求证：pb平面mac；（2）求证：pc平面aem；（3）求二面角apcd的大小21如图，已知直线l与抛物线y2=2x相交于a（x1，y1），b（x2，y2）两点，与x轴相交于点m，若y1y2=4，（1）求：m点的坐标；（2）求证：oaob；（3）求aob的面积的最小值22椭圆的左右焦点分别为f1，f2，离心率为，过点f1且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为，直线l：y=kx+m与椭圆交于不同的a，b两点（）求椭圆c的方程；（）若在椭圆c上存在点q满足：（o为坐标原点）求实数的取值范围2015-2016学年黑龙江省牡丹江市海林一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1抛物线y=2x2的焦点坐标为（）a（1，0）b（，0）c（0，）d（0，）【考点】抛物线的简单性质【分析】先把抛物线整理标准方程，进而可判断出焦点所在的坐标轴和p，进而求得焦点坐标【解答】解：整理抛物线方程得x2=y焦点在y轴，p=焦点坐标为（0，）故选d2某学校共有老、中、青教职工215人，其中青年教职工80人，中年教职工人数是老年教职工人数的2倍为了解教职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工16人，则该样本中的老年教职工人数为（）a6b8c9d12【考点】分层抽样方法【分析】由题意确定老年职工的人数，再由青年职工确定抽样比，因为分层抽样，各层抽取比例一样，故可计算出样本中的老年职工人数【解答】解：青年职工80，在抽取的样本中有青年职工16人，故抽取比例为=，老、中年职工共21580=135人，又中年职工人数是老年职工人数的2倍，故老年职工有45人，所以该样本中的老年职工人数为45=9，故选：c3命题“xr，都有log2x0成立”的否定为（）ax0r，使log2x00成立bx0r，使log2x0成立cxr，都有log2x0成立dxr，都有log2x0成立【考点】命题的否定【分析】根据全称命题的否定方法，结合已知中的原命题，可得答案【解答】解：命题“xr，都有log2x0成立”的否定为“xr，使log2x0成立”，故选：a4阅读程序框图，则该程序运行后输出的k的值是（）a3b4c5d6【考点】程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环结构，累加运算变量s的值，并输出s100成立时，程序的执行次数【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： 是否继续循环 k s循环前 0 0第一圈 是 1 1第二圈 是 2 3第三圈 是 3 11第四圈 是 4 2059第五圈 否故选：b5如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）a84，4.84b84，1.6c85，4d85，1.6【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差【分析】由茎叶图可知评委打出的最低分为79，最高分为93，去掉最高分和最低分，其余得分为84，84，86，84，87，求出平均数，再求出方差【解答】解：由茎叶图可知评委打出的最低分为79，最高分为93，其余得分为84，84，86，84，87，故平均分为=85，方差为 3（8485）2+（8685）2+（8785）2=1.6故选d6国家物价部门在2015年11月11日那天，对某商品在网上五大购物平台的一天销售量及其价格进行调查，5大购物平台的售价x元和销售量y件之间的一组数据如表所示：价格x99.51010.511销售量y1110865由散点图可知，销售量y与价格x之间有明显的线性相关关系，已知其线性回归直线方程是：y=3.2x+a，则a=（）a24b35.6c40d40.5【考点】线性回归方程【分析】根据图中数据求出、，再根据线性回归直线方程过样本中心点，代人求出a的值【解答】解：根据图中数据，得；=（9+9.5+10+10.5+11）=10，=（11+10+8+6+5）=8，又线性回归直线方程是：y=3.2x+a，a=+3.2=8+3.210=40故选：c7已知椭圆与双曲线共同焦点，它们的离心率之和为，则此椭圆方程为（）abcd【考点】双曲线的简单性质【分析】求得双曲线的焦点和离心率，可设椭圆的方程为+=1（ab0），可得c=2，即a2b2=4，运用离心率公式解方程可得a，b，进而得到椭圆方程【解答】解：双曲线的焦点为（2，0），离心率为2，由题意可设椭圆的方程为+=1（ab0），可得c=2，即a2b2=4，又=，解得a=4，b=2，可得椭圆的方程为+=1故选：d8某科技研究所对一批新研发的产品长度进行检测（单位：mm），如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为（）a20b22.5c22.75d25【考点】频率分布直方图【分析】根据频率分布直方图中，中位数的左右两边频率相等，列出等式，求出中位数即可【解答】解：根据频率分布直方图，得；0.025+0.045=0.30.5，0.3+0.085=0.70.5；中位数应在2025内，设中位数为x，则0.3+（x20）0.08=0.5，解得x=22.5；这批产品的中位数是22.5故选：b9从（m，n1，2，3）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率是（）abcd【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；双曲线的标准方程【分析】设（m，n）表示m，n的取值组合，利用列举法能求出此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率【解答】解：设（m，n）表示m，n的取值组合，则取值的所有情况有（1，1），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共7个（注：（1，2），（1，3）不合题意）其中能使方程是焦点在x轴上的双曲线的有：（2，2），（2，3，（3，2），（3，3）共4个此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为p=故选：b10已知p是抛物线y2=4x上的一个动点，则点p到直线l1：3x4y+12=0和l2：x+2=0的距离之和的最小值是（）a1b2c3d4【考点】抛物线的简单性质【分析】x=1是抛物线y2=4x的准线，则p到x+2=0的距离等于|pf|+1，抛物线y2=4x的焦点f（1，0）过p作l1：3x4y+12=0的垂线和抛物线的交点就是p，所以点p到直线l1：3x4y+12=0的距离和到直线x=1的距离之和的最小值就是f（1，0）到直线4x3y+6=0距离，即可得出结论【解答】解：x=1是抛物线y2=4x的准线，p到x+2=0的距离等于|pf|+1，抛物线y2=4x的焦点f（1，0），过p作l1：3x4y+12=0的垂线和抛物线的交点就是p，点p到直线l1：3x4y+12=0的距离和到直线x=1的距离之和的最小值就是f（1，0）到直线l1：3x4y+12=00距离，p到直线l1：4x3y+6=0和l2：x+2=0的距离之和的最小值是+1=3+1=4故选：d11已知正方体abcda1b1c1d1，则ac与平面bdc1所成角的余弦值为（）abcd【考点】直线与平面所成的角【分析】由于a1c平面bdc1，故是平面bdc1的一个法向量，建立空间直角坐标系，求出，的坐标，设所求的线面角为，则sin=cos，从而计算出cos【解答】解：以a1为原点建立如图所示的空间直角坐标系，a1a平面abcd，a1abd，又bdac，a1a与ac为平面a1ac内的相交直线，bd平面a1ac，bda1c，同理可证：bc1a1c，a1c平面bdc1，是平面bdc1的一个法向量，设正方体棱长为1，则=（1，1，1），=（1，1，0），=2，|=，|=，cos，=，设ac与平面bdc1所成角为，则sin=，cos=故选：b12若点o（0，0）和点分别是双曲线y2=1（a0）的中心和右焦点，a为右顶点，点m为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）a1，+）b（0，+）c2，+）d0，+）【考点】双曲线的简单性质【分析】先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a，则双曲线的方程可得，设出点m，代入双曲线方程求得纵坐标的表达式，根据m，f，o的坐标表示，进而利用二次函数的性质求得其最小值，则可得的取值范围【解答】解：设m（m，n），a（a，0），则=（m，n）（ma，n）=m2am+n2由f（，0）是双曲线y2=1（a0）的右焦点，可得a2+1=3，即a=，则双曲线方程为y2=1，由点m为双曲线右支上的任意一点，可得n2=1（m），即有n2=1，则=m2m+n2=m2m+1=（m）2，由m，可得函数在，+）上单调递增，即有m2m+n222+11=0，可得的取值范围为0，+）故选：d二填空题：本大题共4小题，每小题5分13“若x（1，2），x2+mx+40”是假命题，则m的取值范围为（，5【考点】命题的真假判断与应用【分析】写出命题的否命题，据已知命题为假命题，得到否命题为真命题；分离出m；通过导函数求出不等式右边对应函数的在范围，求出m的范围【解答】解：命题“x（1，2）时，满足不等式x2+mx+40”是假命题，命题“x（1，2）时，满足不等式x2+mx+40”是真命题，在（1，2）上恒成立令，x（1，2）f（x）f（1）=5，m5，m5故答案为：（，514一位同学家里订了一份报纸，送报人每天都在在早上5：206：40之间将报纸送到达，该同学的爸爸需要早上6：007：00之间出发去上班，则这位同学的爸爸在离开家前能拿到报纸的概率是【考点】几何概型【分析】根据题意，设送报人到达的时间为x，这位同学的爸爸在离开家；则（x，y）可以看成平面中的点，分析可得由试验的全部结果所构成的区域并求出其面积，同理可得事件a所构成的区域及其面积，由几何概型公式，计算可得答案【解答】解：如图所示，设送报人到达的时间为x，这位同学的爸爸在离开家为y；则（x，y）可以看成平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为=（x，y）|x，6y7，一个矩形区域，面积为s=1=，事件a所构成的区域为a=（x，y）|x，6y7，xy即图中的阴影部分，其中a（6，6），c（，6）b（，），abc面积为=，则阴影部分的面积sa=则对应的概率p=故答案为：15直三棱柱abca1b1c1中，若bac=90，2ab=2ac=aa1，则异面直线ba1与b1c所成的角的余弦值等于【考点】异面直线及其所成的角【分析】以a为原点，ab为x轴，ac为y轴，aa1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线ba1与b1c所成的角的余弦值【解答】解：以a为原点，ab为x轴，ac为y轴，aa1为z轴，建立空间直角坐标系，设2ab=2ac=aa1=2，则a1（0，0，2），b（1，0，0），b1（1，0，2），c（0，1，0），=（1，0，2），=（1，1，2），设异面直线ba1与b1c所成的角为，则cos=异面直线ba1与b1c所成的角的余弦值为故答案为：16如图，已知f1，f2是椭圆c：（ab0）的左、右焦点，点p在椭圆c上，线段pf2与圆x2+y2=b2相切于点q，且点q为线段pf2的中点，则椭圆c的离心率为【考点】圆与圆锥曲线的综合【分析】本题考察的知识点是平面向量的数量积的运算，及椭圆的简单性质，由f1、f2是椭圆（ab0）的左、右焦点，点p在椭圆c上，线段pf2与圆x2+y2=b2相切于点q，且点q为线段pf2的中点，连接oq，f1p后，我们易根据平面几何的知识，根据切线的性质及中位线的性质得到pf2pf1，并由此得到椭圆c的离心率【解答】解：连接oq，f1p如下图所示：则由切线的性质，则oqpf2，又由点q为线段pf2的中点，o为f1f2的中点oqf1ppf2pf1，故|pf2|=2a2b，且|pf1|=2b，|f1f2|=2c，则|f1f2|2=|pf1|2+|pf2|2得4c2=4b2+4（a22ab+b2）解得：b=a则c=故椭圆的离心率为：故答案为：三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知命题p：x28x200，q：x22x+1m20（m0），若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】利用一元二次不等式的解法分别化简p，q可得解集a，b，p是q的必要不充分条件，可得ba【解答】解：由命题p：x28x200，解得x2或x10，设a=x|x2或x10q：x22x+1m20（m0），因式分解为：x（1m）x（1+m）0，解得x1m，或x1+m（m0）即命题q对应的集合为b=x|x1m，或x1+m（m0）p是q的必要不充分条件，ba故有，解得m9即实数m的取值范围是9，+）182014年“五一节”期间，高速公路车辆较多，交警部门通过路面监控装置抽样调查某一山区路段汽车行驶速度，采用的方法是：按到达监控点先后顺序，每隔50辆抽取一辆，总共抽取120辆，分别记下其行车速度，将行车速度（km/h）分成七段60，65），65，70），70，75），75，80），80，85），85，90），90，95）后得到如图所示的频率分布直方图，据图解答下列问题：（）求a的值，并说明交警部门采用的是什么抽样方法？（）求这120辆车行驶速度的众数和中位数的估计值（精确到0.1）；（）若该路段的车速达到或超过90km/h即视为超速行驶，试根据样本估计该路段车辆超速行驶的概率【考点】古典概型及其概率计算公式；收集数据的方法；众数、中位数、平均数【分析】（i）根据频率分布直方图中所有矩形的面积和为1求得a值，根据相同抽样方法的特征判断其抽样方法；（ii）根据众数是最高矩形底边中点的横坐标求众数；根据中位数是从左数小矩形面积和为0.5的矩形底边上点的横坐标求中位数；（iii）利用直方图求出样本中车速在90，95）频数，利用个数比求超速车辆的概率【解答】解：（i）由频率分布直方图知：（a+0.05+0.04+0.02+0.02+0.005+0.005）5=1，a=0.06，该抽样方法是系统抽样；（ii）根据众数是最高矩形底边中点的横坐标，众数为77.5；前三个小矩形的面积和为0.0055+0.0205+0.0405=0.325，第四个小矩形的面积为0.065=0.3，中位数在第四组，设中位数为75+x，则0.325+0.06x=0.5x2.9，数据的中位数为77.9；（iii）样本中车速在90，95）有0.0055120=3（辆），估计该路段车辆超速的概率p=19某位同学在2015年5月进行社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了5月1日至5月5日的白天平均气温x（c）与该奶茶店的这种饮料销量y（杯），得到如下数据：日 期5月1日5月2日5月3日5月4日5月5日平均气温x（c）91012118销量y（杯）2325302621（1）若从这五组数据中随机抽出2组，求抽出的2组数据不是相邻2天数据的概率；（2）请根据所给五组数据，求出y关于x的线性回归方程=x+（参考公式： =， =）【考点】线性回归方程【分析】（1）利用列举法求出“选取的2组数据不是相邻2天数据”的基本事件数，求出对应的概率即可；（2）根据题目中的数据，利用公式求出平均数、与回归系数、，写出线性回归方程【解答】解：（1）设“选取的2组数据不是相邻2天数据”为事件a，所有基本事件（m，n）（其中m，n为5月份的日期数）有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种； 事件a包括的基本事件有（1，3），（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，5）共6种；所以p（a）=； （2）由数据，求得=10，=25；=2.1，=4，y关于x的线性回归方程为=2.1x+4 20如图，四棱锥pabcd的底面是正方形，pa底面abcd，pa=ad，点m是pd的中点，作mepc，交pc于点e（1）求证：pb平面mac；（2）求证：pc平面aem；（3）求二面角apcd的大小【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【分析】（1）建立空间坐标系，求出直线对应的向量，利用向量法即可证明pb平面mac；（2）根据线面垂直的判定定理结合向量法即可证明pc平面aem；（3）根据二面角的定义作出二面角的平面角，结合向量即可求二面角apcd的大小【解答】解：如图建立空间直角坐标系dxyz，设ad=1（1），所以，即pbmg，因此，pb平面mac（2），故，所以pcam，又pcem，所以 pc平面aem（3）由（2）知pcae，故mea是二面角apcd的平面角设e=（x，y，z），则因为，所以（x，y，z1）=k（1，1，1），即x=k，y=k，z=1k所以，所以k=，点又点，所以，