（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第五章 数列 第28讲 等差数列及其前n项和优选学案.doc

第28讲等差数列及其前n项和考纲要求考情分析命题趋势1.理解等差数列的概念2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题4了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.2017全国卷，172017全国卷，172017江苏卷，192016浙江卷，81.利用公式求等差数列指定项、前n项和；利用定义、通项公式证明数列是等差数列2利用等差数列性质求等差数列指定项(或其项数)、公差；利用等差数列的单调性求前n项和的最值.分值：57分1等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第_2_项起，每一项与它的前一项的差等于_同一个常数_，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母_d_表示，定义表达式为_anan1d(常数)(nn*，n2)_或_an1and(常数)(nn*)_.(2)等差中项若三个数a，a，b成等差数列，则a叫做a与b的等差中项，且有a_.2等差数列的有关公式(1)等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是_ana1(n1)d_.(2)等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和sn_na1d_或sn_.3等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam_(nm)d_(n，mn*)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nn*)，则_akalaman_.(3)若an是等差数列，公差为d，则也是等差数列，公差为_2d_.(4)若an，bn是等差数列，公差为d，则也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mn*)是公差为_md_的等差数列(6)数列sm，s2msm，s3ms2m，也是等差数列(7)s2n1(2n1)an.(8)若n为偶数，则s偶s奇；若n为奇数，则s奇s偶a中(中间项)1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nn*，都有2an1anan2.()(3)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()解析(1)错误若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，这个数列就不是等差数列(2)正确如果数列an为等差数列，根据定义an2an1an1an，即2an1anan2；反之，若对任意nn*，都有2an1anan2，则an2an1an1ananan1a2a1，根据定义知数列an为等差数列(3)正确当d0时为递增数列；d0时为常数列；d0，d0时，满足的项数m使得sn取得最大值为sm；当a10时，满足的项数m使得sn取得最小值为sm.【例4】 等差数列an中，a10，s5s12，当n为何值时，sn有最大值？解析设等差数列an的公差为d，由s5s12，得5a110d12a166d，da10，得n23.5，所以使akak1k)总成立，则称数列an是“p(k)数列”(1)证明：等差数列an是“p(3)数列”；(2)若数列an既是“p(2)数列”，又是“p(3)数列”，证明：an是等差数列证明(1)因为an是等差数列，设其公差为d，则ana1(n1)d，从而，当n4时，ankanka1(nk1)da1(nk1)d2a12(n1)d2an，k1,2,3，所以an3an2an1an1an2an36an，因此等差数列an是“p(3)数列”(2)数列an既是“p(2)数列”，又是“p(3)数列”，因此，当n3时，an2an1an1an24an，当n4时，an3an2an1an1an2an36an，由知an3an24an1(anan1)，an2an34an1(an1an)将代入，得an1an12an，其中n4，所以a3，a4，a5，是等差数列，设其公差为d.在中，取n4，则a2a3a5a64a4，所以a2a3d，在中，取n3，则a1a2a4a54a3，所以a1a32d，所以数列an是等差数列易错点性质应用不灵活错因分析：对于等差数列an中，若mnpq2k，则amanapaq2ak；若1n2k，则snnak；anam(nm)d等的性质应用不够灵活【例1】 等差数列an中，a10，公差d0，a53a7，前n项和为sn，若sn取得最大值，则n_.解析 方法一由已知得a14d3(a16d)，a17d，sn(n215n)，n7或8时，sn最大方法二a5(a52d)2a7，a7d0，即a80.d0，a1a2a7a80a9，n7或8时，sn最大方法三a5a72a7a7a5a9，a7a90，于是a80，d0，a1a2a7a80a9，n7或8时，sn最大答案7或8【跟踪训练1】 (1)设sn是等差数列an的前n项和，若，则(a)a1b1c2d(2)在等差数列an中，a12 017，其前n项和为sn，若2，则s2 019(c)a2 018b2 018c2 019d2 019解析(1)设等差数列an的首项为a1，由等差数列的性质可得a1a92a5，a1a52a3，1.故选a(2)设等差数列前n项和为snan2bn，则anb，成等差数列2 017，是以2 017为首项，以1为公差的等差数列2 0172 01811，s2 0192 019.故选c课时达标第28讲解密考纲主要考查等差数列的通项公式、等差中项及其性质以及前n项和公式的应用，三种题型均有涉及一、选择题1已知等差数列an的前13项和为39，则a6a7a8(b)a6b9c12d18解析由等差数列的性质，得s1313a739，a73.由等差中项，得a6a7a83a79.故选b2等差数列an的前n项和为sn，已知a58，s36，则a9(c)a8b12c16d24解析由已知得a14d8,3a1d6，解得a10，d2.故a9a18d16.故选c3(2018山东济南一中期中)等差数列an中，若s1010，则a5a6(c)a0b1c2d3 解析等差数列an中，s1010，a1a102，由等差数列的性质可知a5a6a1a102.故选c4设sn是公差不为零的等差数列an的前n项和，且a10，若s5s9，则当sn最大时，n(b)a6b7c10d9解析由题意可得s9s5a6a7a8a90，2(a7a8)0，即a7a80.又a10，该等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数当sn最大时，n7.5在等差数列an中，a9a123，则数列an的前11项和s11(c)a24b48c66d132解析设公差为d，a9a123，即a18d(a111d)3，整理，得a15d6，即a66.s1166.故选c6设sn是公差为d(d0)的无穷等差数列an的前n项和，则下列命题错误的是(c)a若d0，则数列sn有最大项b若数列sn有最大项，则d0d若对任意的nn*，均有sn0，则数列sn是递增数列解析c项显然是错的，举出反例：1，0,1,2,3，满足数列sn是递增数列，但是对任意的nn*，sn0不成立二、填空题7设等差数列an的前n项和为sn，若a13，ak1，sk12，则正整数k_13_.解析由sk1skak112，又sk1，解得k13.8设等差数列an的前n项和为sn，若1a31,0a63，则s9的取值范围是_(3,21)_.解析s99a136dx(a12d)y(a15d)，由待定系数法得x3，y6.因为33a33,06a618，两式相加即得3s90，知数列an是递增数列，所以p1为真命题；因为nann(2n8)，对称轴为n2，则数列nan先减后增，所以p2为假命题；因为2，故数列是递增数列，所以p3为真命题；因为a(2n8)2，对称轴为n4，则数列a先减后增，所以p4为假命题三、解答题10在等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和sk35，求k的值解析(1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d.由a11，a33，可得12d3，解得d2，从而an1(n1)(2)32n.(2)由(1)可知an32n.所以sn2nn2.由sk35，可得2kk235，即k22k350，解得k7或k5.又kn*，故k7.11已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为sn，且sk110.(1)求a及k的值；(2)设数列bn的通项bn，证明数列bn是等差数列，并求其前n项和tn.解析(1)设该等差数列为an，则a1a，a24，a33a，由已知有a3a8，得a1a2，公差d422，所以skka1d2k2k2k.由sk110，得k2k1100，解得k10或k11(舍去)，故a2，k10.(2)由(1)得snn(n1)，则bnn1，故bn1bn(n2)(n1)1，即数列bn是首项为2，公差为1的等差数列，所以tn.12设等差数列an的前n项和为sn，若a10，s2 0170.(1)求sn的最小值及此时n的值；(2)求n的取值集合，