微积分3-1改版.ppt

一 罗尔 Rolle 定理 二 拉格朗日 Lagrange 中值定理 三 柯西 Cauchy 中值定理 一 罗尔 Rolle 定理 定理 Rolle 若函数f x 满足 1 在闭区间 a b 上连续 2 在开区间 a b 内可导 3 在区间端点处的函数值相等f a f b 例如 证 几何解释 若连续曲线弧的两个端点的纵坐标相等 且除去两个端点外处处有不垂直于横轴的切线 区间内有不可导的点 两端点的函数值不相等 区间内有不连续的点 例1 函数在区间是否满足罗尔定理的条件 若满足 求出定理结论中的点 解 并指出它们所在的区间 分别在区间 1 1 1 2 2 3 内 证 显然 f x 分别在闭区间 1 1 1 2 2 3 上连续 例2设函数f x x 1 x 1 x 2 x 3 证明方程f x 0有三个实根 且f 1 f 1 f 2 f 3 由罗尔定理 在 1 1 1 2 2 3 内分别存在点 1 2 3 使得f 1 f 2 f 3 0 即方程f x 0有三个实根 在开区间 1 1 1 2 2 3 内可导 二 拉格朗日 Lagrange 中值定理 几何解释 证 分析 弦AB方程为 作辅助函数 拉格朗日中值公式 注意 拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系 拉格朗日中值公式又称有限增量公式 拉格朗日中值定理又称有限增量定理 微分中值定理 推论1 推论2 例5 证 证考虑函数f x sinx 它在 上连续且可导 则对任意a b 由拉格朗日中值定理有 例6求证不等式 例7 证 由上式得 例8 拉格朗日中值定理 解 拉格朗日中值公式的几种表达形式 三 柯西 Cauchy 中值定理 例9 证 分析 结论可变形为 小结 Rolle定理 Lagrange中值定理 Cauchy中值定理 罗尔定理 拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系 注意定理成立的条件 注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤 1 函数在区间 1 2 上满足拉格朗日中值定理 则 一 填空题 2 设函数 个根 它们分别在区间上 1 2 2 3 3 4 罗尔在数学上的成就主要是在代数方面 任意次方程的一个解法的证明 的论述中指出了 在多项式方程 多年后 即 并把此命题名为罗尔定理 一新生事物还存在逻辑上的缺陷 从而遭受多方面的非议 罗尔 罗尔生平简介 且结婚过早 年轻时贫困潦倒 靠充当公证人与律师抄录员的微薄收入养家糊口 他利用业余时间刻苦自学代数家奥扎南提出的一个数论难题 受到了学术界的好评 从而声名雀起 也使他的生活有了转机 此后担任初等数学教师和陆军部行政官员 1685年进入法国科学院 担任低级职务 到1699年才获得科学院发给的固定薪水 此后他一直在科学院供职 1719年因中风去世 罗尔于1691年在题为 的两个相邻的实根之间 方程至少有一个根 一百 1846年 尤斯托 伯拉维提斯将这一定理推广到可微函数 罗尔所处的时代正当牛顿 莱布尼兹的微积分诞生不久 由于这 其中也包括 1652 4 21 1719 11 8 拉格朗日 1736 1 25 1813 4 10 生平简介 拉格朗日是法国数学家 他的父亲是陆军骑兵里的一名会计官 后又经商 拉格朗日兄弟姐妹11人 他的父亲希望他能当一名律师 他14岁考入中学时 逐渐对物理学和几何学感兴趣 特别对几何学更热爱 17岁时 当他读到英国天文学家哈雷撰写的介绍牛顿微积分成就的一篇短文之后 对分析产生了浓厚的兴趣 而分析在当时是迅速发展的一个数学领域 1754年 18岁的拉格朗日给出了二个函数积的高阶导数公式 他 将这一发现告诉了当时的几何学家泥尼亚诺 数学家欧拉 后来得知这一结果早在半个世纪以前就被莱布尼兹所发现 他生怕别人误认为他是剽窃者和科学骗子 但这一挫折并没有使他丧失信心 1755年8月12日 拉格朗日给欧拉写了一封信 在这封信中 他对求积分极值问题的纯分析方法做了系统的总结 这是变分法研究的一个重大进展 也是他在数学研究中最杰出的成就之一 拉格朗日在数学的许多领域都留下了足迹 他的工作总结了18 世纪的数学成果 同时开辟了19世纪数学研究的道路 1813年4月10日 拉格朗日与世长辞 人们争相悼念他 在法国科学院 意大利各大学都举行了追悼会 柯西 1789 8 21 1857 5 23 生平简介 柯西是法国数学家 力学家 柯西的父亲是法国波旁王朝的官员 幼年时 他的父亲常带领他到法国参议院的办公室 并在那里指导他进行学习 因此他有机会遇到参议员拉普拉斯和拉格朗日两位大数学家 他们对他的才能十分赏识 拉格朗日认为他将来必定会成为大数学家 柯西于1805年考入综合工科学校 在那里主要学习数学和力学 1807年考入桥梁公路学校 1810年以优异成绩毕业 前往瑟堡参加海港建设工程 他在业余时间悉心攻读有关数学各分支从数论到天文学方面的书籍 柯西最有首创性的工作是有关复变函数论 他对数学的最大贡献是在微积分中引进了清晰和严格的表述于证明方法 在这方面他写了三部专著 分析教程 无穷小计算教程 微分计算教程 柯西还是数理弹