高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 抛物线的简单几何性质 第2课时 抛物线方程及性质的应用课时提升作业2 新人教A版选修1-1.doc

抛物线方程及性质的应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016郑州高二检测)过点(-1,0)且与抛物线y2=x有且仅有一个公共点的直线有()a.1条b.2条c.3条d.4条【解析】选c.点(-1,0)在抛物线y2=x的外部,故过(-1,0)且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有三条,其中两条为切线,一条为x轴.【延伸探究】若把本题中的点(-1,0)改为(1,1),则此时与y2=x只有一个公共点的直线有()a.1条b.2条c.3条d.4条【解析】选b.因为点(1,1)在抛物线y2=x上,所以作与y2=x只有一个公共点的直线有两条,其中一条为切线,一条为平行于x轴的直线.2.过点(1,0)作斜率为-2的直线,与抛物线y2=8x交于a,b两点,则弦ab的长为()a.213b.215c.217d.219【解析】选b.设a(x1,y1),b(x2,y2).由题意知ab的方程为y=-2(x-1),即y=-2x+2.由y2=8x,y=-2x+2,得x2-4x+1=0,所以x1+x2=4,x1x2=1.所以|ab|=1+(-2)2(x1+x2)2-4x1x2=(1+4)(16-4)=512=215.3.(2016福州高二检测)若抛物线y2=x上两点a(x1,y1),b(x2,y2)关于直线y=x+b对称,且y1y2=-1,则实数b的值为()a.-3b.3c.2d.-2【解析】选d.因为抛物线y2=x上两点a(x1,y1),b(x2,y2)关于直线y=x+b对称,所以y1-y2x1-x2=-1,所以y1-y2y12-y22=-1,所以y1+y2=-1.因为y1y2=-1,所以x1+x2=y12+y22=(y1+y2)2-2y1y2=3,所以两点a(x1,y1),b(x2,y2)中点坐标为32,-12.代入y=x+b,可得b=-2.4.已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于a,b两点,若线段ab的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()a.x=1b.x=-1c.x=2d.x=-2【解析】选b.设a(x1,y1),b(x2,y2),代入抛物线方程得:y12=2px1,y22=2px2,-得(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2).又因为y1+y2=4,所以y1-y2x1-x2=2p4=p2=k=1,所以p=2所以所求抛物线的准线方程为x=-1.5.(2016西安高二检测)设抛物线c:y2=4x的焦点为f,直线l过点f且与c交于a,b两点.若|af|=3|bf|,则l的方程为()a.y=x-1或y=-x+1b.y=33(x-1)或y=-33(x-1)c.y=3(x-1)或y=-3(x-1)d.y=22(x-1)或y=-22(x-1)【解析】选c.由题意,可设|bf|=x,则|af|=3x,设直线l与抛物线的准线相交于点m,则由抛物线的定义可知:|mb|mb|+4x=x3x,所以|mb|=2x,所以直线l的倾斜角为60或120,即直线l的斜率为3.【误区警示】本题容易将倾斜角当作45而错选a.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016临沂高二检测)直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k=.【解析】当k=0时,直线与抛物线有唯一交点,当k0时,联立方程消y得:k2x2+4(k-2)x+4=0,由题意=16(k-2)2-16k2=0,解得k=1.答案:0或17.(2016广州高二检测)在抛物线y=4x2上求一点,使该点到直线y=4x-5的距离最短,则该点的坐标是.【解析】设与直线y=4x-5平行的直线为y=4x-b,代入y=4x2得4x2-4x+b=0.令=16-16b=0,解得b=1,所以与直线y=4x-5平行的直线为y=4x-1,所以直线y=4x-1与抛物线相切,切点到y=4x-5的距离最短.由4x2-4x+1=0,解得x=12,所以y=1,所求点为12,1.答案:12,18.(2016长春高二检测)抛物线焦点在y轴上,截得直线y=12x+1的弦长为5,则抛物线的标准方程为.【解题指南】设出抛物线的方程利用弦长公式求解.【解析】设抛物线方程为x2=my,联立抛物线方程与直线y=12x+1的方程并消元,得:2x2-mx-2m=0,设直线y=12x+1与抛物线的交点坐标为(x1,y1),(x2,y2),=(-m)2-42(-2m)=m2+16m0,解得m0或m0,即k0)与直线y=kx+b两个交点的横坐标分别为x1,x2,而x3是直线与x轴交点的横坐标,则()a.x3=x1+x2b.x3=1x1+1x2c.x1x2=x1x3+x2x3d.x1x3=x2x3+x1x2【解析】选c.将y=kx+b代入x2=ya(a0),得ax2-kx-b=0,x1+x2=ka,x1x2=-ba,1x1+1x2=x1+x2x1x2=-kb.而直线y=kx+b与x轴交点的横坐标x3=-bk,所以1x1+1x2=1x3,所以x1x2=x2x3+x1x3.2.(2016南宁高二检测)已知抛物线c:y2=8x与点m(-2,2),过c的焦点,且斜率为k的直线与c交于a,b两点,若mamb=0,则k=()a.12b.22c.2d.2【解题指南】先求出抛物线的焦点,列出过焦点的直线方程,与抛物线联立,化简成关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系代入求解.【解析】选d.由题意知,直线ab的方程为y=k(x-2),将其代入y2=8x得,k2x2-4(k2+2)x+4k2=0.设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1+x2=4(k2+2)k2,x1x2=4.又y1+y2=k(x1+x2)-4k,y1y2=k2x1x2-2(x1+x2)+4.因为mamb=0,所以(x1+2,y1-2)(x2+2,y2-2)=0,即x1x2+2(x1+x2)+y1y2-2(y1+y2)+8=0.由得,k=2.二、填空题(每小题5分,共10分)3.直线y=x-3与抛物线y2=4x交于a,b两点,过a,b两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为p,q,则梯形apqb的面积为.【解析】由y=x-3,y2=4x,得x2-10x+9=0,所以x1+x2=10,|y1-y2|=8,即|ap|+|bq|=x1+x2+p=10+2=12,|pq|=|y1-y2|=8,所以s梯形apqb=|ap|+|bq|2|pq|=48.答案:484.已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线c:y2=8x相交于a,b两点,f为c的焦点.若|fa|=2|fb|,则k=.【解析】设a,b两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由y=k(x+2),y2=8x,消去y得,k2x2+4x(k2-2)+4k2=0,所以x1+x2=4(2-k2)k2,x1x2=4.由抛物线定义得|af|=x1+2,|bf|=x2+2,又因为|af|=2|bf|,所以x1+2=2x2+4,所以x1=2x2+2代入x1x2=4,得x22+x2-2=0,所以x2=1或-2(舍去),所以x1=4,所以4(2-k2)k2=5,所以k2=89,因为k0,所以k=223.则=4(k2-2)2-4k24k2=164(1-k2)0符合题意.答案:223【补偿训练】在已知抛物线y=x2上存在两个不同的点m,n关于直线y=kx+92对称,则k的取值范围为.【解析】设m(x1,x12),n(x2,x22)关于直线y=kx+92对称,所以x12-x22x1-x2=-1k,即x1+x2=-1k.设mn的中点为(x0,y0),则x0=-12k,y0=k-12k+92=4.因中点在y=x2内,有4-12k2k2116,所以k14或k14或k0),直线y=kx+2与e交于a,b两点,且oaob=2,其中o为原点.(1)求抛物线e的方程.(2)点c坐标为(0,-2),记直线ca,cb的斜率分别为k1,k2,证明:k12+k22-2k2为定值.【解析】(1)将y=kx+2代入x2=2py,得x2-2pkx-4p=0,其中=4p2k2+16p0.设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1+x2=2pk,x1x2=-4p.oaob=x1x2+y1y2=x1x2+x122px222p=-4p+4.由已知得,-4p+4=2,p=12,所以抛物线e的方程为x2=y.(2)由(1)知,x1+x2=k,x1x2=-2.k1=y1+2x1=x12+2x1=x12-x1x2x1=x1-x2,同理k2=x2-x1,所以k12+k22-2k2=2(x1-x2)2-2(x1+x2)2=-8x1x2=16.所以k12+k22-2k2为定值.6.(2015福建高考)已知点f为抛物线e:y2=2px(p0)的焦点,点a(2,m)在抛物线e上,且|af|=3.(1)求抛物线e的方程.(2)已知点g(-1,0),延长af交抛物线e于点b,证明:以点f为圆心且与直线ga相切的圆,必与直线gb相切.【解析】方法一:(1)由抛物线的定义得af=2+p2,因为af=3,即2+p2=3,解得p=2,所以抛物线e的方程为y2=4x.(2)因为点a(2,m)在抛物线e:y2=4x上,所以m=22,由抛物线的对称性,不妨设a(2,22),由a(2,22),f(1,0)可得直线af的方程为y=22(x-1).由y2=4x,y=22(x-1),得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=12,从而b12,-2.又g(-1,0),所以kga=22-02-(-1)=223,kgb=-2-012-(-1)=-223,所以kga+kgb=0,从而agf=bgf,这表明点f到直线ga,gb的距离相等,故以f为圆心且与直线ga相切的圆必与直线gb相切.方法二:(1)同方法一.(2)设以点f为圆心且与直线ga相切的圆的半径为r.因为点a(2,m)在抛物线e:y2=4x上,所以m=22,由抛物线的对称性,不妨设a(2,22),由a(2,22),f(1,0)可得直线af的方程为y=22(x-1).由y2=4x,y=22(x-1),得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=12,从而b12,-2.又g(-1,0),故直线ga的方程为22x-3y+22=0,从而r=22+228+9=4217.又直线gb的方程为22x+3y+22=0,所以点f到直线gb的距离d=22+228+9=4217=r.这表明以点f为圆心且与直线ga相切的圆必与直线gb相切.【补偿训练】(2016天水高二检测)设抛物线c:y2=2px(p0)的焦点为f,经过点f的直线与抛物线交于a,b两点.(1)若p=2,求线段af中点m的轨迹方程.(2)若直线ab的方向向量为n=(1,2),当焦点为f12,0时,求oab的面积.(3)若n是抛物线c准线上的点,求证:直线na,nf,nb的斜率成等差数列.【解析】(1)设a(x0,y0),m(x,y),焦点f(1,0),则由题意得x=x0+12,y=y0+02,即x0=2x-1,y0=2y,所求的轨迹方程为4y2=4(2x-1),即y2=2x-1.(2)y2=2x,f12,0,直线y=2x-12=2x-1,由y2=2x,y=2x-1,得y2-y-1=0,设a(x1,y1),b(x2,y2),则|ab|=1+1k2|y1-y2|=52,设点o到直线ab的距离为d,则d=15,soab=12d|ab|=54.(3)显然直线na,nb,nf的斜率都存在,分别设为k1,k2,k3,点a,b,n的坐标分别为a(x1,y1),b(x2,y2),n-p2,m,设直线ab:x=a