实验三数值积分与数值微分.doc

数值分析课程设计实验报告实验三 数值积分与数值微分一、问题提出 选用复合梯形公式，复合Simpson公式，Romberg算法，计算 （1） （2） （3） 二、问题分析由上可知这几个积分找不到用初等函数表示的原函数，直接计算起来很困难，因此我们考虑利用函数在若干点得函数值，近似地计算该函数在一个区间上得定积分。这里采用的方法有三种：复合梯形公式，复合Simpson公式，Romberg算法。三、实验步骤1、复合梯形公式MATLAB程序：function I=T_quad(x,y)n=length(x);m=length(y);if n=m error(the length of X and Y must be equal!); return;endh=(x(n)-x(1)/(n-1);a=1 2*ones(1,n-2) 1;I=h/2 * sum(a.*y);2、复合Simpson公式MATLAB程序：function I=S_quad(x,y)n=length(x);m=length(y);if n=m error(the length of X and Y must be equal!); return;endif rem(n-1,2)=0 %如果n-1不能被2整除，则调用复化梯形公式 I=T_quad(x,y); return;endN=(n-1)/2;h=(x(n)-x(1)/N;a=zeros(1,n);for k=1:N a(2*k-1)=a(2*k-1)+1; a(2*k)=a(2*k)+4; a(2*k+1)=a(2*k+1)+1;endI=h/6*sum(a.*y);3、Romberg算法MATLAB程序：function I=R_quad_iter(fun,a,b,ep)if nargin 1; T(m+1,k+1)=(4k*T(m+1,k)-T(m,k)/(4k-1); M=M/2;k=k+1; end if abs(T(k,k)-T(k-1,k-1)ep break; end m=m+1;endI=T(k,k);自适应步长梯形公式：function I=R_quad_iter(fun,a,b,ep)if nargin 4 ep=1e-5;end;N=1;h=b-a;T=h/2*(feval(fun,a)+feval(fun,b);while 1 h=h/2;I=T/2; for k=1:N; I=I+h*feval(fun,a+(2*k-1)*h); end if abs(I-T)ep break; end N=2*N;T=I;end对积分求解：%对求解x=0:1/40:1/4;y=sqrt(4-(sin(x).2);format longI=T_quad(x,y) %调用复化梯形公式求得积分值I =0.49870482652029I=S_quad(x,y) %调用复化辛普森公式求得积分值I =0.49871111844568fun=inline(sqrt(4-(sin(x).2);I=R_quad_iter(fun,0,1) %调用龙贝格算法可得积分值I=0.498711118445678x=0:1/400:1/4;y=sqrt(4-(sin(x).2);I=T_quad(x,y) %调用复化梯形公式求得积分值I = 0.49871105466684I=S_quad(x,y) %调用复化辛普森公式求得积分值I = 0.49871111757532%对求解： x=0.1:0.1:1;y=sin(x)./x %可以得到y值，由题可知f(0)=1。y=1 0.99833416646828 0.99334665397531 0.98506735553780 0.97354585577163 0.95885107720841 0.94107078899173 0.92031098176813 0.89669511362440 0.87036323291943 0.84147098480790;x=0:0.1:1;I=T_quad(x,y) %调用复化梯形公式可以求得I=0.94583207186691I=S_quad(x,y) %调用复化辛普森公式求得积分值I= 0.94608316883807x=0.01:0.01:1;%x使用不同的步长y=sin(x)./xI=T_quad(x,y) %调用复化梯形公式可以求得I=0.94608266887360I=S_quad(x,y) %调用复化辛普森公式求得积分值I= 0.94608313833507%对求解：x=0:0.1:1;y=exp(x)./(4+x.2);I=T_quad(x,y) %调用复化梯形公式可求得积分值I =0.39087531274504I=S_quad(x,y) %调用复化辛普森公式求得积分值I= 0.39081195686445x=0:0.01:1;%x使用不同的步长y=exp(x)./(4+x.2);I=T_quad(x,y) %调用复化梯形公式可求得积分值I= 0.39081184557538I=S_quad(x,y) %调用复化辛普森公式求得积分值I= 0.39081184557538%对求积分：x=0:0.1:1;y=log(1+x)./(1+x.2);I=T_quad(x,y) %调用复化梯形公式可求得积分值I =0.27128371750865I=S_quad(x,y) %调用复化辛普森公式求得积分值I= 0.27220124573417x=0:0.01:1;%x使用不同的步长y=log(1+x)./(1+x.2);I=T_quad(x,y) %调用复化梯形公式可求得积分值I= 0.27218912310178I=S_quad(x,y) %调用复化辛普森公式求得积分值I =0.27219826157968%给定精度要求，试用变步长算法，确定最佳步长：fun=inline(sqrt(4-(sin(x).2);I=R_quad_iter(fun,0,1/4)对于，采用复合梯形公式、复合辛普森公式（取得步长为0.1，即n=10），分别得到的结果为：I =0.94583207186691；I =0.94608316883807。对比近似值，复合辛普森公式以精度度比较高。另取步长为0.01，n=100，得到的结果分别为：复化梯形公式求得积分值I = 0.94608266887360，复化辛普森公式求得积分值I = 0.94608313833507。可以看出复化辛普森公式具有更高的精确度，两公式求解结果精度随着步长减小而提高。对求解，采用复合梯形公式、复合辛普森公式（取得步长为0.1，即n=10），分别得到的结果为：I =0.39087531274504；I =0.39081195686445。接着，我们另取步长为0.01，n=100，得到的结果分别为：复化梯形公式求得积分值I = 0.39081184557538，复化辛普森公式求得积分值I =0.39081184557538。从结果我们得出，随步长的减小，两公式求解精度越大。对求积分，采用复合梯形公式、复合辛普森公式（取得步长为0.1，即n=10），分别得到的结果为：I =0.27128371750865；I =0.27220124573417。接着，我们另取步长为0.01，n=100，得到的结果分别为：复化梯形公式求得积分值I = 0.27218912310178，复化辛普森公式求得积分值I =0.27219826157968。从结果我们看出，当n=10，精度较高，两结果具有两位有效数值的相同；同时，当n=100，精度已经很高