（全国通用）2018届高考数学二轮复习 第一篇 求准提速 基础小题不失分 第16练 圆锥曲线的定义、方程与性质练习 文.doc

第16练圆锥曲线的定义、方程与性质明考情圆锥曲线是高考的热点，每年必考，小题中考查圆锥曲线的定义、方程、离心率等，题目难度中档偏难.知考向1.圆锥曲线的定义与标准方程.2.圆锥曲线的几何性质.3.圆锥曲线的综合.考点一圆锥曲线的定义与标准方程方法技巧(1)椭圆和双曲线上的点到两焦点距离可以相互转化，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.(2)求圆锥曲线方程的常用方法：定义法、待定系数法.1.(2017九江二模)设椭圆1的左、右焦点分别为f1，f2，点p在椭圆上，且满足9，则|的值为()a.8 b.10 c.12 d.15答案d解析点p是椭圆1上一点，f1，f2分别是椭圆的左、右焦点，|pf1|pf2|8，|f1f2|4，9，即|cos 9，|2|2|22|cos (|)22|18642|1816，|15.2.(2017洛阳统考)已知双曲线c：1(a0，b0)的焦距为10，点p(2，1)在c的渐近线上，则c的方程为()a.1 b.1c.1 d.1答案a解析1的焦距为10，c5，又双曲线的渐近线方程为yx，且p(2，1)在渐近线上，1，即a2b，由得a2，b，双曲线的方程为1，故选a.3.已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，它的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于a，b两点，o为坐标原点.若aob的面积为，则抛物线的准线方程为()a.x2 b.x2c.x1 d.x1答案d解析因为e2，所以c2a，ba，双曲线的渐近线方程为yx.又抛物线的准线方程为x，联立双曲线的渐近线方程和抛物线方程得a，b.在aob中，|ab|p，点o到ab的距离为，所以p，所以p2，所以抛物线的准线方程为x1，故选d.4.(2017天津)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为f，点a在双曲线的渐近线上，oaf是边长为2的等边三角形(o为原点)，则双曲线的方程为()a.1 b.1c.y21 d.x21答案d解析根据题意画出草图如图所示(不妨设点a在渐近线yx上).由aof是边长为2的等边三角形得到aof60，c|of|2.又点a在双曲线的渐近线yx上，tan 60.又a2b24，a1，b，双曲线的方程为x21.故选d.5.(2017甘肃肃南裕固族自治县一中期末)抛物线yx2上的动点m到两定点(0，1)，(1，3)的距离之和的最小值为_.答案4解析由题意得焦点f(0，1)，设a(1，3)，则|ma|mf|ma|ym|1|ya|14.考点二圆锥曲线的几何性质要点重组在椭圆中：a2b2c2，离心率为e；在双曲线中：c2a2b2，离心率为e.方法技巧求离心率的两种方法(1)定义法：求出a，c，代入e进行求解.(2)方程法：只需根据一个条件得到关于a，b，c的各项式，然后两边同除以a或a2得到关于e的方程求e.6.已知a是双曲线1(a0，b0)的左顶点，f1，f2分别为左、右焦点，p为双曲线上一点，g是pf1f2的重心，若，则双曲线的离心率为()a.2 b.3 c.4 d.与的取值有关答案b解析因为，所以，所以(o为坐标原点)，即，所以e3.7.(2017广安模拟)椭圆1(ab0)的一个焦点为f，该椭圆上有一点a，满足oaf是等边三角形(o为坐标原点)，则椭圆的离心率是()a.1 b.2c.1 d.2答案a解析根据题意，如图，设f(c，0)，由oaf是等边三角形，则a，又a在椭圆上，则有1，a2b2c2，联立，解得c(1)a，则其离心率e1.8.(2017全国)双曲线1(a0)的一条渐近线方程为yx，则a_.答案5解析双曲线的标准方程为1(a0)，双曲线的渐近线方程为yx.又双曲线的一条渐近线方程为yx，a5.9.(2016北京)双曲线1(a0，b0)的渐近线为正方形oabc的边oa，oc所在的直线，点b为该双曲线的焦点，若正方形oabc的边长为2，则a_.答案2解析设b为双曲线的右焦点，如图所示.四边形oabc为正方形且边长为2，c|ob|2.又aob，tan 1，即ab.又a2b2c28，a2.10.设抛物线e：y22px(p0)的焦点为f，点m为抛物线e上一点，|mf|的最小值为3，若点p为抛物线e上任意一点，a(4，1)，则|pa|pf|的最小值为_.答案7解析由题意，|mf|的最小值为3，得3，p6，抛物线e：y212x，抛物线y212x的焦点f的坐标是(3，0).设点p在准线上的射影为d，则根据抛物线的定义可知|pf|pd|，要求|pa|pf|取得最小值，即求|pa|pd|取得最小值，当d，p，a三点共线时|pa|pd|最小，为4(3)7.考点三圆锥曲线的综合方法技巧圆锥曲线范围，最值问题的常用方法(1)定义性质转化法：利用圆锥曲线的定义性质进行转化，根据平面几何中的结论确定最值或范围.(2)目标函数法：建立所求的目标函数，将所求最值转化为函数最值解决.(3)条件不等式法：找出与变量相关的所有限制条件，然后再通过解决不等式(组)求变量的范围.11.已知方程1表示椭圆，则实数m的取值范围是()a.(，1)b.(2，)c.(1，)d.答案d解析由1转化成标准方程1，假设焦点在x轴上，则2m(m1)0，解得m1；假设焦点在y轴上，则(m1)2m0，解得2m.综上可知，m的取值范围为.12.(2016四川)设o为坐标原点，p是以f为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点，m是线段pf上的点，且|pm|2|mf|，则直线om的斜率的最大值为()a. b. c. d.1答案c解析如图，由题意可知f，设p点坐标为，显然，当y00时，kom0时，kom0.要求kom的最大值，不妨设y00，则()，kom，当且仅当y2p2时等号成立.故选c.13.(2017全国)若双曲线c：1(a0，b0)的一条渐近线被圆(x2)2y24所截得的弦长为2，则c的离心率为()a.2 b. c. d.答案a解析设双曲线的一条渐近线方程为yx，圆的圆心为(2，0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为.由点到直线的距离公式得，解得b23a2.所以c的离心率e2.故选a.14.过抛物线yax2 (a0)的焦点f作一条直线交抛物线于a，b两点，若线段af，bf的长分别为m，n，则等于()a. b. c.2a d.答案b解析显然直线ab的斜率存在，故设直线方程为ykx，与yax2联立，消去y得ax2kx0，设a(x1，ax)，b(x2，ax)，则x1x2，x1x2，xx，max，nax，mn，mn，.故选b.15.过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于a，b两点，o为坐标原点，则aob的面积为_.答案解析由已知得直线方程为y2(x1).由得3y22y80，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则y1y2，y1y2，|y1y2|，saob1.16.在直线y2上任取一点q，过q作抛物线x24y的切线，切点分别为a，b，则直线ab恒过定点_.答案(0，2)解析设q(t，2)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，抛物线方程变为yx2，则yx，则在点a处的切线方程为yy1x1(xx1)，化简，得yx1xy1，同理，在点b处的切线方程为yx2xy2.又点q(t，2)的坐标满足这两个方程，代入，得2x1ty1，2x2ty2，则说明a(x1，y1)，b(x2，y2)都满足方程2xty，即直线ab的方程为y2tx，因此直线ab恒过定点(0，2).1.若点o和点f(2，0)分别为双曲线y21(a0)的中心和左焦点，点p为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为()a.32，) b.32，)c. d.答案b解析由题意，得22a21，即a，设p(x，y)，x，(x2，y)，则(x2)xy2x22x12，因为x，所以的取值范围为32，).2.已知圆c1：(x3)2y21和圆c2：(x3)2y29，动圆m同时与圆c1及圆c2相外切，则动圆圆心m的轨迹方程为_.答案x21(x1)解析如图所示，设动圆m与圆c1及圆c2分别外切于a和b.根据两圆外切的条件，得|mc1|ac1|ma|，|mc2|bc2|mb|，因为|ma|mb|，所以|mc1|ac1|mc2|bc2|，即|mc2|mc1|bc2|ac1|26，所以点m到两定点c1，c2的距离的差是常数.又根据双曲线的定义，得动点m的轨迹为双曲线的左支(点m与c2的距离大，与c1的距离小)，其中a1，c3，则b28.故点m的轨迹方程为x21(x1).3.若椭圆的对称轴是坐标轴，且短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到同侧顶点的距离为，则椭圆的方程为_.答案1或1解析由题意，得所以所以b2a2c29.所以当椭圆焦点在x轴上时，椭圆的方程为1；当椭圆焦点在y轴上时，椭圆的方程为1.故椭圆的方程为1或1.4.已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为f1(c，0)，f2(c，0)，若椭圆上存在点p(异于长轴的端点)，使，则该椭圆的离心率的取值范围为_.答案(1，1)解析由已知，得e，由正弦定理，得，所以e1.由椭圆的几何性质，知ac|pf2|，即e，即e，即e22e10，结合0e1，可解得e(1，1).解题秘籍(1)椭圆的焦点位置不明确时，要分焦点在x轴上或y轴上进行讨论.(2)平面内到两个定点的距离之差为定值的点的轨迹不是双曲线，要注意定值的限制条件和“绝对值”.(3)范围问题要注意圆锥曲线上点的坐标的范围和几何意义，不要忽略离心率本身的限制条件.1.已知椭圆1(m0)的左焦点为f1(4，0)，则m等于()a.2 b.3 c.4 d.9答案b解析由题意知25m216，解得m29，又m0，所以m3.2.(2017和平区模拟)已知椭圆1(a)的焦点为f1，f2，且离心率e，若点p在椭圆上，|pf1|4，则|pf2|的值为()a.2 b.6 c.8 d.14答案a解析椭圆1(a)，椭圆的焦点在x轴上，b，c，则离心率e，即，解得a29，a3，椭圆的长轴长为2a6，由椭圆的定义可知，|pf1|pf2|6，即|pf2|2.3.已知双曲线1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于a，b，c，d四点，四边形abcd的面积为2b，则双曲线的方程为()a.1 b.1c.1 d.1答案d解析由题意知双曲线的渐近线方程为yx，圆的方程为x2y24，联立解得或即第一象限的交点为.由双曲线和圆的对称性得四边形abcd为矩形，其相邻两边长为，故2b，得b212.故双曲线的方程为1.故选d.4.(2016浙江)已知椭圆c1：y21(m1)与双曲线c2：y21(n0)的焦点重合，e1，e2分别为c1，c2的离心率，则()a.mn且e1e21 b.mn且e1e21c.mn且e1e21 d.mn且e1e21答案a解析由题意可得m21n21，即m2n22，m0，n0，故mn.又ee11，e1e21.5.过抛物线y22px(p0)的焦点作直线交抛物线于p，q两点，若线段pq中点的横坐标为3，|pq|10，则抛物线的方程是()a.y24x b.y22xc.y28x d.y26x答案c解析设抛物线y22px(p0)的焦点为f，p(x1，y1)，q(x2，y2)，由抛物线的定义可知，|pq|pf|qf|x1x2(x1x2)p，线段pq中点的横坐标为3，又|pq|10，106p，可得p4，抛物线的方程为y28x.6.已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上，则双曲线的方程为()a.1 b.1c.1 d.1答案d解析双曲线1的渐近线方程为yx，又渐近线过点(2，)，所以，即2ba，抛物线y24x的准线方程为x，由已知，得，即a2b27，联立，解得a24，b23，所以双曲线的方程为1.7.(2016全国)已知f1，f2是双曲线e：1的左、右焦点，点m在e上，mf1与x轴垂直，sinmf2f1，则e的离心率为()a. b. c. d.2答案a解析如图，因为mf1与x轴垂直，所以|mf1|.又sinmf2f1，所以，即|mf2|3|mf1|.由双曲线的定义得2a|mf2|mf1|2|mf1|，所以b2a2，所以c2b2a22a2，所以离心率e.8.(2016全国)已知o为坐标原点，f是椭圆c：1(ab0)的左焦点，a，b分别为c的左、右顶点.p为c上一点，且pfx轴.过点a的直线l与线段pf交于点m，与y轴交于点e.若直线bm经过oe的中点，则c的离心率为()a. b. c. d.答案a解析设m(c，m)，则e，oe的中点为d，则d，又b，d，m三点共线，所以，a3c，e.9.设f1，f2分别是椭圆1的左、右焦点，p为椭圆上任一点，点m的坐标为(6，4)，则|pm|pf1|的最大值为_.答案15解析因为椭圆1中，a5，b4，所以c3，得焦点为f1(3，0)，f2(3，0).根据椭圆的定义，得|pm|pf1|pm|(2a|pf2|)10(|pm|pf2|).因为|pm|pf2|mf2|，当且仅当p在mf2的延长线上时等号成立，此时|pm|pf1|的最大值为10515.10.已知a(1，2)，b(1，2)，动点p满足.若双曲线1(a0，b0)的渐近线与动