（全国通用版）2019版高考数学总复习 专题一 高频客观命题点 1.4 平面向量精选刷题练 理.doc

1.4平面向量命题角度1平面向量的线性运算、平面向量基本定理高考真题体验对方向1.(2018全国6)在abc中,ad为bc边上的中线,e为ad的中点,则eb=()a.34ab-14acb.14ab-34acc.34ab+14acd.14ab+34ac答案a解析 如图,eb=-be=-12(ba+bd)=12ab-14bc=12ab-14(ac-ab)=34ab-14ac.2.(2017全国12)在矩形abcd中,ab=1,ad=2,动点p在以点c为圆心且与bd相切的圆上.若ap=ab+ad,则+的最大值为()a.3b.22c.5d.2答案a解析建立如图所示的平面直角坐标系,则a(0,1),b(0,0),d(2,1).设p(x,y),由|bc|cd|=|bd|r,得r=|bc|cd|bd|=215=255,即圆的方程是(x-2)2+y2=45.易知ap=(x,y-1),ab=(0,-1),ad=(2,0).由ap=ab+ad,得x=2,y-1=-,所以=x2,=1-y,所以+=12x-y+1.设z=12x-y+1,即12x-y+1-z=0.因为点p(x,y)在圆(x-2)2+y2=45上,所以圆心c到直线12x-y+1-z=0的距离dr,即|2-z|14+1255,解得1z3,所以z的最大值是3,即+的最大值是3,故选a.3.(2015全国7)设d为abc所在平面内一点,bc=3cd,则()a.ad=-13ab+43acb.ad=13ab-43acc.ad=43ab+13acd.ad=43ab-13ac答案a解析如图:ad=ab+bd,bc=3cd,ad=ab+43bc=ab+43(ac-ab)=-13ab+43ac.4.(2015全国13)设向量a,b不平行,向量a+b与a+2b平行,则实数=.答案12解析由题意知存在常数tr,使a+b=t(a+2b),得=t,1=2t,解之得=12.新题演练提能刷高分1.(2018重庆二诊)已知两个非零向量a,b互相垂直,若向量m=4a+5b与n=2a+b共线,则实数的值为()a.5b.3c.2.5d.2答案c解析向量m=4a+5b与n=2a+b共线,存在实数t,使得m=tn,即4a+5b=t(2a+b),又向量a,b互相垂直,故a,b不共线.2t=4,t=5,解得t=2,=52.故选c.2.(2018山西一模)在平行四边形abcd中,点e为cd的中点,be与ac的交点为f,设ab=a,ad=b,则向量bf=()a.13a+23bb.-13a-23bc.-13a+23bd.13a-23b答案c解析bf=23be=23(bc+ce)=23(b-12a)=-13a+23b,故选c.3.(2018安徽安庆二模)在abc中,点d是边bc上任意一点,m是线段ad的中点,若存在实数和,使得bm=ab+ac,则+=()a.12b.-12c.2d.-2答案b解析因为点d在边bc上,所以存在tr,使得bd=tbc=t(ac-ab).因为m是线段ad的中点,所以bm=12(ba+bd)=12(-ab+tac-tab)=-12(t+1)ab+12tac,又bm=ab+ac,所以=-12(t+1),=12t,所以+=-12.故选b.4.(2018安徽淮南一模)已知g是abc的重心,过点g作直线mn与ab,ac交于点m,n,且am=xab,an=yac(x,y0),则3x+y的最小值是()a.83b.72c.52d.43+233答案d解析如图,m,n,g三点共线,mg=gn,ag-am=(an-ag).g是abc的重心,ag=13(ab+ac),13(ab+ac)-xab=yac-13(ab+ac),13-x=-13,13=y-13,解得(3x-1)(3y-1)=1,结合图象可知12x1,12y1,令3x-1=m,3y-1=n12m2,12n2,故mn=1,x=1+m3,y=1+n3,故3x+y=1+m+1+n3=43+m+n343+213mn=43+233,当且仅当m=33,n=3时等号成立,故选d.5.(2018山东菏泽一模)已知在abc中,d为边bc上的点,且bd=3dc,点e为ad的中点,be=mab+nac,则m+n=.答案-12解析如图所示,be=bd+de=bd-12ad=bd-12(ab+bd)=12bd-12ab=1234bc-12ab=38bc-12ab=38(ac-ab)-12ab=-78ab+38ac.又be=mab+nac,所以mab+nac=-78ab+38ac,所以m+78ab+n-38ac=0.又因为ab与ac不共线,所以m=-78,n=38,所以m+n=-12.6.(2018四川“联测促改”)在平面向量中有如下定理:设点o,p,q,r为同一平面内的点,则p、q、r三点共线的充要条件是:存在实数t,使op=(1-t)oq+tor.试利用该定理解答下列问题:如图,在abc中,点e为ab边的中点,点f在ac边上,且cf=2fa,bf交ce于点m,设am=xae+yaf,则x+y=.答案75解析b,m,f三点共线,存在实数t,使得am=(1-t)ab+taf,又ab=2ae,af=13ac,am=2(1-t)ae+13tac,又e,m,c三点共线,2(1-t)+13t=1,解得t=35.am=2(1-t)ae+taf=45ae+35af,x=45,y=35,x+y=75.命题角度2平面向量的坐标运算高考真题体验对方向1.(2016全国3)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)b,则m=()a.-8b.-6c.6d.8答案d解析由题意可知,向量a+b=(4,m-2).由(a+b)b,得43+(m-2)(-2)=0,解得m=8,故选d.2.(2016全国3)已知向量ba=12,32,bc=32,12,则abc=()a.30b.45c.60d.120答案a解析由题意得cosabc=babc|ba|bc|=1232+321211=32,所以abc=30,故选a.3.(2018全国13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+b),则=.答案12解析2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,),由c(2a+b),得4-2=0,得=12.4.(2016全国13)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.答案-2解析|a+b|2=|a|2+|b|2,(m+1)2+32=m2+1+5,解得m=-2.新题演练提能刷高分1.(2018东北三省三校二模)已知向量a=(1,1),b=(-1,2),若(a-b)(2a+tb),则t=()a.0b.12c.-2d.-3答案c解析因为a-b=(2,-1),2a+tb=(2-t,2+2t),又因为(a-b)(2a+tb),所以2(2+2t)=-(2-t),t=-2,故选c.2.(2018广东汕头期末)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),c=a-tb,若bc,则实数t=()a.1b.-1c.2d.2答案a解析由题意得c=a-tb=(2,4)-t(-1,1)=(2+t,4-t),bc,bc=(-1,1)(2+t,4-t)=-(2+t)+(4-t)=2-2t=0,解得t=1.故选a.3.(2018福建福州期末)已知a=(1,2),b=(-1,1),c=2a-b,则|c|=()a.26b.32c.10d.6答案b解析a=(1,2),b=(-1,1),c=2a-b=(3,3),|c|=9+9=32,故选b.4.(2018贵州凯里二模)已知a=(-1,1),b=(2,-1),c=(1,2),若a=b+c,则=.答案-3解析由a=b+c可知(-1,1)=(2,-1)+(1,2)=(2+,-+2),2+=-1,-+2=1,解得=-35,=15,=-3.5.(2018百校联盟全国联考)向量ba=(1,2),caba,且|ca|=25,则bc的坐标为.答案(3,6)或(-1,-2)解析caba,ca=tba=(t,2t).又|ca|=25,t2+4t2=5t2=20,解得t=2.当t=2时,bc=ba+ac=(1,2)+(-2,-4)=(-1,-2);当t=-2时,bc=ba+ac=(1,2)+(2,4)=(3,6).命题角度3计算平面向量的数量积高考真题体验对方向1.(2018全国4)已知向量a,b满足|a|=1,ab=-1,则a(2a-b)=()a.4b.3c.2d.0答案b解析a(2a-b)=2a2-ab=2-(-1)=3.2.(2018全国8)设抛物线c:y2=4x的焦点为f,过点(-2,0)且斜率为23的直线与c交于m,n两点,则fmfn=()a.5b.6c.7d.8答案d解析易知f(1,0),过点(-2,0)且斜率为23的直线方程为y=23(x+2).联立抛物线方程y2=4x,得y2=4x,y=23(x+2),解得x=1,y=2,或x=4,y=4.不妨设m(1,2),n(4,4),所以fm=(0,2),fn=(3,4),所以fmfn=8.3.(2017全国12)已知abc是边长为2的等边三角形,p为平面abc内一点,则pa(pb+pc)的最小值是()a.-2b.-32c.-43d.-1答案b解析以bc所在的直线为x轴,bc的垂直平分线ad为y轴,d为坐标原点建立平面直角坐标系,如图.可知a(0,3),b(-1,0),c(1,0).设p(x,y),则pa=(-x,3-y),pb=(-1-x,-y),pc=(1-x,-y).所以pb+pc=(-2x,-2y).所以pa(pb+pc)=2x2-2y(3-y)=2x2+2y-322-32-32.当点p的坐标为0,32时,pa(pb+pc)取得最小值为-32,故选b.4.(2016天津7)已知abc是边长为1的等边三角形,点d,e分别是边ab,bc的中点,连接de并延长到点f,使得de=2ef,则afbc的值为()a.-58b.18c.14d.118答案b解析设ba=a,bc=b,则de=12ac=12(b-a),df=32de=34(b-a),af=ad+df=-12a+34(b-a)=-54a+34b.故afbc=-54ab+34b2=-58+34=18,应选b.5.(2017天津13)在abc中,a=60,ab=3,ac=2.若bd=2dc,ae=ac-ab(r),且adae=-4,则的值为.答案311解析bd=2dc,ad=ab+bd=ab+23bc=ab+23(ac-ab)=23ac+13ab.又ae=ac-ab,a=60,ab=3,ac=2,adae=-4.abac=3212=3,23ac+13ab(ac-ab)=-4,即23ac2-13ab2+3-23abac=-4,234-139+3-233=-4,即113-5=-4,解得=311.新题演练提能刷高分1.(2018河北石家庄一模)点b是以线段ac为直径的圆上的一点,其中|ab|=2,则acab=()a.1b.2c.3d.4答案d解析由圆的性质知abc=90,所以cosbac=baac=|ba|ac|,所以acab=|ac|ab|cosbac=|ac|ab|ab|ac|=|ab|2=4,故选d.2.(2018山东烟台期末)在abc中,已知|ab+ac|=|ab-ac|,ab=1,ac=3,m,n分别为bc的三等分点,则aman=()a.109b.209c.89d.83答案b解析|ab+ac|=|ab-ac|,bac=90.又m,n分别为bc的三等分点,aman=ab+13bcac+13cb=abac+13abcb+13bcac+19bccb=0+13110110+13103310-191010=13+3-109=209.故选b.3.(2018安徽马鞍山质监)如图,四边形abcd是边长为2的菱形,bad=60,e,f分别为bc,cd的中点,则aeef=()a.12b.-32c.32d.-12答案d解析在菱形abcd中边长为2,bad=60,abad=22cos 60=2,又ae=ab+be=ab+12ad,ef=12bd=12(ad-ab),aeef=(ab+12ad)12(ad-ab)=1212ad2+12abad-ab2=12124+122-4=-12,故选d.4.(2018陕西西安八校第一次联考)在abc中,已知abac=92,|ac|=3,|ab|=3,m,n分别是bc边上的三等分点,则aman的值是()a.112b.132c.6d.7答案b解析abac=92,|ac|=3,|ab|=3,abac=|ab|ac|cos a=33cos a=92,cos a=12.a(0,),a=3,abc是等边三角形,即|bc|=3.m、n分别是bc边上的三等分点,am=ab+bm=ab+13bc,an=ac+cn=ac+13cb=ac-13bc,aman=ab+13bcac-13bc=abac-13abbc+13bcac-19|bc|2,abac=33cos 60=92,abbc=33cos 120=-92,bcac=33cos 60=92,aman=ab+13bcac-13bc=92-13-92+1392-1=132,故选b.5.(2018河北唐山一模)在abc中,c=90,|ab|=6,点p满足|cp|=2,则papb的最大值为()a.9b.16c.18d.25答案b解析取ab的中点d,连接cd.设pc与cd的夹角为,则papb=(pc+ca)(pc+cb)=pc2+pc(ca+cb)+cacb=pc2+pc(ca+cb)=22+pc2cd=4+2pccd=4+2|pc|cd|cos =4+223cos =4+12cos ,所以当=00时,papb的最大值为16.故选b.6.(2018吉林长春质量监测)已知菱形abcd的一条对角线bd长为2,点e满足ae=12ed,点f为cd的中点,若adbe=-2,则cdaf=.答案-7解析如图,建立平面直角坐标系,设c(t,0),a(-t,0),b(0,-1),d(0,1),e-23t,13,ft2,12,ad=(t,1),be=-23t,43,cd=(-t,1),af=3t2,12,adbe=-2,-23t2+43=-2,解得t2=5,cdaf=-32t2+12=-7.命题角度4平面向量数量积的应用高考真题体验对方向1.(2016山东8)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos=13.若n(tm+n),则实数t的值为()a.4b.-4c.94d.-94答案b解析由4|m|=3|n|,可设|m|=3k,|n|=4k(k0),又n(tm+n),所以n(tm+n)=ntm+nn=t|m|n|cos+|n|2=t3k4k13+(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4,故选b.2.(2017全国13)已知向量a,b的夹角为60,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.答案23解析因为|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|a|b|cos 60+4|b|2=22+42112+41=12,所以|a+2b|=12=23.3.(2017山东12)已知e1,e2是互相垂直的单位向量,若3e1-e2与e1+e2的夹角为60,则实数的值是.答案33解析e1,e2是互相垂直的单位向量,可设a=3e1-e2=(3,-1),b=e1+e2=(1,).则=60.cos=cos 60=ab|a|b|=3-22+1=12,即3-=2+1,解得=33.新题演练提能刷高分1.(2018安徽宣城二调)已知在abc中,a=120,且ab=3,ac=4,若ap=ab+ac,且apbc,则实数的值为()a.2215b.103c.6d.127答案a解析因为apbc,所以apbc=ab+acac-ab=-ab2+ac2+(-1)acab=0,因此-32+42+(-1)34cos 120=0,所以=2