（全国通用版）2018-2019版高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.2 函数的极值与导数（二）学案 新人教A版选修2-2.doc

13.2函数的极值与导数(二)学习目标1.能根据极值点与极值的情况求参数范围.2.会利用极值解决方程的根与函数图象的交点个数问题1极小值点与极小值(1)特征：函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，并且f(a)0.(2)符号：在点xa附近的左侧f(x)0.(3)结论：点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值2极大值点与极大值(1)特征：函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，并且f(b)0.(2)符号：在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，解得a1.(2)f(x)x(ln xax)，f(x)ln x2ax1，且f(x)有两个极值点，f(x)在(0，)上有两个不同的零点，令f(x)0，则2a，设g(x)，则g(x)，g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，又当x0时，g(x)，当x时，g(x)0，而g(x)maxg(1)1，只需02a1，即0a.引申探究1若本例(1)中函数的极大值点是1，求a的值解f(x)x22xa，由题意得f(1)12a0，解得a3，则f(x)x22x3，经验证可知，f(x)在x1处取得极大值2若本例(1)中函数f(x)有两个极值点，均为正值，求a的取值范围解由题意，得方程x22xa0有两个不等正根，设为x1，x2，则解得0a0)上存在极值，求实数a的取值范围考点利用导数研究函数的极值题点极值存在性问题解f(x)，x0，则f(x).当0x0，当x1时，f(x)0)上存在极值，解得a1.即实数a的取值范围为.类型二利用函数极值解决函数零点问题例2(1)函数f(x)x34x4的图象与直线ya恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是_考点函数极值的综合应用题点函数零点与方程的根答案解析f(x)x34x4，f(x)x24(x2)(x2)令f(x)0，得x2或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值当x2时，函数取得极大值f(2)；当x2时，函数取得极小值f(2).且f(x)在(，2)上单调递增，在(2,2)上单调递减，在(2，)上单调递增根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示，结合图象知a.(2)已知函数f(x)x36x29x3，若函数yf(x)的图象与yf(x)5xm的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围考点函数极值的综合应用题点函数零点与方程的根解由f(x)x36x29x3，可得f(x)3x212x9，f(x)5xm(3x212x9)5xmx2x3m.则由题意可得x36x29x3x2x3m有三个不相等的实根，即g(x)x37x28xm的图象与x轴有三个不同的交点g(x)3x214x8(3x2)(x4)，令g(x)0，得x或x4.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x4(4，)g(x)00g(x)极大值极小值则函数g(x)的极大值为gm，极小值为g(4)16m.由yf(x)的图象与yf(x)5xm的图象有三个不同交点，得解得16m2)当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(2,0)0(0，)g(x)0g(x)极大值由上表可知，函数在x0处取得极大值，极大值为g(0)2ln 2b.结合图象(图略)可知，要使g(x)0在区间1,1上恰有两个不同的实数根，只需即所以2ln 20，解得a6或a0时，令f(x)0，解得x或x.令f(x)0，解得x.若f(x)在(0,1)内有极小值，则01.解得0a20或m12时，方程f(x)m有一个解；当m20或m12时，方程f(x)m有两个解；当12m20时，方程f(x)m有三个解1研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f(x)0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标2事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.一、选择题1函数f(x)3x2ln xx的极值点的个数是()a0 b1 c2 d3考点函数在某点处取得极值的条件题点不含参数的函数求极值问题答案b解析函数f(x)的定义域为(0，)；f(x)6x1；当0x时，f(x)时，f(x)0；x是f(x)的极值点；即f(x)的极值点个数为1.故选b.2若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于()a2 b3 c6 d9考点利用导数研究函数的极值题点已知极值求参数答案d解析f(x)12x22ax2b，f(x)在x1处有极值，f(1)122a2b0，ab6.又a0，b0，ab2，26，ab9.3若函数f(x)2x39x212xa恰好有两个不同的零点，则a的值可能为()a4 b6 c7 d8答案a解析f(x)6x218x126(x1)(x2)由f(x)0，得x2，由f(x)0，得1x2，所以函数f(x)在区间(，1)，(2，)上单调递增，在区间(1,2)上单调递减，从而可知f(x)的极大值和极小值分别为f(1)，f(2)若函数f(x)恰好有两个不同的零点，则f(1)0或f(2)0，解得a5或a4.4函数f(x)x2aln x(ar)不存在极值点，则a的取值范围是()a(，0) b(0，)c0，) d(，0考点利用导数研究函数的极值题点极值存在性问题答案d解析f(x)的定义域是(0，)，f(x)2x，若f(x)在(0，)上不存在极值点，则a2x2在(0，)上恒成立，故a0，故选d.5若函数f(x)x2exa恰有三个零点，则实数a的取值范围是()a. b.c(0,4e2) d(0，)考点函数极值的综合应用题点函数零点与方程的根答案b解析令g(x)x2ex，则g(x)2xexx2exxex(x2)令g(x)0，得x0或2，g(x)在(2,0)上单调递减，在(，2)，(0，)上单调递增g(x)极大值g(2)，g(x)极小值g(0)0，又f(x)x2exa恰有三个零点，则0a.6已知函数f(x)ln xax2(a1)x1在x1处取得极小值，则实数a的取值范围是()a(，1 b(，1)c(1，) d(0，)考点利用导数研究函数的极值题点极值存在性问题答案c解析f(x)的定义域是(0，)，f(x)ln xax2(a1)x1，f(x)ax(a1)，令f(x)0，解得x或x1，若f(x)在x1处取得极小值，则01.7已知函数f(x)ax3bx2cx的图象如图所示，且f(x)在xx0与x2处取得极值，则f(1)f(1)的值一定()a等于0 b大于0c小于0 d小于或等于0考点函数极值的综合应用题点函数极值在函数图象上的应用答案b解析f(x)3ax22bxc.令f(x)0，则x0和2是该方程的根x020.由题图知，f(x)0，则b0，f(1)f(1)2b，f(1)f(1)0.二、填空题8函数f(x)ax2bx在x处有极值，则b的值为_考点利用导数研究函数的极值题点已知极值求参数答案2解析f(x)2axb，函数f(x)在x处有极值，f2ab0，即b2.9函数f(x)ax3x1有极值的充要条件是_考点利用导数研究函数的极值题点极值存在性问题答案a0解析f(x)ax3x1的导数为f(x)3ax21，若函数f(x)有极值，则f(x)0有解，即3ax210有解，a0.10若函数f(x)x3x2ax4在区间(1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为_考点利用导数研究函数的极值题点极值存在性问题答案1,5)解析由题意，得f(x)3x22xa，则f(1)f(1)0，即(1a)(5a)0，解得1a1，解得a0，x取足够小的负数时，有f(x)0，曲线yf(x)与x轴至少有一个交点由(1)知f(x)极大值fa，f(x)极小值f(1)a1.曲线yf(x)与x轴仅有一个交点，f(x)极大值0，即a0，a1，当a(1，)时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点13已知函数f(x)x4ax32x2b(xr)，其中a，br.(1)当a时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)仅在x0处有极值，求a的取值范围考点利用导数研究函数的极值题点已知极值求参数解(1)f(x)4x33ax24xx(4x23ax4)，当a时，f(x)x(4x210x4)2x(2x1)(x2)令f(x)0，解得x10，x2，x32.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)02(2，)f(x)000f(x)极小值极大值极小值所以f(x)在区间，(2，)上是单调递增函数，在区间(，0)，上是单调递减函数(2)f(x)x(4x23ax4)，显然x0不是方程4x23ax40的根，为使f(x)仅在x0处有极值，必须有4x23ax40恒成立，即有9a2640，解得a，此时，f(0)b是唯一的极值，因此满足条件的a的取值范围是.四、探究与拓展14设函数f(x)sin .若存在f(x)的极值点x0满足xf(x0)2m2，则m的取值范围是()a(，6)(6，) b(，4)(4，)c(，2)(2，) d(，1)(1，)考点利用导数研究函数的极值题点极值存在性问题答案c解析由正弦函数的图象可知，f(x)的极值点x0满足f(x0)，则k(kz)，从而得x0m(kz)所以不等式xf(x0)2m2即为2m233，其中kz.由题意，存在整数k使得不等式m23成立当k1且k0时，必有21，此时不等式显然不能成立，故k1或k0，此时，不等式即为m23，解得m2.15已知函数f(x)ae2xbe2xcx(a，b，cr)的导函数f(x)为偶函数，且曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线的斜率为4c.(1)确定a，b的值；(2)若c3，判断f(x)的单调性；(3)若f(x)有极值，求c的取值范围考点利用导数研究函数的极值题点已知极值求参数解(1)对f(x)求导，得f(x)2ae2x2be2xc，由f(x)为偶函数，知f(x)f(x)恒成立，即2(ab)(e2xe2x)0恒成立，所以ab.又f(0)2a2bc4c，故a1，b1.(2)当c3时，f(x)e2xe2x3x，那么f(x)2e2x2e2x32310，故f(x)在r上为增函数(