（全国通用版）2019版高考数学一轮复习 第八章 解析几何 课时分层作业五十六 8.7 双曲线 理.doc

课时分层作业 五十六双曲线一、选择题(每小题5分,共25分)1.双曲线-=1的渐近线方程是()a.y=xb.y=xc.y=xd.y=x【解析】选c.双曲线-=1 中a=3,b=2,双曲线的渐近线方程为y=x.2.(2018石家庄模拟)若双曲线m:-=1(a0,b0)的左、右焦点分别是f1,f2,p为双曲线m上一点,且|pf1|=15, |pf2|=7, |f1f2|=10,则双曲线m的离心率为()a.3b.2c.d.【解析】选d.p为双曲线m上一点,且|pf1|=15,|pf2|=7,|f1f2|=10,由双曲线的定义可得|pf1|-|pf2|=2a=8,|f1f2|=2c=10,则双曲线的离心率为:e=.3.(2018彭州模拟)设f为双曲线c: -=1(a0,b0)的右焦点,过坐标原点的直线依次与双曲线c的左、右支交于点p,q,若|pq|=2|qf|, pqf=60,则该双曲线的离心率为()a.b.1+c.2+d.4+2【解析】选b.pqf=60, 因为|pq|=2|qf|,所以pfq=90,设双曲线的左焦点为f1,连接f1p,f1q,由对称性可知,四边形f1pfq为矩形,且|f1f|=2|qf|,|qf1|=|qf|,故e=+1.【变式备选】(2018齐齐哈尔模拟)已知双曲线c:-=1(a0,b0)的右顶点为a,以a为圆心,半径为a的圆与双曲线c的某条渐近线交于两点p,q,若paq,则双曲线c的离心率的取值范围为()a.b.c.d.【解析】选a.过a作abpq,垂足为b,则b为pq的中点,即pab,点a到渐近线y=x的距离为:|ab|=,cospab,即,得到.所以,e,又e1,所以双曲线c的离心率的取值范围为.4.已知双曲线c:x2-=1,经过点m的直线l交双曲线c于a,b两点,且m为ab的中点,则直线l的方程为()a.8x-y-15=0b.8x+y-17=0c.4x+y-9=0d.4x-y-7=0【解析】选a.设点a,b,则有两式作差得-=0,即直线l的斜率k=8,所以直线l的方程为y-1=8,即8x-y-15=0.【变式备选】已知双曲线c:x2-=1,经过点m的直线l交双曲线c于a,b两点,且m为ab的中点,则直线l的方程为_.【解析】设点a,b,则有两式作差得-=0,即直线l的斜率k=1,所以直线l的方程为y-3=x-1,即y=x+2.答案:y=x+25.已知f是双曲线-=1的左焦点,a(1,4),p是双曲线右支上的动点,则|pf|+|pa|的最小值为 ()a.5b.5+4c.7d.9【解析】选d.如图所示,设双曲线的右焦点为e,则e(4,0).由双曲线的定义及标准方程得|pf|-|pe|=4,则|pf|+|pa|=4+|pe|+|pa|.由图可得,当a,p,e三点共线时,(|pe|+|pa|)min=|ae|=5,从而|pf|+|pa|的最小值为9.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知双曲线c:-=1的离心率e=,且其右焦点为f2(5,0),则双曲线c的方程为_.【解析】因为e=,f2(5,0),所以c=5,a=4,b2=c2-a2=9,所以双曲线c的标准方程为-=1.答案:-=1【误区警示】利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是:设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列出关于a,b,c的方程并求出a,b,c的值.与双曲线-=1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为-=(0).7.已知双曲线经过点,其一条渐近线方程为y=x,则该双曲线的标准方程为_.【解析】设双曲线方程为: mx2+ny2=1(mn0,b0)交于a,b两点,且|ab|=,又l关于直线l1:y=x对称的直线l2与x轴平行.(1)求双曲线c的离心率.(2)求双曲线c的方程.【解析】(1)设双曲线c:-=1过一、三象限的渐近线l1:-=0的倾斜角为.因为l和l2关于l1对称,记它们的交点为p,l与x轴的交点为m.而l2与x轴平行,记l2与y轴的交点为q.依题意有qpo=pom=opm=.又l:y=(x-2)的倾斜角为60,则2=60,所以tan 30=.于是e2=1+=1+=,所以e=.(2)由于=,于是设双曲线方程为-=1(k0),即x2-3y2=3k2.将y=(x-2)代入x2-3y2=3k2中,得x2-33(x-2)2=3k2.化简得到8x2-36x+36+3k2=0,设a(x1,y1),b(x2,y2),则|ab|=|x1-x2|=2=2= =,求得k2=1.故所求双曲线方程为-y2=1.10.已知离心率为的椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,双曲线以椭圆的长轴为实轴,短轴为虚轴,且焦距为2.(1)求椭圆及双曲线的方程.(2)设椭圆的左、右顶点分别为a,b,在第二象限内取双曲线上一点p,连接bp交椭圆于点m,连接pa并延长交椭圆于点n,若=,求四边形anbm的面积.【解析】(1)设椭圆方程为+=1(ab0),则根据题意知双曲线的方程为-=1且满足解方程组得所以椭圆的方程为+=1,双曲线的方程为-=1.(2)由(1)得a(-5,0),b(5,0),|ab|=10,设m(x0,y0),则由=得m为bp的中点,所以p点坐标为(2x0-5,2y0).将m,p坐标代入椭圆和双曲线方程,得消去y0,得2-5x0-25=0.解之,得x0=-或x0=5(舍去).所以y0=.由此可得m,所以p(-10,3).当p为(-10,3)时,直线pa的方程是y=(x+5),即y=-(x+5),代入+=1,得2x2+15x+25=0.所以x=-或-5(舍去),所以xn=-,xn=xm,mnx轴.所以s四边形anbm=2samb=210=15.【误区警示】注意区分双曲线中a,b,c的关系与椭圆中a,b,c的关系.【变式备选】已知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线方程为2x+y=0,且顶点到渐近线的距离为.(1)求此双曲线的方程.(2)设p为双曲线上一点,a,b两点在双曲线的渐近线上,且分别位于第一、二象限,若=,求aob的面积.【解析】(1)依题意得解得故双曲线的方程为-x2=1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y=2x,设a(m,2m),b(-n,2n),其中m0,n0,由=得点p的坐标为.将点p的坐标代入-x2=1,整理得mn=1.设aob=2,因为tan=2,则tan =,从而sin 2=.又|oa|=m,|ob|=n,所以saob=|oa|ob|sin 2=2mn=2.1.(5分)过双曲线-=1(a0,b0)的右焦点f作圆x2+y2=a2的切线fm(切点为m),交y轴于点p.若m为线段fp的中点,则双曲线的离心率是()a.b.c.2d.【解析】选a.因为ompf,且|fm|=|pm|,所以|op|=|of|,ofp=45,|om|=|of|sin 45,即a=c,所以e=,故选a.【变式备选】已知abp的顶点a,b分别为双曲线c:-=1的左、右焦点,顶点p在双曲线上,则的值等于()a.b.c.d.【解析】选a.在abp中,由正弦定理知=.2.(5分)(2018汉阳模拟)已知o为直角坐标系的坐标原点,双曲线c: -=1(ba0)上有一点p(m0),点p在x轴上的射影恰好是双曲线c的右焦点,过点p作双曲线c两条渐近线的平行线,与两条渐近线的交点分别为a, b,若平行四边形paob的面积为1,则双曲线的标准方程是()a.x2-=1b.-=1c.x2-=1d.-=1【解析】选a.设平行线方程为y-m=-,由 解得xa=,则|oa|=,又点p到直线y=x的距离d=,所以=1,化简得 =1,又-=15b2-a2m2=a2b2,所以ab=2,又c=,解得a=1,b=2,所以双曲线的标准方程是x2-=1.【变式备选】已知双曲线-=1(a0,b0)的一个焦点与圆x2+y2-10x=0的圆心重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的标准方程为()a.-=1b.-=1c.-=1d.-=1【解析】选a.因为圆x2+y2-10x=0的圆心为(5,0),所以c=5,又双曲线的离心率等于,所以a=,b=2.所以双曲线的标准方程为-=1.3.(5分)(2018开封模拟)f1,f2是双曲线c:-=1的两个焦点,点m是双曲线c上一点,且f1mf2=60,则f1mf2的面积为_.【解析】因为f1,f2是双曲线c:-=1的两个焦点,所以m+4=16,所以m=12,设|mf1|=m,|mf2|=n,因为点m是双曲线上一点,且f1mf2=60,所以|m-n|=4,m2+n2-2mncos 60=64,由-2得mn=16,所以f1mf2的面积s=mnsin 60=4.答案:44.(12分)已知双曲线c:-=1(a0,b0)的一条渐近线的方程为y=x,右焦点f到直线x=的距离为.(1)求双曲线c的方程.(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线c相交于b,d两点,已知a(1,0),若=1,证明:过a,b,d三点的圆与x轴相切.【解析】(1)依题意有=,c-=,因为a2+b2=c2,所以c=2a,所以a=1,c=2,b2=3.故双曲线c的方程为x2-=1.(2)设直线l的方程为y=x+m(m0),b(x1,x1+m),d(x2,x2+m),bd的中点为m,由得2x2-2mx-m2-3=0,所以x1+x2=m,x1x2=-,又因为=1,即(2-x1)(2-x2)+(x1+m)(x2+m)=1.所以m=0(舍)或m=2.所以x1+x2=2,x1x2=-,m点的横坐标为=1,因为=(1-x1)(1-x2)+(x1+2)(x2+2)=5+2x1x2+x1+x2=5-7+2=0.所以adab,所以过a,b,d三点的圆以点m为圆心,bd为直径,因为点m的横坐标为1,所以max轴,所以过a,b,d三点的圆与x轴相切.5.(13分)已知动圆p过点n(2,0)并且与圆m:(x+2)2+y2=4相外切,动圆圆心p的轨迹为w,过点n的直线l与轨迹w交于a,b两点. (1)求轨迹w的方程.(2)若2=,求直线l的方程.(3)对于l的任意一确定的位置,在直线x=上是否存在一点q,使得=0,并说明理由.【解析】(1)依题意可知|pm|=|pn|+2,所以|pm|-|pn|=20,b0),则a=1,c=2,所以b2=c2-a2=3,所以轨迹w的方程为x2-=1(x1).(2)当l的斜率不存在时,显然不满足2=,故l的斜率存在,设l的方程为y=k(x-2),由 得(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0,又设a(x1,y1),b(x2,y2),则 由解得k23.因为2=,所以2(2-x1,-y1)=(x2-2,y2),所以x2=6-2x1,代入得=6-x1,=x1(6-2x1),消去x1得k2=35,即k=,故所求直线l的方程为y=(x-2).(3)问题等价于判断以ab为直径的圆是否与直线x=有公共点,若直线l的斜率不存在,则以ab为直径的圆为