（全国通用版）2019版高考数学总复习 专题五 立体几何 5.2 异面直线所成的角与点、线、面位置关系判断精选刷题练 理.doc

5.2异面直线所成的角与点、线、面位置关系判断命题角度1两条异面直线所成的角高考真题体验对方向1.(2018全国9)在长方体abcd-a1b1c1d1中,ab=bc=1,aa1=3,则异面直线ad1与db1所成角的余弦值为() a.15b.56c.55d.22答案c解析以da,dc,dd1为轴建立空间直角坐标系如图,则d1(0,0,3),a(1,0,0),d(0,0,0),b1(1,1,3).ad1=(-1,0,3),db1=(1,1,3).设异面直线ad1与db1所成的角为.cos =ad1db1|ad1|db1|=225=55.异面直线ad1与db1所成角的余弦值为55.2.(2017全国10)已知直三棱柱abc-a1b1c1中,abc=120,ab=2,bc=cc1=1,则异面直线ab1与bc1所成角的余弦值为()a.32b.155c.105d.33答案c解析方法一:如图,取ab,bb1,b1c1的中点m,n,p,连接mn,np,pm,可知ab1与bc1所成的角等于mn与np所成的角.由题意可知bc1=2,ab1=5,则mn=12ab1=52,np=12bc1=22.取bc的中点q,连接pq,qm,则可知pqm为直角三角形.在abc中,ac2=ab2+bc2-2abbccosabc=4+1-221-12=7,即ac=7.又cc1=1,所以pq=1,mq=12ac=72.在mqp中,可知mp=mq2+pq2=112.在pmn中,cospnm=mn2+np2-pm22mnnp=522+222-112225222=-105,又异面直线所成角的范围为0,2,故所求角的余弦值为105.方法二:把三棱柱abc-a1b1c1补成四棱柱abcd-a1b1c1d1,如图,连接c1d,bd,则ab1与bc1所成的角为bc1d.由题意可知bc1=2,bd=22+12-221cos60=3,c1d=ab1=5.可知bc12+bd2=c1d2,所以cosbc1d=25=105,故选c.3.(2016全国11)平面过正方体abcd-a1b1c1d1的顶点a,平面cb1d1,平面abcd=m,平面abb1a1=n,则m,n所成角的正弦值为()a.32b.22c.33d.13答案a解析(方法一)平面cb1d1,平面abcd平面a1b1c1d1,平面abcd=m,平面cb1d1平面a1b1c1d1=b1d1,mb1d1.平面cb1d1,平面abb1a1平面dcc1d1,平面abb1a1=n,平面cb1d1平面dcc1d1=cd1,ncd1.b1d1,cd1所成的角等于m,n所成的角,即b1d1c等于m,n所成的角.b1d1c为正三角形,b1d1c=60,m,n所成的角的正弦值为32.(方法二)由题意画出图形如图,将正方体abcd-a1b1c1d1平移,补形为两个全等的正方体如图,易证平面aef平面cb1d1,所以平面aef即为平面,m即为ae,n即为af,所以ae与af所成的角即为m与n所成的角.因为aef是正三角形,所以eaf=60,故m,n所成角的正弦值为32.4.(2017全国16)a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形abc的直角边ac所在直线与a,b都垂直,斜边ab以直线ac为旋转轴旋转,有下列结论:当直线ab与a成60角时,ab与b成30角;当直线ab与a成60角时,ab与b成60角;直线ab与a所成角的最小值为45;直线ab与a所成角的最大值为60.其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)答案解析由题意,ab是以ac为轴,bc为底面半径的圆锥的母线,由aca,acb,得ac圆锥底面,在底面内可以过点b,作bda,交底面圆c于点d,如图所示,连接de,则debd,deb.连接ad,在等腰三角形abd中,设ab=ad=2,当直线ab与a成60角时,abd=60,故bd=2.又在rtbde中,be=2,de=2,过点b作bfde,交圆c于点f,连接af,由圆的对称性可知bf=de=2,abf为等边三角形,abf=60,即ab与b成60角,正确,错误.由最小角定理可知正确;很明显,可以满足直线a平面abc,直线ab与a所成的最大角为90,错误.故正确的说法为.新题演练提能刷高分1.(2018百校联盟全国联考)如图所示,在四棱锥p-abcd中,底面abcd为菱形,ab=2,bad=60,侧面pad为等边三角形且垂直于底面abcd,f,f分别为pd,cd的中点,则异面直线ae与bf所成角的余弦值为()a.13b.34c.14d.710答案b解析如图,取ad的中点o,连接op,ob,由题意可得po平面abcd.在aob中,oa=1,ab=2,oab=60,则由余弦定理得ob=3,所以obad,因此可建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz.则a(1,0,0),e-12,0,32,b(0,3,0),f-32,32,0,ae=-32,0,32,bf=-32,-32,0,cos=aebf|ae|bf|=9433=34.异面直线ae与bf所成角的余弦值为34.选b.2.(2018陕西质量检测)已知abc与bcd均为正三角形,且ab=4.若平面abc与平面bcd垂直,且异面直线ab和cd所成角为,则cos =()a.-154b.154c.-14d.14答案d解析如图,设等边三角形的边长为4.等边三角形abc和bcd所在平面互相垂直,取bc中点o,则aobcod,以o为原点,建立如图空间直角坐标系o-xyz.则a(0,0,23),b(0,-2,0),c(0,2,0),d(23,0,0),ab=(0,-2,-23),cd=(23,-2,0),故cos=abcd|ab|cd|=14,异面直线ab和cd所成角的余弦值为14,故选d.3.(2018贵州凯里模拟)在长方体abcd-a1b1c1d1中,底面abcd是边长为1的正方形,若其外接球的表面积为16,则异面直线bd1与cc1所成的角的余弦值为.答案144解析设外接球的半径为r,则4r2=16,解得r=2,设长方体的高为x,则x2+12+12=(2r)2=16,故x=14,在rtbdd1中,dd1b即为异面直线所成的角,其余弦值为144.4.(2018四川乐山半期联考)如图,在三棱锥a-bcd中,e,f,g分别为ab,ac,cd中点,且ad=bc=2,eg=3,则异面直线ad与bc所成的角的大小为.答案60解析由三角形中位线的性质可知efbc,gfad,则efg或其补角即为所求,由几何关系有ef=12bc=1,gf=12ad=1,由余弦定理可得cosefg=12+12-(3)2211=-12,则efg=120,所以异面直线ad与bc所成的角的大小为180-120=60.5.(2018安徽淮南、宿城联考)在如图所示的三棱锥p-abc中,pa底面abc,abac,d是pc的中点.ab=2,ac=23,pa=2.则异面直线pb与ad所成角的余弦值为.答案24解析如图所示,建立空间直角坐标系a-xyz,则b(2,0,0),c(0,23,0),a(0,0,0),p(0,0,2),d(0,3,1),ad=(0,3,1),pb=(2,0,-2),cos=adpb|ad|pb|=248=24,故答案为24.6.(2018安徽、山西等五省六校联考)如图1,在矩形abcd中,ab=2,bc=1,e是dc的中点;如图2,将dae沿ae折起,使折后平面dae平面abce,则异面直线ae和db所成角的余弦值为.答案66解析取ae的中点为o,连接do,bo,延长ec到f使ec=cf,连接bf,df,of,则bfae,所以dbf或它的补角为异面直线ae和db所成角.da=de=1,doae,且|ao|=|do|=22,在abo中,根据余弦定理得cosoab=cos 45=|ao|2+|ab|2-|bo|22|ao|ab|=22.|bo|=102.同理可得|of|=262.又平面dae平面abce,平面dae平面abce=ae,do平面dae,do平面abce.bo平面abce,dobo,|bd|2=|bo|2+|do|2=12+52=3,即|bd|=3,同理可得|df|=7.又bf=ae=2,在dbf中,cosdbf=|db|2+|bf|2-|df|22|db|bf|=3+2-7232=-66,两直线的夹角的取值范围为0,2,异面直线ae和db所成角的余弦值为66.命题角度2空间位置关系的综合判断高考真题体验对方向1.(2018全国12)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等,则截此正方体所得截面面积的最大值为()a.334b.233c.324d.32答案a解析满足题设的平面可以是与平面a1bc1平行的平面,如图(1)所示.图(1)再将平面a1bc平移,得到如图(2)所示的六边形.图(2)图(3)设ae=a,如图(3)所示,可得截面面积为s=122(1-a)+2a+2a232-312(2a)232=32(-2a2+2a+1),所以当a=12时,smax=32-214+212+1=334.2.(2015安徽5)已知m,n是两条不同直线,是两个不同平面,则下列命题正确的是()a.若,垂直于同一平面,则与平行b.若m,n平行于同一平面,则m与n平行c.若,不平行,则在内不存在与平行的直线d.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面答案d解析a选项,可能相交;b选项m,n可能相交,也可能异面;c选项若与相交,则在内平行于它们交线的直线一定平行于;由垂直于同一个平面的两条直线一定平行,可知d选项正确.3.(2016全国14),是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:如果mn,m,n,那么.如果m,n,那么mn.如果,m,那么m.如果mn,那么m与所成的角和n与所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)答案解析对于,若mn,m,n,则,的位置关系无法确定,故错误;对于,因为n,所以过直线n作平面与平面相交于直线c,则nc.因为m,所以mc,所以mn,故正确;对于,由两个平面平行的性质可知正确;对于,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确,故正确命题的编号有.新题演练提能刷高分1.(2018福建厦门期末)若m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是()a.若,m,则mb.若m,nm,则nc.若m,n,m,n,则d.若m,m,=n,则mn答案d解析选项a中,m与的关系是m或m,故a不正确;选项b中,n与的关系是n或n与相交但不垂直或n,故b不正确;选项c中,与之间的关系是或相交,故c不正确;选项d中,由线面平行的性质可得正确.故选d.2.(2018湖北重点高中协作体期中)已知直线l,m,平面,且l,m,下列命题:lm;lm;lm;lm,其中正确的序号是()a.b.c.d.答案b解析l,l,而m,所以lm,对;l,m,时,l,m位置关系不定;l,lmm,而m,所以,对;l,m,lm时,位置关系不定.故选b.3.(2018广西南宁期末)设l,m,n表示不同的直线,表示不同的平面,给出下列四个命题:若ml,且m,则l;若,m,n,则mn;若,则;如果mn,m,n,则.则错误的命题个数为()a.4b.3c.2d.1答案b解析若ml,且m,则l是正确的,垂直于同一个平面的直线互相平行;若,m,n,则mn是错误的,当m和n平行时,也可能满足前边的条件;若,则,不对,垂直于同一个平面的两个平面可以是交叉的;如果mn,m,n,则是错误的,平面和能相交.故答案为b.4.(2018广东汕头期末)如图,在三棱锥a-bcd中,acab,bcbd,平面abc平面bcd.acbd;adbc;平面abc平面abd;平面acd平面abd.以上结论中正确的个数有()a.1b.2c.3d.4答案c解析平面abc平面bcd,平面abc平面bcd=bc,bcbd,bd平面abc,又ac平面abc,bdac,故正确.bd平面abd,平面abd平面abc,故正确.acab,bdac,abbd=b,ac平面abd,又ac平面acd,平面acd平面abd,故正确.综上正确,故选c.5.(2018东北三省三校二模)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题中正确的是()a.若,m,则mb.若m,n,则mnc.若=m,n,n,则mnd.若,且=m,点a,直线abm,则ab答案c解析若,m,则m或m,故a错误;若m,n,则m,n无交点,即平行或异面,故b错误;若=m,n,n,过n作平面与,分别交于直线s,t,则sn,tn,所以st,再根据线面平行判定定理得s,因为=m,s,所以sm,即mn,故c正确;若,且=m,点a,直线abm,当b在平面内时才有ab,故选c.6.(2018辽宁抚顺一模)给出下列四个命题:如果平面外一条直线a与平面内一条直线b平行,那么a;过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直;如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线与这个平面垂直;若两个相交平面都垂直于第三个平面,则这两个平面的交线垂直于第三个平面.其中真命题的个数为()a.1b