高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 4.2 用数学归纳法证明不等式达标训练 新人教A版选修4-5.doc

4.2 用数学归纳法证明不等式更上一层楼基础巩固1.用数学归纳法证明3nn3(n3,nn)第一步应验证（ ）a.n=1 b.n=2 c.n=3 d.n=4思路分析：由题意知n3，应验证n=3.答案：c2.用数学归纳法证明1+1)时，第一步即证明不等式_成立.思路分析：因为n1，所以第一步n=2.答案：1+(k1)，则当n=k+1时，左端应乘上_，这个乘上去的代数式共有因子的个数是_.思路分析：因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是(1+)，最后一个是(1+)，共有2k-2k-1=2k-1项.答案：(1+)(1+)(1+) 2k-14.用数学归纳法证明（a.，b.是非负实数，nn）时，假设n=k命题成立之后，证明n=k+1命题也成立的关键是_.思路分析：要想办法出现ak+1+bk+1，两边同乘以，右边也出现了要求证的()k+1.答案：两边同乘以5.用数学归纳法证明，假设n=k时，不等式成立之后，证明n=k+1时，应推证的目标不等式是_.思路分析：把n=k时的不等式中的k换成k+1即可.答案：综合应用6.若n为大于1的自然数，求证：思路分析：注意对数学归纳法证明不等式时放缩技巧的合理使用.解：()当n=2时，.()假设当n=k时成立，即.则当n=k+1时，.7.求证：(nn+)思路分析：用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式，是考试中的重点题型之一，在n=k+1的证明过程中还需要熟练运用不等式证明的一些技巧.解：记an=，（）当n=1时，a1=1=,而a1=2=，当n=1时，不等式a1.推测：(1+1)(1+)(1+0()当n=1时，已验证式成立.()假设n=k(k1)时式成立，即(1+1)(1+)+).则当n=k+1时，(1+1)(1+)(1+)1+(1+)=.()3-()3=0,(3k+2)=.从而(1+1)(1+)(1+)(1+)，即当n=k+1时，式成立.由()()知，式对任意正整数n都成立.于是，当a1时，snlogabn+1,当0a1时，snlogabn+1.回顾展望9.已知数列a.n的各项都是正数，且满足：a.0=1,a.n+1=a.n(4-a.n),nn.证明：a.na.n+12,nn.思路分析：对第一问用数学归纳法证明比较简洁，但是用数学归纳法证明时，在由n=k到n=k+1时的推证过程中，也有作差比较和利用单调性两种方法.证明：方法一用数学归纳法证明：（）当n=1时，an=1,a1=a0(4-a0)=，a0a12，命题正确.()假设n=k时有ak-1ak2.则n=k+1时,ak-ak+1=ak-1(4-ak-1)-ak(4-ak)=2(ak-1-ak)-(ak-1-ak)(ak-1+ak)=(ak-1-ak)(4-ak-1-ak).而ak-1-ak0,ak-ak-10.又ak+1=ak(4-ak)=124-(ak-2)22.n=k+1时命题正确.由()()知，对一切nn时有anan+12.方法二用数学归纳法证明.()当n=1时，a0=1,a1=a0(4-a0)=,0a0a12.()假设n=k时有ak-1ak2成立，令f(x)=x(4-x)，f(x)在0，2上单调递增，所以由假设有f(ak-1)f(ak)f(2),即ak-1(4-ak-1)ak(4-ak)2(4-2),也即当n=k+1时akak+12成立，所以对一切nn,有akak+12.10.(2005辽宁高考) 已知函数f(x)=(x-1).设数列a.n满足a.1=1,a.n+1=f(a.n)，数列b.n满足b.n=|a.n-|,sn=b.1+b.2+b.n(nn*).（1）用数学归纳法证明:b.n;（2）证明:sn.证明：(1)当x0时,f(x)=1+1.因为a1=1，所以an1(nn*)下面用数学归纳法证明不等式bn.（）当n=1时，b1=-1，不等式成立，（）假设当n=k时，不等式成立，即bk.那么bk+1=|ak+1-|=.所以