（全国通用版）2019版高考数学一轮复习 第十二单元 空间向量 高考达标检测（三十二）空间角3类型——线线角、线面角、二面角 理.doc

高考达标检测（三十二）空间角3类型线线角、线面角、二面角1如图，在正三棱柱abca1b1c1中，点d是棱ab的中点，bc1，aa1.(1)求证：bc1平面a1dc；(2)求二面角da1ca的正弦值解：(1)证明：过点a作aobc交bc于点o，过点o作oebc交b1c1于e.因为平面abc平面cbb1c1，所以ao平面cbb1c1.以o为坐标原点，ob，oe，oa所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系因为bc1，aa1，abc是等边三角形，所以o为bc的中点则o(0,0,0)，a，b，c，d，a1，c1，设平面a1dc的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则即 取x1，得z13，y11，平面a1dc的一个法向量为n1(，1，3)又(1，0)，n10，又bc1平面a1dc，bc1平面a1dc.(2)设平面aca1的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，(0，0)，则即取x2，得y20，z21.平面aca1的一个法向量为n2(，0，1)则cosn1，n2，设二面角da1ca的大小为，cos ，sin ，故二面角da1ca的正弦值为. 2(2017全国卷)如图，四棱锥pabcd中，侧面pad为等边三角形且垂直于底面abcd，abbcad，badabc90，e是pd的中点(1)证明：直线ce平面pab；(2)点m在棱pc上，且直线bm与底面abcd所成角为45，求二面角mabd的余弦值解：(1)证明：取pa的中点f，连接ef，bf.因为e是pd的中点，所以efad，efad.由badabc90，得bcad，又bcad，所以ef綊bc，所以四边形bcef是平行四边形，cebf，又ce平面pab，bf平面pab，故ce平面pab.(2)由已知得baad，以a为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)，b(1，0,0)，c(1,1,0)，p(0，1，)，(1,0，)，(1,0,0)设m(x，y，z)(0x1)，则(x1，y，z)，(x，y1，z)因为bm与底面abcd所成的角为45，而n(0,0,1)是底面abcd的法向量，所以|cos，n|sin 45，即(x1)2y2z20. 又m在棱pc上，设，则x，y1，z. 由解得(舍去)，或所以m，从而.设m(x0，y0，z0)是平面abm的法向量，则即所以可取m(0，2)于是cosm，n.由图知二面角mabd为锐角，因此二面角mabd的余弦值为.3.如图，在三棱锥pabc中，pa底面abc，bac90.点d，e，n分别为棱pa，pc，bc的中点，m是线段ad的中点，paac4，ab2.(1)求证：mn平面bde；(2)求二面角cemn的正弦值；(3)已知点h在棱pa上，且直线nh与直线be所成角的余弦值为，求线段ah的长解：由题意知，ab，ac，ap两两垂直，故以a为坐标原点，分别以，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系依题意可得a(0，0,0)，b(2，0,0)，c(0,4,0)，p(0,0,4)，d(0,0,2)，e(0,2,2)，m(0,0,1)，n(1,2,0)(1)证明：(0,2,0)，(2,0，2)设n(x，y，z)为平面bde的法向量，则即不妨取z1，可得n(1,0,1)又(1,2，1)，可得n0.因为mn平面bde，所以mn平面bde.(2)易知n1(1,0,0)为平面cem的一个法向量设n2(x1，y1，z1)为平面emn的法向量，又(0，2，1)，(1,2，1)，则即不妨取y11，可得n2(4,1，2)因此有cosn1，n2，于是sinn1，n2.所以二面角cemn的正弦值为.(3)依题意，设ahh(0h4)，则h(0,0，h)，进而可得(1，2，h)，(2,2,2)由已知，得|cos，|，整理得10h221h80，解得h或h.所以线段ah的长为或.4.如图，在四棱锥pabcd中，侧面pad底面abcd，底面abcd是平行四边形， abc45，adap2，abdp2，e为cd的中点，点f在线段pb上(1)求证：adpc；(2)试确定点f的位置，使得直线ef与平面pdc所成的角和直线ef与平面abcd所成的角相等解：(1)证明：在平行四边形abcd中，连接ac，因为ab2，bc2，abc45，由余弦定理得ac284222cos 454，解得ac2，所以ac2bc2ab2，所以acb90，即bcac.又adbc，所以adac.又adap2，dp2，所以ad2ap2dp2，所以apad，又apaca，所以ad平面pac，所以adpc.(2)因为侧面pad底面abcd，paad，所以pa底面abcd，所以直线ac，ad，ap两两互相垂直，以a为坐标原点，ac，ad，ap所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则d(2,0,0)，c(0,2,0)，b(2,2,0)，e(1,1,0)，p(0,0,2)，所以(0,2，2)，(2,0，2)，(2,2，2)，设 (0,1)，则(2，2，2)，f(2，2，22)，所以(21,21，22)，易得平面abcd的法向量m(0,0,1)设平面pdc的法向量为n(x，y，z)，则即令x1，得n(1，1，1)因为直线ef与平面pdc所成的角和直线ef与平面abcd所成的角相等，所以|cos，m|cos，n|，即，所以|22|，即|1|，解得，所以.某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方体abcdefqh材料切割成三棱锥hacf.(1)若点m，n，k分别是棱ha，hc，hf的中点，点g是nk上的任意一点，求证：mg平面acf；(2)已知原长方体材料中，ab2，ad3，dh1，根据艺术品加工需要，工程师必须求出该三棱锥的高；甲工程师先求出ah所在直线与平面acf所成的角，再根据公式hahsin 求三棱锥hacf的高h.请你根据甲工程师的思路，求该三棱锥的高解：(1)证明：hmma，hnnc，hkkf，mkaf，mnac.mk平面acf，af平面acf，mk平面acf，同理可证mn平面acf，mkmnm，mn平面mnk，mk平面mnk，平面mnk平面acf.又mg平面mnk，mg平面acf.(2)以d为坐标原点，da，dc，dh所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间