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文档简介

第八讲留数 1 1 定义2 分类3 性质4 零点与极点的关系 5 1孤立奇点 2 1 定义 例如 z 0为孤立奇点 z 0及z 1 n n 1 2 都是它的奇点 z 1为孤立奇点 3 这说明奇点未必是孤立的 4 2 分类 以下将f z 在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数 根据展开式的不同情况 将孤立点进行分类 考察 特点 没有负幂次项 特点 只有有限多个负幂次项 特点 有无穷多个负幂次项 5 定义设z0是f z 的一个孤立奇点 在z0的去心邻域内 若f z 的洛朗级数 没有负幂次项 称z z0为可去奇点 只有有限多个负幂次项 称z z0为m级极点 有无穷多个负幂次项 称z z0为本性奇点 6 3 性质 若z0为f z 的可去奇点 若z0为f z 的m m 1 级极点 7 例如 z 1为f z 的一个三级极点 z i为f z 的一级极点 若z0为f z 的本性奇点 8 4 零点与极点的关系 定义不恒等于0的解析函数f z 如果能表示成 例如 9 定理 事实上 必要性得证 充分性略 10 例如 11 定理 证明 若z0为f z 的m级极点 12 13 例 解显然 z i是 1 z2 的一级零点 14 综合 15 16 1 留数的定义2 留数定理3 留数的计算规则 5 2留数 Residue 17 1 留数的定义 18 2020 1 8 19 定义设z0为f z 的孤立奇点 f z 在z0邻域内的洛朗级数中负幂次项 z z0 1的系数c 1称为f z 在z0的留数 记作Res f z z0 或Resf z0 由留数定义 Res f z z0 c 1 1 20 2 留数定理 定理 证明 21 由复合闭路定理得 用2 i除上式两边得 得证 22 求沿闭曲线c的积分 归之为求在c中各孤立奇点的留数 一般求Res f z z0 是采用将f z 在z0邻域内展开成洛朗级数求系数c 1的方法 但如果能先知道奇点的类型 对求留数更为有利 以下就三类孤立奇点进行讨论 3 留数的计算规则 23 规则I 规则II 24 事实上 由条件 25 当m 1时 式 5 即为式 4 规则III 事实上 26 27 例1 解 28 例2 解 29 例3 解 30 例4 解 31 故由留数定理得 1 要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留数 不要死套规则 如 是f z 的三级极点 32 该方法较规则II更简单 33 2 由规则II的推导过程知 在使用规则II时 可将m取得比实际级数高 这可使计算更简
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