高中数学 第一章 基本初等函数（II）1.3 三角函数的图象与性质 1.3.1 正弦函数的图象与性质（第2课时）学案 新人教B版必修4.doc

1.3.1 正弦函数的图象与性质第二课时正弦型函数yasin(x)基础知识基本能力1了解a，的物理意义及yasin(x)的实际意义2掌握“五点法”作函数yasin(x)的图象，理解a，对yasin(x)的影响(重点)3掌握图象的平移、伸缩变换原理及能利用图象变换解决相关问题(难点、易错点)1能正确使用“五点法”“图象变换法”作出yasin(x)的图象，并熟悉其变换过程(重点、易错点)2注重整体思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用(难点)1正弦型函数的概念形如yasin(x)(其中a，都是常数)的函数，通常叫做正弦型函数当函数yasin(x)(a0，0，x(0，)表示一个振动量时，则a称为振幅；t称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数f称为频率；x称为相位；x0时，相位称为初相一般地，函数yasin(x)(其中a，为常数，且a0，0)的周期t.【自主测试11】函数f(x)sin，xr的最小正周期为()a b c2 d4答案：d【自主测试12】函数y2 012sin的振幅为_，周期为_，初相为_答案：2 0122正弦型函数的图象变换(1)相位变换ysin x的图象ysin(x)的图象(2)周期变换ysin x的图象ysin_x的图象(3)振幅变换ysin x的图象yasin_x的图象(4)yasin(x)的图象可以这样得到：ysin x相位变换,ysin(x)周期变换,ysin(x)振幅变换,yasin(x)【自主测试2】函数ysin x的图象的横坐标和纵坐标同时扩大3倍，再将图象向右平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为_解析：ysin xy3sinxy3sin(x3)3sin.答案：y3sin1解读图象变换常用的两种途径剖析：由ysin x的图象变换出ysin(x)(0)的图象一般有两种途径途径一：先作相位变换，再作周期变换先将ysin x的图象向左(0)或向右(0)平移|个单位长度；再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得ysin(x)的图象途径二：先作周期变换，再作相位变换先将ysin x的图象上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)；再将得到的图象沿x轴向左(0)或向右(0)平移个单位长度，得ysin(x)的图象疑点是这两种途径在平移变换中，为什么沿x轴平移的单位长度不同其突破口是化归到由函数yf(x)的图象经过怎样的变换得到函数yf(x)的图象若按途径一，先将yf(x)的图象向左(0)或向右(0)平移|个单位长度，得函数yf(x)的图象；再将函数yf(x)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得yf(x)的图象若按途径二，先将yf(x)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得函数yf(x)的图象；再将函数yf(x)的图象上各点沿x轴向左(0)或向右(0)平移个单位长度，得yf(x)的图象若将yf(x)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍(0)，得函数yf(x)的图象；再将函数yf(x)的图象上各点沿x轴向左(0)或向右(0)平移|个单位长度，得到yf(x)的图象，即函数yf(x)的图象，而不是函数yf(x)的图象知识拓展函数图象中的对称变换：yf(x)yf(x)yf(x)yf(x)yf(x)y|f(x)|yf(x)yf(|x|)2教材中的“思考与讨论”想一想，如何按照下列指定的顺序，将一个函数的图象变为下一个函数的图象：ysin xysinysiny3sin.剖析：ysin xysinysiny3sin.题型一 作正弦型函数的图象【例题1】用五点法作出函数y2sin3的简图，并指出它的周期、频率、初相、最值及单调区间分析：先画出函数y2sin3在一个周期内的图象，再将其分别向左、右扩展，从而得所求函数的图象解：先由五点法作出y2sin3在一个周期内的图象列表：xx02y35313描点作图如图所示，再将上述一个周期内的图象分别向左、向右扩展即得函数y2sin3的简图(图略)，该函数的周期t2，频率f，初相为，最大值为5，最小值为1，函数的减区间为(kz)，增区间为(kz)反思用五点法作图象中的五个点，有三个点位于平衡位置，有一个点是最高点，有一个点是最低点，所以相邻两个点的横坐标相差个周期因此，找出一个点后，可依次把横坐标加上个周期，从而得到其他点的横坐标题型二 正弦型函数的图象变换【例题2】试用两种方法说明由函数ysin x的图象变换成函数y5sin的图象的全过程分析：思路一：先变相位，再变周期，最后变振幅，即ysin xysinysiny5sin.思路二：先变周期，再变相位，最后变振幅，即ysin xysinxysiny5sin.解：解法一：先把正弦曲线上所有的点向右平移个单位长度，得到函数ysin的图象；再把函数ysin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数ysin的图象；最后把函数ysin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)，得到函数y5sin的图象解法二：先把正弦曲线上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数ysinx的图象；再把函数ysinx的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数ysin的图象；最后把函数ysin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)，得到函数y5sin的图象反思对于函数yasin(x)，应明确a，决定“形变”，决定“位变”，a影响值域，影响周期，a，影响单调性当选用“伸缩在前，平移在后”的变换顺序时，一定要注意针对x的变化，函数图象向左或向右平移个单位长度题型三 由函数图象求解析式【例题3】如图是函数yasin(x)的图象中的一段，确定a，的值，并写出函数的解析式分析：可采用起始点法、最值点法、图象变换法来确定解析式解：解法一：(起始点法)由图象知，振幅a3.又t，2.由五点法作图原理知点为起始点，令20，得.y3sin.解法二：(最值点法)由图象知，振幅a3.又t，2.由图象知，图象的最高点坐标为，将该点坐标代入y3sin(2x)，得3sin3，2k，即2k，kz.不妨令k0，得.y3sin.解法三：(图象变换法)由a3，t，点在图象上，可知图象由y3sin 2x向左平移个单位长度得到的，y3sin 2，即y3sin.反思通过本题我们认识到：解决同一个问题，可以有多种途径，大家在做题时，要注意发散思维题型四 正弦型函数的综合应用【例题4】若函数f(x)sin(2x)对任意x都有ff.(1)求f的值；(2)求的最小正值；(3)当取最小正值时，若x，求f(x)的最大值和最小值分析：f(x)对任意x都有ff，意味着f(x)的一条对称轴为x，以此为切入点求出，再利用图象及性质求最值解：(1)f(x)对任意x都有ff，x是函数f(x)sin(2x)的一条对称轴f.(2)由f(x)sin(2x)的图象的对称轴知2xk(kz)，x(kz)直线x是其中一条对称轴，代入得k(kz)的最小正值为.(3)由(2)，知f(x)sin，x，2x，f(x)max，f(x)min.反思对于函数f(x)来说，若总有f(ax)f(ax)，则该函数图象关于直线xa对称题型五 易错辨析【例题5】要得到ysin 4x的图象，只需把ysin的图象()a向左平移个单位长度 b向右平移个单位长度c向左平移个单位长度 d向右平移个单位长度错解：d错因分析：平移方向有误我们知道要得到函数ysin的图象，只需把ysin 4x的图象向右平移个单位长度即可，但在回答本题时，要注意平移方向的变化，故应为向左平移个单位长度正解：c1函数y2sin的周期、振幅分别为()a，2 b，2 c2，2 d2，2答案：b2(2012天津期末)函数yasin(x)在一个周期内的图象如下图所示，此函数的解析式为()ay2sin bysincy2sin dy2sin答案：a3把函数ysin的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，则所得图象的函数解析式是()aysin bysincysin 4x dysin x解析：将ysin的图象向右平移个单位长度，得ysin，即ysin 2x的图象；再将ysin 2x的图象上各点的横坐标缩短到原来的，就得到函数ysin 4x的图象答案：c4下列各点不是函数y2sin的图象的对称中心的是()a bc d答案：d5当x时，函数f(x)sin的最大值是_，最小值是_解析：x，x.令