高中数学 第一章 统计 1.8 最小二乘法教案 北师大版必修3.doc

1.8最小二乘估计本节教材分析一、三维目标1、知识与技能(1) 掌握最小二乘法的思想；(2) 能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程2、过程与方法本节的学习，应该让学生通过实际问题去理解回归分析的必要性，明确回归分析的基本思想，从散点图中点的分布上我们发现直接求回归直线方程存在明显的不足，从中引导学生去发现解决问题的新思路进行回归分析，进而介绍残差分析的方法和利用r的平方来表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，从中选择较为合理的回归方程，最后是建立回归模型基本步骤3、情感态度与价值观通过本节课的学习，首先让显示了解回归分析的必要性和回归分析的基本思想，明确回归分析的基本方法和基本步骤，培养我们利用整体的观点和互相联系的观点，来分析问题，进一步加强数学的应用意识，培养学生学好数学、用好数学的信心加强与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关系教学中适当地增加学生合作与交流的机会，多从实际生活中找出例子，使学生在学习的同时体会与他人合作的重要性，理解处理问题的方法与结论的联系，形成实事求是的严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力二、教学重点：最小二乘法的思想及线性回归方程系数公式的应用三、教学难点：线性回归方程系数公式的应用四、教学建议最小二乘法的思想在理论上和实际应用中都是非常重要的本节一开始从上一节课讨论的问题切入，提出用什么样的线性关系刻画会得到更好的问题，引发学生进行思考教学时，学生可能会想到用点到直线的距离来进行刻画，教师可进行引导，这样做从想法上是非常直观与直接的，但是最主要的问题是处理上远远没有用最小二乘法的思想来得简单进而，教科书介绍了最小二乘法估计的思想教学时，教师要讲清楚最小二乘法所考察的距离与点到直线的距离的区别，以免产生误解与错误新课导入设计导入一某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系,随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：气温/261813104-1杯数202434385064 如果某天的气温是-5 ,你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？为解决这个问题我们接着学习两个变量的线性相关回归直线及其方程导入二我们知道函数能很好的表示两个变量之间的关系，那么两个线性相关的变量之间的关系，我们可不可以用函数来刻画呢？教学过程一、问题情境1情境： 客观事物是相互联系的过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度所以说，函数关系存在着一种确定性关系但还存在着另一种非确定性关系相关关系2问题：某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：气温/c261813104杯数202434385064如果某天的气温是，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？二、学生活动为了了解热茶销量与气温的大致关系，我们以横坐标表示气温，纵坐标表示热茶销量，建立直角坐标系，将表中数据构成的个数对所表示的点在坐标系内标出，得到下图，今后我们称这样的图为散点图(scatterplot). 从右图可以看出.这些点散布在一条直线的附近,故可用一个线性函数近似地表示热茶销量与气温之间的关系. 选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系? 我们有多种思考方案:(1)选择能反映直线变化的两个点,例如取这两点的直线；（2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同；（3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求直线的斜率、截距； 怎样的直线最好呢?三、建构数学1最小二乘法： 用方程为的直线拟合散点图中的点，应使得该直线与散点图中的点最接近。那么，怎样衡量直线与图中六个点的接近程度呢？我们将表中给出的自变量的六个值带入直线方程,得到相应的六个的值: .这六个值与表中相应的实际值应该越接近越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和 是直线与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平方和,可以用来衡量直线与图中六个点的接近程度,所以,设法取的值,使达到最小值.这种方法叫做最小二乘法 (又称最小平方法) . 先把看作常数,那么是关于的二次函数.易知,当时, 取得最小值.同理, 把看作常数,那么是关于的二次函数.当时, 取得最小值.因此,当时，取的最小值，由此解得.所求直线方程为.当时,故当气温为时,热茶销量约为杯.2线性相关关系： 像能用直线方程近似表示的相关关系叫做线性相关关系.3线性回归方程：一般地,设有个观察数据如下：当使取得最小值时,就称为拟合这对数据的线性回归方程,该方程所表示的直线称为回归直线.上述式子展开后，是一个关于的二次多项式，应用配方法，可求出使为最小值时的的值即,（*） , 四、数学运用1例题：例1 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由机动车辆数千台95110112120129135150180交通事故数千件6.27.57.78.58.79.810.213解：在直角坐标系中画出数据的散点图，直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系计算相应的数据之和：，将它们代入（）式计算得，所以，所求线性回归方程为2练习：（1）下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（d）a角度和它的余弦值b.正方形边长和面积c正边形的边数和它的内角和 d.人的年龄和身高（2）给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：施化肥量x15202530354045水稻产量y330345365405445450455(1)画出上表的散点图;(2)求出回归直线并且画出图形 解：(1)散点图（略）(2)表中的数据进行具体计算，列成以下表格i1234567xi15202530354045yi330345365405445450455xiyi49506900912512150155751800020475,故可得到 从而得回归直线方程是(图形略)