（全国通用版）2018-2019版高中数学 第一章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理学案 新人教A版选修2-2.doc

1.6微积分基本定理学习目标1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分知识点一微积分基本定理(牛顿莱布尼茨公式)思考已知函数f(x)2x1，f(x)x2x，则(2x1)dx与f(1)f(0)有什么关系？答案由定积分的几何意义知，(2x1)dx(13)12，f(1)f(0)2，故(2x1)dxf(1)f(0)梳理(1)微积分基本定理条件：f(x)是区间a，b上的连续函数，并且f(x)f(x)；结论：f(x)dxf(b)f(a)；符号表示：f(x)dxf(x)|f(b)f(a)(2)常见的原函数与被积函数关系cdxcx|(c为常数)xndx(n1)sin xdxcos x|.cos xdxsin x|.dxln x|(ba0)exdxex|.axdx(a0且a1)dx(ba0)知识点二定积分和曲边梯形面积的关系思考定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？答案当被积函数f(x)0恒成立时，定积分与曲边梯形的面积相等，若被积函数f(x)0不恒成立，则不相等梳理设曲边梯形在x轴上方的面积为s上，在x轴下方的面积为s下，则(1)当曲边梯形在x轴上方时，如图，则f(x)dxs上(2)当曲边梯形在x轴下方时，如图，则f(x)dxs下(3)当曲边梯形在x轴上方，x轴下方均存在时，如图，则f(x)dxs上s下特别地，若s上s下，则f(x)dx0.1若f(x)f(x)，则f(x)唯一()2微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数f(x)的导数()3应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数()类型一求定积分例1计算下列定积分(1)(2xex)dx；(2)dx；(3)(4)(x3)(x4)dx.考点利用微积分基本定理求定积分题点利用微积分基本定理求定积分解(1)(2xex)dx(x2ex)|(1e1)(0e0)e.(2)dx(ln x3sin x)|(ln 23sin 2)(ln 13sin 1)ln 23sin 23sin 1.(3)212sin cos 1sin x，(0cos 0)1.(4)(x3)(x4)x27x12，(x3)(x4)dx(x27x12)dx0.反思与感悟(1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得原函数f(x)(2)由微积分基本定理求定积分的步骤第一步：求被积函数f(x)的一个原函数f(x)；第二步：计算函数的增量f(b)f(a)跟踪训练1计算下列定积分(1)dx；(2)；(3)(1)dx.考点利用微积分基本定理求定积分题点利用微积分基本定理求定积分解(1)dxln 2.(2)sin x1.(3)(1)dx(x)dx.例2(1)若f(x)求(2)计算定积分|32x|dx.考点分段函数的定积分题点分段函数的定积分解(1)x2dx又因为x2，(sin xx)cos x1，所以原式(sin xx)(sin 00).(2)|32x|dx(3xx2)(x23x).反思与感悟分段函数定积分的求法(1)利用定积分的性质，转化为各区间上定积分的和计算(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算跟踪训练2(1)e|x|dx_.考点分段函数的定积分题点分段函数的定积分答案2e2解析e|x|dxexdxexdxex|ex|e0e1e1e02e2.(2)已知f(x)求f(x)dx.考点分段函数的定积分题点分段函数的定积分解f(x)dx(2xex)dxdx(x2ex)|(1e)(0e0)eln 2.类型二利用定积分求参数例3(1)已知t0，f(x)2x1，若f(x)dx6，则t_.(2)已知2(kx1)dx4，则实数k的取值范围为_考点微积分基本定理的应用题点利用微积分基本定理求参数答案(1)3(2)解析(1)f(x)dx(2x1)dxt2t6，解得t3或2，t0，t3.(2)(kx1)dxk1.由2k14，得k2.引申探究1若将例3(1)中的条件改为f(x)dxf，求t.解由f(x)dx(2x1)dxt2t，又ft1，t2tt1，得t1.2若将例3(1)中的条件改为f(x)dxf(t)，求f(t)的最小值解f(t)f(x)dxt2t2(t0)，当t时，f(t)min.反思与感悟(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数f(x)等概念跟踪训练3(1)已知x(0,1，f(x)(12x2t)dt，则f(x)的值域是_(2)设函数f(x)ax2c(a0)若f(x)dxf(x0)，0x01，则x0的值为_考点微积分基本定理的应用题点利用微积分基本定理求参数答案(1)0,2)(2)解析(1)f(x)(12x2t)dt(t2xtt2)|2x2(x(0,1)f(x)的值域为0,2)(2)f(x)dx(ax2c)dxc.又f(x0)axc，ax，即x0或.0x01，x0.1若dx3ln 2，则a的值是()a5 b4 c3 d2考点微积分基本定理的应用题点利用微积分基本定理求参数答案d解析dx2xdxdxx2|ln x|a21ln a3ln 2，解得a2.2等于()a b c. d.考点利用微积分基本定理求定积分题点利用微积分基本定理求定积分答案d解析sin .3设f(x)则f(x)dx等于()a. b.c. d不存在考点分段函数的定积分题点分段函数的定积分答案c解析f(x)dxx2dx(2x)dx.4已知函数f(x)xnmx的导函数f(x)2x2，则f(x)dx_.考点微积分基本定理的应用题点微积分基本定理的综合应用答案解析f(x)xnmx的导函数f(x)2x2，nxn1m2x2，解得n2，m2，f(x)x22x，则f(x)x22x，f(x)dx(x22x)dx991.5已知f(x)计算：f(x)dx.解f(x)dx取f1(x)2x22x，则f1(x)4x2；取f2(x)sin x，则f2(x)cos x.所以(2x22x)sin x21，即f(x)dx21.1求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分2由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数.一、选择题1dx等于()ae2ln 2 be2eln 2ce2eln 2 de2eln 2考点利用微积分基本定理求定积分题点利用微积分基本定理求定积分答案d解析(exln x)|(e2ln 2)(eln 1)e2eln 2.2若2，则实数a等于()a1 b1c d.考点微积分基本定理的应用题点利用微积分基本定理求参数答案a解析(cos xasin x)0a(10)1a2，a1，故选a.3若s1x2dx，s2dx，s3exdx，则s1，s2，s3的大小关系为()as1s2s3 bs2s1s3cs2s3s1 ds3s2s1考点利用微积分基本定理求定积分题点利用微积分基本定理求定积分答案b解析因为s1x2dx23，s2dxln x|ln 2，s3exdxex|e2ee(e1)又ln 2ln e1，且2.5e(e1)，所以ln 2e(e1)，即s2s10，所以f(1)lg 10.又当x0时，f(x)x3t2dtxt3|xa3，所以f(0)a3.因为f(f(1)1，所以a31，解得a1.11设f(x)是一次函数，且f(x)dx5，xf(x)dx，则f(x)的解析式为_考点微积分基本定理的应用题点利用微积分基本定理求参数答案f(x)4x3解析f(x)是一次函数，设f(x)axb(a0)，f(x)dx(axb)dxaxdxbdxab5，xf(x)dxx(axb)dx(ax2)dxbxdxab.解得f(x)4x3.12已知，则当(cos xsin x)dx取最大值时，_.考点微积分基本定理的应用题点微积分基本定理的综合应用答案解析(cos xsin x)dx(sin xcos x)|sin cos 1sin1.，则，当，即时，sin1取得最大值三、解答题13已知f(x)(12t4a)dt，f(a)f(x)3a2dx，求函数f(a)的最小值考点微积分基本定理的应用题点微积分基本定理的综合应用解因为f(x)(12t4a)dt(6t24at)|6x24ax(6a24a2)6x24ax2a2，f(a)f(x)3a2dx(6x24axa2)dx(2x32ax2a2x)|a22a2(a1)211.所以当a1时，f(a)取到最小值为1.四、探究与拓展14已知函数f(x)则f(x)dx等于()a. b.c. d.考点分段函数的定积分题点分段函数的定积分答案b解析f(x)dx(x1)2dxdx，(x1)2dx，dx以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的四分之一，故dx，故f(x)dx.15已知f(x)是f(x)在(0，)上的导数，满足xf(x)2f(x)，且x2f(x)ln xdx1.(1)求f(x)的解析式；(2)当x0时，证明不等式2ln xex22.考点微积分基本定理的应用题点微积分基本定理的综合应用(1)解由xf(x)2f(x)，得x2f(x)2xf(x)，即x2