（全国通用）2019届高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.7 立体几何中的向量方法（一）证明平行与垂直学案.doc

8.7立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直最新考纲考情考向分析1.理解直线的方向向量及平面的法向量2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.利用空间向量证明空间中的位置关系是近几年高考重点考查的内容，涉及直线的方向向量，平面的法向量及空间直线、平面之间位置关系的向量表示等内容以解答题为主，主要考查空间直角坐标系的建立及空间向量坐标的运算能力及应用能力，有时也以探索论证题的形式出现.1直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为2用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2(或l1与l2重合)v1v2.(2)设直线l的方向向量为v，与平面共面的两个不共线向量v1和v2，则l或l存在两个实数x，y，使vxv1yv2.(3)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l或lvu.(4)设平面和的法向量分别为u1，u2，则u1 u2.3用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2v1v2v1v20.(2)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则lvu.(3)设平面和的法向量分别为u1和u2，则u1u2u1u20.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)直线的方向向量是唯一确定的()(2)平面的单位法向量是唯一确定的()(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行()(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行()(5)若ab，则a所在直线与b所在直线平行()(6)若空间向量a平行于平面，则a所在直线与平面平行()题组二教材改编2p104t2设u，v分别是平面，的法向量，u(2,2,5)，当v(3，2,2)时，与的位置关系为_；当v(4，4，10)时，与的位置关系为_答案解析当v(3，2,2)时，uv(2,2,5)(3，2,2)0.当v(4，4，10)时，v2u.3p111t3如图所示，在正方体abcda1b1c1d1中，o是底面正方形abcd的中心，m是d1d的中点，n是a1b1的中点，则直线on，am的位置关系是_答案垂直解析以a为原点，分别以，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示设正方体的棱长为1，则a(0,0,0)，m，o，n，0，on与am垂直题组三易错自纠4已知a(1,0,0)，b(0,1,0)，c(0,0,1)，则下列向量是平面abc法向量的是()a(1,1,1) b(1，1,1)c. d.答案c解析设n(x，y，z)为平面abc的法向量，则化简得xyz.故选c.5直线l的方向向量a(1，3,5)，平面的法向量n(1,3，5)，则有()al blcl与斜交 dl或l答案b解析由an知，na，则有l，故选b.6已知平面，的法向量分别为n1(2,3,5)，n2(3,1，4)，则()a bc，相交但不垂直 d以上均不对答案c解析n1n2，且n1n22(3)315(4)230，既不平行，也不垂直.题型一利用空间向量证明平行问题典例如图所示，平面pad平面abcd，abcd为正方形，pad是直角三角形，且paad2，e，f，g分别是线段pa，pd，cd的中点求证：pb平面efg.证明平面pad平面abcd，abcd为正方形，pad是直角三角形，且paad，ab，ap，ad两两垂直，以a为坐标原点，ab，ad，ap所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)，b(2，0,0)，c(2,2,0)，d(0,2,0)，p(0，0,2)，e(0,0,1)，f(0,1,1)，g(1，2,0)(2,0，2)，(0，1,0)，(1,1，1)，设st，即(2,0，2)s(0，1,0)t(1,1，1)，解得st2，22，又与不共线，与共面pb平面efg，pb平面efg.引申探究若本例中条件不变，证明平面efg平面pbc.证明(0,1,0)，(0,2,0)，2，bcef.又ef平面pbc，bc平面pbc，ef平面pbc，同理可证gfpc，从而得出gf平面pbc.又efgff，ef，gf平面efg，平面efg平面pbc.思维升华 (1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可这样就把几何的证明问题转化为向量运算跟踪训练如图，在四面体abcd中，ad平面bcd，bccd，ad2，bd2，m是ad的中点，p是bm的中点，点q在线段ac上，且aq3qc.证明：pq平面bcd.证明方法一如图，取bd的中点o，以o为原点，od，op所在直线分别为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系oxyz.由题意知，a(0，2)，b(0，0)，d(0，0)设点c的坐标为(x0，y0，0)因为3，所以q.因为m为ad的中点，故m(0，1)又p为bm的中点，故p，所以.又平面bcd的一个法向量为a(0,0,1)，故a0.又pq平面bcd，所以pq平面bcd.方法二在线段cd上取点f，使得df3fc，连接of，同方法一建立空间直角坐标系，写出点a，b，c的坐标，设点c坐标为(x0，y0，0)因为，设点f的坐标为(x，y，0)，则(xx0，yy0，0)(x0，y0，0)，所以所以.又由方法一知，所以，所以pqof.又pq平面bcd，of平面bcd，所以pq平面bcd.题型二利用空间向量证明垂直问题命题点1证线面垂直典例 如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)abca1b1c1的所有棱长都为2，d为cc1的中点求证：ab1平面a1bd.证明方法一设平面a1bd内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面向量定理，则存在实数，使m.令a，b，c，显然它们不共面，并且|a|b|c|2，abac0，bc2，以它们为空间的一个基底，则ac，ab，ac，mabc，m(ac)4240.故m，结论得证方法二取bc的中点o，连接ao.因为abc为正三角形，所以aobc.因为在正三棱柱abca1b1c1中，平面abc平面bcc1b1，且平面abc平面bcc1b1bc，所以ao平面bcc1b1.取b1c1的中点o1，以o为原点，分别以ob，oo1，oa所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则b(1,0,0)，d(1,1,0)，a1(0,2，)，a(0,0，)，b1(1,2,0)设平面a1bd的法向量为n(x，y，z)，(1,2，)，(2,1,0)因为n，n，故即令x1，则y2，z，故n(1,2，)为平面a1bd的一个法向量，而(1,2，)，所以n，所以n，故ab1平面a1bd.命题点2证面面垂直典例如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是边长为a的正方形，侧面pad底面abcd，且papdad，设e，f分别为pc，bd的中点(1)求证：ef平面pad；(2)求证：平面pab平面pdc.证明(1)如图，取ad的中点o，连接op，of.因为papd，所以poad.因为侧面pad底面abcd，平面pad平面abcdad，po平面pad，所以po平面abcd.又o，f分别为ad，bd的中点，所以ofab.又abcd是正方形，所以ofad.因为papdad，所以papd，opoa.以o为原点，oa，of，op所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则a，f，d，p，b，c.因为e为pc的中点，所以e.易知平面pad的一个法向量为，因为，且0，又因为ef平面pad，所以ef平面pad.(2)因为，(0，a,0)，所以(0，a,0)0，所以，所以pacd.又papd，pdcdd，pd，cd平面pdc，所以pa平面pdc.又pa平面pab，所以平面pab平面pdc.思维升华 证明垂直问题的方法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算其中灵活建系是解题的关键(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然 ，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：证明两平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可跟踪训练 如图所示，已知四棱锥pabcd的底面是直角梯形，abcbcd90，abbcpbpc2cd，侧面pbc底面abcd.证明：(1)pabd；(2)平面pad平面pab.证明(1)取bc的中点o，连接po，平面pbc底面abcd，pbc为等边三角形，平面pbc底面abcdbc，po平面pbc，po底面abcd.以bc的中点o为坐标原点，以bc所在直线为x轴，过点o与ab平行的直线为y轴，op所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示不妨设cd1，则abbc2，po，a(1，2,0)，b(1,0,0)，d(1，1,0)，p(0,0，)，(2，1,0)，(1，2，)(2)1(1)(2)0()0，pabd.(2)取pa的中点m，连接dm，则m.，(1,0，)，100()0，即dmpb.10(2)()0，即dmpa.又papbp，pa，pb平面pab，dm平面pab.dm平面pad，平面pad平面pab.题型三利用空间向量解决探索性问题典例 (2018桂林模拟)如图，棱柱abcda1b1c1d1的所有棱长都等于2，abc和a1ac均为60，平面aa1c1c平面abcd.(1)求证：bdaa1；(2)在直线cc1上是否存在点p，使bp平面da1c1，若存在，求出点p的位置，若不存在，请说明理由(1)证明设bd与ac交于点o，则bdac，连接a1o，在aa1o中，aa12，ao1，a1ao60，a1o2aaao22aa1aocos 603，ao2a1o2aa，a1oao.由于平面aa1c1c平面abcd，且平面aa1c1c平面abcdac，a1o平面aa1c1c，a1o平面abcd.以ob，oc，oa1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(0，1,0)，b(，0,0)，c(0,1,0)，d(，0,0)，a1(0,0，)，c1(0,2，)由于(2，0,0)，(0,1，)，0(2)1000，即bdaa1.(2)解假设在直线cc1上存在点p，使bp平面da1c1，设，p(x，y，z)，则(x，y1，z)(0,1，)从而有p(0,1，)，(，1，)设平面da1c1的法向量为n3(x3，y3，z3)，则又(0,2,0)，(，0，)，则取n3(1,0，1)，因为bp平面da1c1，则n3， 即n30，得1，即点p在c1c的延长线上，且c1ccp.思维升华 对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”跟踪训练(2016北京)如图，在四棱锥pabcd中，平面pad平面abcd，papd，papd，abad，ab1，ad2，accd.(1)求证：pd平面pab；(2)求直线pb与平面pcd所成角的正弦值；(3)在棱pa上是否存在点m，使得bm平面pcd？若存在，求的值；若不存在，说明理由(1)证明平面pad平面abcd，平面pad平面abcdad，abad，ab平面abcd，ab平面pad.pd平面pad，abpd.又papd，paaba，且pa，pb平面pab，pd平面pab.(2)解取ad的中点o，连接co，po.papd，poad.又po平面pad，平面pad平面abcd，平面pad平面abcdad，po平面abcd，co平面abcd，poco，又accd，coad.以o为原点，oc，oa，op所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，易知p(0,0,1)，b(1,1,0)，d(0，1,0)，c(2,0,0)，则(1,1，1)，(0，1，1)，(2,0，1)，(2，1,0)设n(x0，y0，1)为平面pcd的一个法向量由得解得即n.设pb与平面pcd的夹角为，则sin |cosn，|.(3)解设m是棱pa上一点，则存在0,1使得，因此点m(0,1，)，(1，)，bm平面pcd，bm平面pcd，当且仅当n0，即(1，)0，解得，在棱pa上存在点m使得bm平面pcd，此时.利用向量法解决立体几何问题典例 (12分)如图1所示，正abc的边长为4，cd是ab边上的高，e，f分别是ac和bc边的中点，现将abc沿cd翻折成直二面角adcb，如图2所示(1)试判断直线ab与平面def的位置关系，并说明理由；(2)求二面角edfc的余弦值；(3)在线段bc上是否存在一点p，使apde？证明你的结论思想方法指导 对于较复杂的立体几何问题可采用向量法(1)用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想(2)两种思路：选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断建立空间直角坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题规范解答解(1)ab平面def，理由如下：在abc中，由e，f分别是ac，bc中点，得efab.又ab平面def，ef平面def，ab平面def.1分(2)以d为原点，分别以db，dc，da所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(0,0,2)，b(2,0,0)，c(0，2，0)，e(0，1)，f(1，0)，3分易知平面cdf的法向量为(0,0,2)，设平面edf的法向量为n(x，y，z)，则即取n(3，3)，则cos，n，二面角edfc的余弦值为.6分(3)设p(x，y,0)，则y20，y.又(x2，y,0)，(x,2y,0)，(x2)(2y)xy，xy2.9分把y代入上式得x，p，点p在线段bc上在线段bc上存在点p，使apde.12分1已知平面内有一点m(1，1,2)，平面的一个法向量为n(6，3,6)，则下列点p中，在平面内的是()ap(2,3,3) bp(2,0,1)cp(4,4,0) dp(3，3,4)答案a解析逐一验证法，对于选项a，(1,4,1)，n61260，n，点p在平面内，同理可验证其他三个点不在平面内2设u(2,2，t)，v(6，4,4)分别是平面，的法向量若，则t等于()a3 b4 c5 d6答案c解析，则uv262(4)4t0，t5.3.(2017西安模拟)如图，f是正方体abcda1b1c1d1的棱cd的中点，e是bb1上一点，若d1fde，则有()ab1eebbb1e2ebcb1eebde与b重合答案a解析以d为坐标原点，分别以da，dc，dd1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方形的边长为2，则d(0,0,0)，f(0,1,0)，d1(0,0,2)，设e(2,2，z)，则(0,1，2)，(2,2，z)，02122z0，z1，b1eeb.4(2017广州质检)已知平面内的三点a(0,0,1)，b(0,1,0)，c(1,0,0)，平面的一个法向量n(1，1，1)，则不重合的两个平面与的位置关系是_答案解析设平面的法向量为m(x，y，z)，由m0，得x0yz0，即yz，由m0，得xz0，即xz，取x1，m(1,1,1)，mn，mn，.5(2017青岛模拟)已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且bp平面abc，则实数xy_.答案解析由条件得解得x，y，z4，xy.6已知点p是平行四边形abcd所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：apab；apad；是平面abcd的法向量；.其中正确的序号是_答案解析0，0，abap，adap，则正确；又abada，ap平面abcd，是平面abcd的法向量，则正确；(2,3,4)，(1,2，1)，与不平行，故错误7(2018青海质检)正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别是c1c，b1c1的中点求证：mn平面a1bd.证明如图所示，以d为坐标原点，da，dc，dd1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，则d(0,0,0)，a1(1,0,1)，b(1,1,0)，m，n，于是，(1,0,1)，(1,1,0)设平面a1bd的法向量为n(x，y，z)，则n0，且n0，得取x1，得y1，z1.所以n(1，1，1)又n(1，1，1)0，所以n.又mn平面a1bd，所以mn平面a1bd.8.如图，四边形abcd为正方形，pd平面abcd，pdqa，qaabpd.证明：平面pqc平面dcq.证明如图，以d为坐标原点，线段da的长为单位长度，da，dp，dc所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系dxyz.由题意得q(1,1,0)，c(0,0,1)，p(0,2,0)，则(1,1,0)，(0,0,1)，(1，1,0)0，0，即pqdq，pqdc.又dqdcd，dq，dc平面dcq，pq平面dcq，又pq平面pqc，平面pqc平面dcq.9.(2017郑州调研)如图所示，四棱锥pabcd的底面是边长为1的正方形，pacd，pa1，pd，e为pd上一点，pe2ed.(1)求证：pa平面abcd；(2)在侧棱pc上是否存在一点f，使得bf平面aec？若存在，指出f点的位置，并证明；若不存在，请说明理由(1)证明paad1，pd，pa2ad2pd2，即paad.又pacd，adcdd，ad，cd平面abcd，pa平面abcd.(2)解以a为原点，ab，ad，ap所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则a(0,0,0)，b(1,0,0)，c(1,1,0)，p(0,0,1)，e，(1,1,0)，.设平面aec的法向量为n(x，y，z)，则即令y1，则n(1,1，2)假设侧棱pc上存在一点f，且(01)，使得bf平面aec，则n0.又(0,1,0)(，)(，1，)，n120，存在点f，使得bf平面aec，且f为pc的中点10(2017成都调研)如图所示