（全国通用版）2019版高考数学一轮复习 高考达标检测（二十）正、余弦定理的3个应用点——高度、距离和角度 文.doc

高考达标检测（二十） 正、余弦定理的3个应用点高度、距离和角度一、选择题1.(2018东北三校联考)如图所示，已知两座灯塔a和b与海洋观察站c的距离都等于a km，灯塔a在观察站c的北偏东20，灯塔b在观察站c的南偏东40，则灯塔a与灯塔b的距离为()aa kmb.a kmc2a km d.a km解析：选d依题意知acb1802040120，在abc中，由余弦定理知ab a(km)，即灯塔a与灯塔b的距离为a km.2.如图所示为起重机装置示意图，支杆bc10 m，吊杆ac15 m，吊索ab5 m，起吊的货物与岸的距离ad为()a30 mb. mc15 m d45 m解析：选b在abc中，ac15 m，ab5 m，bc10 m，由余弦定理得cosacb.sinacb.又acbacd180.sinacdsinacb.在rtadc中，adacsinacd15(m)3(2018江西联考)某位居民站在离地20 m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60，小高层底部的俯角为45，那么这栋小高层的高度为()a20m b20(1)mc10()m d20()m解析：选b如图，设ab为阳台的高度，cd为小高层的高度，ae为水平线由题意知ab20 m，dae45，cae60，故de20 m，ceaetan 6020 m所以cd20(1)m.4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d0.6 km，一艘客船从码头a出发匀速驶往河对岸的码头b.已知ab1km，水的流速为2 km/h，若客船从码头a驶到码头b所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为()a8 km/h b6 km/hc2 km/h d10 km/h解析：选b设ab与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin ，从而cos ，所以由余弦定理得2212221，解得v6.5.(2018武昌调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为()a14 h b15 hc16 h d17 h解析：选b记现在热带风暴中心的位置为点a，t小时后热带风暴中心到达b点位置，在oab中，oa600，ab20t，oab45，根据余弦定理得ob26002400t2220t600，令ob24502，即4t2120t1 5750，解得t，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为15(h)6一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点a测得水柱顶端的仰角为45，沿点a向北偏东30前进100 m到达点b，在b点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是()a50 m b100 mc120 m d150 m解析：选a设水柱高度是hm，水柱底端为c，则在abc中，a60，ach，ab100，bch，根据余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.二、填空题7.(2018郑州调研)如图，在山底测得山顶仰角cab45，沿倾斜角为30的斜坡走1 000 m至s点，又测得山顶仰角dsb75，则山高bc为_ m.解析：由题图知bas453015，abs451530，asb135，在abs中，由正弦定理可得，ab1 000，bc1 000.答案：1 0008.如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔aa1和bb1.已知从塔aa1的底部看塔bb1顶部的仰角是从塔bb1的底部看塔aa1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点c分别看两塔顶部的仰角互为余角则从塔bb1的底部看塔aa1顶部的仰角的正切值为_；塔bb1的高为_ m.解析：设从塔bb1的底部看塔aa1顶部的仰角为，则aa160tan ，bb160tan 2.从两塔底部连线中点c分别看两塔顶部的仰角互为余角，a1accbb1，aa1bb1900，3 600tan tan 2900，tan (负值舍去)，tan 2，bb160tan 245.答案：459.如图，为了测量河对岸a，b两点之间的距离，观察者找到一个点c，从点c可以观察到点a，b；找到一个点d，从点d可以观察到点a，c；找到一个点e，从点e可以观察到点b，c.并测量得到一些数据：cd2，ce2，d45，acd105，acb48.19，bce75，e60，则a，b两点之间的距离为_.解析：依题意知，在acd中，a30，由正弦定理得ac2.在bce中，cbe45，由正弦定理得bc3.在abc中，由余弦定理ab2ac2bc22acbccos acb10，所以ab.答案：三、解答题10.已知在东西方向上有m，n两座小山，山顶各有一个发射塔a，b，塔顶a，b的海拔高度分别为am100 m和bn200 m，一测量车在小山m的正南方向的点p处测得发射塔顶a的仰角为30，该测量车向北偏西60方向行驶了100 m后到达点q，在点q处测得发射塔顶b处的仰角为，且bqa，经测量tan 2，求两发射塔顶a，b之间的距离解：在rtamp中，apm30，am100，pm100.连接qm，在pqm中，qpm60，又pq100，pqm为等边三角形，qm100.在rtamq中，由aq2am2qm2，得aq200.在rtbnq中，tan 2，bn200，bq100，cos .在bqa中，ba2bq2aq22bqaqcos (100)2，ba100.即两发射塔顶a，b之间的距离是100 m.11某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在a处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45，距离为10 n mile的c处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.解：如图所示，根据题意可知ac10，acb120，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h，并在b处与渔轮相遇，则ab21t，bc9t，在abc中，根据余弦定理得ab2ac2bc22acbccos 120，所以212t210281t22109t，即360t290t1000，解得t或t(舍去)所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 h.此时ab14，bc6.在abc中，根据正弦定理，得，所以sincab，即cab21.8或cab158.2(舍去)，即舰艇航行的方位角为4521.866.8.所以舰艇以66.8的方位角航行，需 h 才能靠近渔轮12某高速公路旁边b处有一栋楼房，某人在距地面100 m的32楼阳台a处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15方向上，且俯角为30的c处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西75方向上，且俯角为45的d处(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速80 km/h，试问该客车是否超速？(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向e处，问此时客车距离楼房多远？解：(1)在rtabc中，bac60，ab100 m，则bc100 m.在rtabd中，bad45，ab100 m，则bd100 m.在bcd中，dbc751590，则dc200 m，所以客车的速度v20 m/s72 km/h，所以该客车没有超速(2)在rtbcd中，bcd30，又因为dbe15，所以cbe105，所以ceb45.在bce中，由正弦定理可知，所以eb50 m，即此时客车距楼房50 m.1.如图所示，在平面四边形abcd中，ad1，cd2，ac，若 cosbad，sincba，则bc_.解析：由题意，在adc中，ad1，cd2，ac，由余弦定理可得coscad，sincad，由cosbad，可得sinbad，sincabsin(badcad)sinbadcoscadcosbadsincad，在abc中，由正弦定理可得bc3.答案：32湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的a点处，乙船在中间b点处，丙船在最后面的c点处，且bcab31.一架无人机在空中的p点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得apb30，bpc90.(船只与无人机的大小及其它因素忽略不计)(1)求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；(2)若此时甲、乙两船相距100 m，求无人机到丙船的距离(精确到1 m)解：(1)画出示意