高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 倍角公式和半角公式 3.2.1 倍角公式学案 新人教B版必修4.doc

3.2.1倍角公式基础知识基本能力1理解二倍角公式的推导过程，并了解倍角公式之间以及它们与和角公式之间的内在联系(难点)2掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其变形(重点、易错点)1能运用倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式的证明(重点)2对于倍角公式不仅要会正用，还要会逆用及变形用，尤其是cos2，sin2作为降幂公式，更要会熟练应用(难点、易错点)倍角公式记法公式推导s2sin 22sin_cos_ss2c2cos 2cos2sin2cc2cos 22cos21，cos 212sin2利用sin2cos21消去sin2或cos2t2tan 2tt2名师点拨(1)t2只有当k(kz)及(kz)时才成立(2)对于二倍角公式的“倍”有广义的含义，2是的二倍角，同样地，4是2的二倍角，是的二倍角，3是的倍角一般地，(2nm)是(2n1m)的二倍角(nz)，于是二倍角公式可对应变形为：sin(2nm)2sin(2n1m)cos(2n1m)；cos(2nm)cos2(2n1m)sin2(2n1m)；tan(2nm).【自主测试1】已知tan 2，则tan 2等于()a4 b c d答案：c【自主测试2】(2012广东珠海质检)函数f(x)sin xcos x是()a周期为2的偶函数b周期为2的奇函数c周期为的偶函数d周期为的奇函数答案：d【自主测试3】已知sin ，则cos(2)()a b c d解析：cos(2)cos 22sin21221.答案：b关于升降幂公式的解读剖析：口诀如下：(1)1加余弦想余弦；(2)1减余弦想正弦；(3)幂升一次角减半； (4)幂降一次角翻番图表如下：归纳总结(1)对于公式sin 22sin cos ，有cos ，sin ；(2)对于(sin cos )2sin2cos22sin cos ，有(sin cos )21sin 2，同理有(sin cos )21sin 2；(3)对于公式tan 2，有tan ；(4)对于等腰三角形，已知底角的三角函数值求顶角的三角函数值正用倍角公式，已知顶角的三角函数值求底角的三角函数值逆用倍角公式题型一 化简、求值问题【例题1】求值：sin 50(1tan 10)分析：应通过“切化弦”化为关于弦函数的分式，然后利用“分式通分”技巧求解解：原式sin 50sin 50sin 501.反思问题中含有正弦、正切，采用“切化弦”，变为仅含有正弦、余弦的三角函数式，然后利用两角和公式、倍角公式等变形，将问题化简到底题型二 给值求值问题【例题2】若sin，则cos等于()a b c d解析：观察发现22，而，则cossin，所以cos2cos212sin21.答案：a反思通过角的形式的变化，生成所求的角或再变形即得所求角，是三角变换的重要方式求解时应当对所给角有敏锐的感觉，这种感觉的养成要靠平时经验的积累题型三 给值求角问题【例题3】已知tan ，tan 且，(0，)，求2的值分析：解：tan 0，2(0，)，tan 20，2.又tan 0，(0，)，tan(2)1.又2，2(，0)，2.反思在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然后再求出角，确定角的范围是关键的一步题型四 恒等式的证明【例题4】已知tan()3tan .求证：2sin 2sin 2sin(22)分析：解答本题可先将条件式切化弦，再设法推出待证式，最后进行解答证明：tan()3tan ，可变为sin()cos 3sin cos()sin()cos sin cos()2sin cos()sin()2sin (cos cos sin sin )sin 2sin cos cos 2sin2sin (12sin2)sin sin 2cos .当cos 0时，上式中因为12sin20，所以sin 0，矛盾所以cos 0，上式两边同乘以2cos ，得(12sin2)sin 2sin 22cos2sin 2(1cos 2)sin 2sin 2(1cos 2)2sin 2sin 2sin 2cos 2cos 2sin 2sin(22)，所以等式成立，即得证反思证明三角恒等式常用的方法是：观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异)，从解决某一差异入手(同时消除其他差异)，决定从该等式的哪边证明(也可两边同时化简)，当差异不易消除时，可采用转换命题法或分析法等方法作进一步的化简题型五 三角函数的综合问题【例题5】已知函数f(x)(1cot x)sin2x2sinsin.(1)若tan 2，求f()；(2)若x，求f(x)的取值范围分析：(1)利用两角的和差公式、三角函数基本关系式、倍角公式，将f(x)化成同角的函数形式，然后变成切的形式代入求解；(2)将(1)中的结论用公式将其变形为正弦函数，再研究其性质解：(1)f(x)(1cot x)sin2x2sin sinsin2xsin xcos xcos 2xsin 2xcos 2x(sin 2xcos 2x).由tan 2，得sin 2，cos 2.所以f().(2)由(1)得f(x)(sin 2xcos 2x)sin.由x，得2x，所以sin，从而f(x)sin.即f(x)的取值范围是.题型六 易错辨析【例题6】已知sin，cos，则角所在的 象限为_错解：由sin0，cos0，可知为第二象限的角，即2k2k(kz)，4k4k2(kz)，为第三或第四象限的角错因分析：仅根据的正弦、余弦的正负来判断的范围是比较粗浅的，尤其由的范围通过不等式的性质得的范围往往使范围扩大，具体的操作还要求出的正弦值、余弦值来确定正解：sin 2sincos20，cos cos2sin2220，是第三象限的角1已知x，cos x，则tan 2x()a b c d解析：x，cos x，sin x，tan x，tan 2x.答案：d2(2012山东曲阜期末)函数ycos 2xcos 2sin xcos xsin的递增区间是()a(kz)b(kz)c(kz)d(kz)答案：d3已知一个等腰三角形的一个底角的正弦值为，那么这个等腰三角形顶角的正弦值为()a bc d答案：c4cossin_，cos2sin2_，_.解析：cossin2sincossin；cos2sin2coscos；tan(215)tan 30.答案：5已知，sin，则cos 2的值为_解析：，0，cos，cos 2sin2sincos2.答案：6已知函数f(x)4cos xsin1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求