（全国通用版）2019版高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 课时分层作业 二十三 3.6 正弦定理和余弦定理 文.doc

课时分层作业 二十三正弦定理和余弦定理一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016全国卷)abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,已知a=, c=2,cos a=,则b等于()a.b.c.2d.3【解析】选d.在abc中由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos a,即5=b2+4-,解得b=3或b=-(舍去).2.(2018潍坊模拟)在abc中,cos2=(a,b,c分别为角a,b,c的对边),则abc的形状为()a.等边三角形b.直角三角形c.等腰三角形或直角三角形d.等腰直角三角形【解析】选b.因为cos2=,cos2=,所以(1+cos b)c=a+c,所以a=cos bc=,所以2a2=a2+c2-b2,所以a2+b2=c2,所以abc为直角三角形.3.在abc中,已知b=40,c=20,c=60,则此三角形的解的情况是()a.有一解b.有两解c.无解d.有解但解的个数不确定【解析】选c.因为=,所以sin b=1,故此三角形无解.4.(2017山东高考)在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c,若abc为锐角三角形,且满足sin b(1+2cos c)=2sin acos c+cos asin c,则下列等式成立的是()a.a=2bb.b=2ac.a=2bd.b=2a【解题指南】逆用两角和的正弦公式将原式化简,再结合正弦定理去判断.【解析】选a.2sin acos c+cos asin c=sin acos c+(sin acos c+cos asin c)=sin acos c+sin b=sin b+2sin bcosc,即sin acos c=2sin bcos c,由于abc为锐角三角形,所以cos c0,sin a=2sin b,由正弦定理可得a=2b.5.(2018长沙模拟)在abc中,a=,b2sin c=4sin b,则abc的面积为()a.1b.2c.3d.4【解析】选b.因为b2sin c=4sin b,所以b2c=4b,即bc=4,故sabc=bcsin a=2.【变式备选】在锐角abc中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c,若sin a=,a=3,sabc=2,则b的值为()a.6b.3c.2d.2或3【解析】选d.因为sabc=2=bcsin a,所以bc=6,又因为sin a=,所以cos a=,又a=3,由余弦定理得9=b2+c2-2bccos a=b2+c2-4,b2+c2=13,可得b=2或b=3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2017全国卷)abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,若2bcos b=acos c+ccos a,则b=_.【解析】由正弦定理可得2sin bcos b=sin acos c+sin ccos a=sin(a+c)=sin b,所以cos b=,又因为0b,所以b=.答案:7.(2018杭州模拟)在abc中,内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,已知a=, b=,abc的面积为,则c=_,b=_.【解析】因为a=,b=,abc的面积为=bcsin a=c,所以解得:c=1+,所以由余弦定理可得:a=2,可得:cos b= =,又0b,故b=.答案:1+8.设abc的内角a,b,c所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,a=2b,则cos b的值为_.【解析】因为a=2b,=,b=3,c=1,所以=,可得a=6cos b,由余弦定理可得:a=6,所以a=2,所以cos b=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2018成都模拟)已知三角形abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c,若sin 2a=cos 2a,且角a为锐角.(1)求三角形内角a的大小.(2)若a=5,b=8,求c的值.【解析】(1)由题意,sin 2a=cos 2a,即tan 2a=.所以2a=或者2a=,因为角a为锐角,所以a=.(2)由(1)可知a=,a=5,b=8;由余弦定理,2bccos a=c2+b2-a2,可得:c2-8c+39=0,解得c=4+3或者4-3.10.(2017全国卷)abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,已知sin a+cos a=0,a=2,b=2.(1)求c.(2)设d为bc边上一点,且adac,求abd的面积.【解析】(1)因为sin a+cos a=0,所以sin a=-cos a,所以tan a=-.因为a(0,),所以a=.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos a,代入a=2,b=2得c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去)或c=4,所以c=4.(2)由(1)知c=4.因为c2=a2+b2-2abcos c,所以16=28+4-222cos c,所以cos c=,所以sin c=,所以tan c=.在rtcad中,tan c=,所以=,即ad=.则sadc=2=,由(1)知sabc=bcsin a=24=2,所以sabd=sabc-sadc=2-=.1.(5分)(2016全国卷)在abc中,b=,bc边上的高等于bc,则sin a=()a.b.c.d.【解析】选d.设bc边上的高为ad,且ad=m,因为b=,则bd=m,ab=m,又因为ad=bc,所以dc=2m,ac=m,由正弦定理=得sinbac=.【变式备选】设abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,若a=2,c=2,cos a=且bc,则b等于()a.3b.2c.2d.【解析】选c.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos a,即4=b2+12-6bb2-6b+8=0(b-2)(b-4)=0,由bc,得b=2.2.(5分)在abc中,若=且(b+c+a)(b+c-a)=3bc,则abc的形状为()a.直角三角形b.等腰三角形c.等边三角形d.钝角三角形【解析】选c.由正弦定理得=,又由已知得=,故b=c,又因为(b+c+a)(b+c-a)=3bc,即(b+c)2-a2=3bc,故b2+c2-a2=bc,所以cos a=,因为0a,所以a=,故abc是等边三角形.3.(5分)(2018大连模拟)如图,在四边形abcd中,abd=45,adb=30, bc=1,dc=2,cosbcd=,则bd=_;三角形abd的面积为_.【解析】在cbd中,由余弦定理,可得bd=2,在abd中,利用正弦定理,可得ad=2-2,所以三角形abd的面积为2 (2-2)=-1.答案:2-14.(12分)(2018泉州模拟)已知a,b,c分别是abc中角a,b,c的对边,acsin a+4sin c=4csin a.(1)求a的值.(2)圆o为abc的外接圆(o在abc内部),obc的面积为,b+c=4,判断abc的形状,并说明理由.【解析】(1)由正弦定理可知,sin a=,sin c=,则acsin a+4sin c=4csin aa2c+4c=4ac,因为c0,所以a2c+4c=4aca2+4=4a(a-2)2=0,可得a=2.(2)设bc的中点为d,则odbc,所以sobc=bcod.又因为sobc=,bc=2,所以od=,在rtbod中,tanbod=,又0bod180,所以bod =60,所以boc=2bod=120,因为o在abc内部,所以a=boc=60,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos a.所以4=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,又b+c=4,所以bc=4,所以b=c=2,所以abc为等边三角形.5.(13分)(2017全国卷)abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,已知abc的面积为.(1)求sin bsin c.(2)若6cos bcos c=1,a=3,求abc的周长.【解析】(1)因为abc面积s=且s=bcsin a,所以=bcsin a,所以a2=bcsin2a,由正弦定理得sin2a=sin bsin csin2a,由sin a0得sin bsin c=.(2)由(1)得sin bsin c=,又cos bcos