（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第12讲 函数模型及其应用优选学案.doc

第12讲函数模型及其应用考纲要求考情分析命题趋势1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.2016四川卷，22015四川卷，82014福建卷，92014湖北卷，16函数的实际应用，考查几个常见的函数模型：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型，用来求解实际问题中的最值问题、优化问题.分值：512分1三种函数模型性质比较yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的单调性单调_递增_函数单调_递增_函数单调_递增_函数增长速度越来越_快_越来越_慢_相对平稳图象的变化随x值增大，图象与_y_轴接近平行随x值增大，图象与_x_轴接近平行随n值变化而不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxn0，且a1，b0)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，a0，且a1，b0)幂函数模型f(x)axnb(a，b，n为常数，a0)3解决函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型(3)解模：求解数学模型，得出数学结论(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)函数y2x的函数值在(0，)上一定比yx2的函数值大()(2)在(0，)上，随着x的增大，yax(a1)的增长速度会超过并远远大于yxa(a0)的增长速度()(3)“指数爆炸”是指数型函数yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比喻()(4)指数函数模型一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题中()解析(1)错误当x(0,2)和(4，)时，2xx2，当x(2,4)时，x22x.(2)正确由两者的图象易知(3)错误增长越来越快的指数型函数是yabxc(a0，b1)(4)正确根据指数函数yax(a1)的函数值增长特点易知2已知f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(b)af(x)g(x)h(x)bg(x)f(x)h(x)cg(x)h(x)f(x)df(x)h(x)g(x)解析由图象知，当x(4，)时，增长速度由大到小依次为g(x)f(x)h(x)3在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00则x，y最适合的函数是(d)ay2xbyx21cy2x2dylog2x解析根据x0.50，y0.99，代入计算，可以排除a项；将x2.01，y0.98代入计算，可以排除b，c项；将各数据代入函数ylog2x，可知满足题意故选d4一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(单位：cm)与燃烧时间t(单位：h)的函数关系用图象表示为下图中的(b)解析由题意知h205t(0t4)故选b5生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为c(x)x22x20(万元)一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为(b)a36万件b18万件c22万件d9万件解析利润l(x)20xc(x)(x18)2142，当x18时，l(x)有最大值一二次函数模型在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解，解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题【例1】 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(单位：元)与月处理量x(单位：吨)之间的函数关系可近似的表示为yx2200x80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元，则该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解析设该单位每月获利为s，则s100xy100xx2300x80 000(x300)235 000，因为400x600，所以当x400时，s有最大值40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损二指数函数、对数函数模型一般地，涉及增长率问题、存蓄利息问题、细胞分裂问题等，都可以考虑用指数函数的模型求解求解时注意指数式与对数式的互化、指数函数值域的影响以及实际问题中的条件限制【例2】 (1)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是(c)a16小时b20小时c24小时d28小时(2)已知一容器中有a，b两种菌，且在任何时刻a，b两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用palg na来记录a菌个数的资料，其中na为a菌的个数，现有以下几种说法：pa1；若今天的pa值比昨天的pa值增加1，则今天的a菌个数比昨天的a菌个数多10；假设科学家将b菌的个数控制在5万，则此时5pa5.5(注：lg 20.3)则正确的说法为_(写出所有正确说法的序号)解析(1)由已知条件，得192eb，bln 192.又48e22kbe22kln 192192e22k192(e11k)2，e11k.设该食品在33 的保鲜时间是t小时，则te33kln 192192e33k192(e11k)3192324.(2)当na1时，pa0，故错误；若pa1，则na10，若pa2，则na100，故错误；b菌的个数为nb5104，na2105，palg nalg 25.又lg 20.3，5pa4时，由l(x)0，得5.5x0，解得44时，l(x)1.52.综上，当生产300台时，可使利润最大(3)由(2)知x3时，利润最大，此时的售价p2.33(万元/百台)233(元/台)1(2018北京西城35中期中)如图给出了某种豆类生长枝数y(单位：枝)与时间t(单位：月)的散点图，那么此种豆类生长枝数与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的是(b)ay2t2bylog2tcyt3dy2t解析由图象知模型越来越平滑，所以只有b项符合条件故选b2李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为l15x2900x16 000，l2300x2 000(其中x为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为(c)a11 000元b22 000元c33 000元d40 000元解析设甲连锁店销售x辆，则乙连锁店销售(110x)辆，故利润l5x2900x16 000300(110x)2 0005x2600x15 0005(x60)233 000，所以当x60时，有最大利润33 000元故选c3国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿费的11%纳税某人出版了一本书共纳税420元，则他的稿费为(b)a3 000元b3 800元c3 818元d5 600元解析根据题意，若稿费为4 000元，则纳税部分是3 200元，纳税3 20014%448(元)，超过了420元，所以他的稿费不足4 000元根据题意可知其稿费应该为42014%8003 800(元)故选b4国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止旅行社需支付各种费用共计15 000元(1)写出每人需交费用y关于人数x的函数；(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解析(1)设旅行团人数为x人，由题得0200，则lg130(112%)n1lg 200，lg 130(n1)lg 1.12lg 22，2lg 1.3(n1)lg 1.12lg 22，0.11(n1)0.050.30，解得n.又nn*，n5，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年故选b课时达标第12讲解密考纲本考点考查函数在实际生活中的应用等在近几年的高考中选择题、填空题、解答题都出现过选择题、填空题通常排在中间位置，解答题往往与其他知识综合考查，题目难度中等一、选择题1某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y(单位：台)与投放市场的月数x之间关系的是(c)ay100xby50x250x100cy502xdy100log2x100解析根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得c项正确2某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(b)a9天b10天c11天d12天解析设该厂应每隔x天购买一次面粉，则购买量为6x吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为36x6(x1)6(x2)619x(x1)，设平均每天所支付的总费用为y1元，则y11 80069x10 809210 80910 989，当且仅当9x，即x10时取等号故该厂每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少故选b3国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p0.25)%，则该公司的年收入是(d)a560万元b420万元c350万元d320万元解析设该公司的年收入为x万元，纳税额为y万元，则由题意，得y依题意有280p%(x280)(p2)%(p0.25)%，解得x320.4世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据lg 20.301 0,100.007 51.017)(c)a1.5%b1.6%c1.7%d1.8%解析设每年世界人口平均增长率为x，则(1x)402，两边取以10为底的对数，则40lg(1x)lg 2，所以lg(1x)0.007 5，所以100.007 51x，得1x1.017，所以x1.7%.5某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份(a)a甲食堂的营业额较高b乙食堂的营业额较高c甲、乙两食堂的营业额相同d不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高解析设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，由题意可得m8am(1x)8，则5月份甲食堂的营业额y1m4a，乙食堂的营业额y2m(1x)4，因为yy(m4a)2m(m8a)16a20，所以y1y2，故本年5月份甲食堂的营业额较高6某房地产公司计划出租70套相同的公寓房当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为(b)a3 000元b3 300元c3 500元d4 000元解析由题意，设利润为y元，租金定为3 00050x元(0x70，xn)则y(3 00050x)(70x)100(70x)(2 90050x)(70x)50(58x)(70x)502，当且仅当58x70x，即x6时，等号成立，故每月租金定为3 0003003 300(元)时，公司获得最大利润故选b二、填空题7某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量f(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为f.(1)如果不限定车型，l6.05，则最大车流量为_1_900_辆/小时；(2)如果限定车型，l5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_100_辆/小时解析(1)当l6.05时，f，f1 900，当且仅当v，即v11时取等号最大车流量f为1 900辆/小时(2)当l5时，f，f2 000，当且仅当v，即v10时取等号最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 0001 900100辆/小时8里氏震级m的计算公式为：mlg alg a0，其中a是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，a0是相应的标准地震的振幅假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_6_级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_10_000_倍解析由lg 1 000lg 0.0016，得此次地震的震级为6级因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为a9，则lg a9lg 0.0019，解得a9106，同理5级地震最大振幅a5102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍9某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据关系如下表.时间t60100180种植成本q11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本q与上市时间t的变化关系qatb，qat2btc，qabt，qalogbt.利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是_120_；(2)最低种植成本是_80_(元/100 kg)解析根据表中数据可知函数不单调，所以qat2btc且开口向上，对称轴t120.代入数据得所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120，最低种植成本是14 400a120bc14 4000.01120(2.4)22480.三、解答题10如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中ae4米，cd6米为了合理利用这块钢板，在五边形abcde内截取一个矩形块bnpm，使点p在边de上(1)设mpx米，pny米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形bnpm面积的最大值解析(1)作pqaf于q，所以pq8y，eqx4，在edf中，所以，所以yx10，定义域为x|4x8(2)设矩形bnpm的面积为s，则s(x)xyx(x10)250，所以s(x)是关于x的二次函数，且其开口向下，对称轴为x10，所以当x4,8，s(x)单调递增，所以当x8米时，矩形bnpm面积取得最大值48平方米11(2018甘肃会宁一中月考)某公司对营销人员有如下规定：年销售额x (单位：万元)在8万元以下，没有奖金；年销售额x (单位：万元)，x8,64时，奖金为y万元，且ylogax，y3,6，且年销售额越大，奖金越多；年销售额超过64万元，按年销售额的10%发奖金(1)求奖金y关于x的函数