（全国通用）2018高考数学大一轮复习 第八篇 平面解析几何 第7节 圆锥曲线的综合问题 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系习题 理.doc

第7节圆锥曲线的综合问题第一课时直线与圆锥曲线的位置关系【选题明细表】知识点、方法题号直线与圆锥曲线位置关系1,7,9,10,11,14,15弦长问题3,4,6,12,16中点弦问题2,5,8,13基础对点练(时间:30分钟)1.若直线ax+by-3=0与圆x2+y2=3没有公共点,设点p的坐标为(a,b),则过点p的一条直线与椭圆x24+y23=1的公共点的个数为(c)(a)0 (b)1 (c)2 (d)1或2解析:由题意得,圆心(0,0)到直线ax+by-3=0的距离为3a2+b23,所以a2+b23.又a,b不同时为零,所以0a2+b23.由0a2+b23,可知|a|3,|b|0),b(x2,y2),c(-2,y3),则x1+2=6,解得x1=4,则y1=42,则直线ab的方程为y=22(x-2),则c(-2,-82),联立y2=8x,y=22(x-2),解得x=4,y=42或x=1,y=-22,则b(1,-22),所以|bf|=1+2=3,|bc|=9,所以=3,故选d.4.(2016丽水模拟)斜率为1的直线l与椭圆x24+y2=1相交于a,b两点,则|ab|的最大值为(c)(a)2 (b)455 (c)4105 (d)8105解析:设直线l的方程为y=x+t,代入x24+y2=1,消去y得54x2+2tx+t2-1=0,由题意知=(2t)2-5(t2-1)0即t20,b0,=64m2-4m(4m+3)0,解得m14且m3.答案:(14,3)(3,+)8.(2014江西卷)过点m(1,1)作斜率为-12的直线与椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)相交于a,b两点,若m是线段ab的中点,则椭圆c的离心率等于.解析:设a(x1,y1),b(x2,y2),分别代入椭圆方程相减得(x1-x2)(x1+x2)a2+(y1-y2)(y1+y2)b2=0,根据题意有x1+x2=21=2,y1+y2=21=2,且y1-y2x1-x2=-12,所以2a2+2b2(-12)=0,得a2=2b2,所以a2=2(a2-c2),整理得a2=2c2得ca=22,所以e=22.答案:229.导学号 18702492过椭圆x25+y24=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于a,b两点,o为坐标原点,则oab的面积为.解析:由题意知椭圆的右焦点为f(1,0),则直线ab的方程为x=12y+1.代入椭圆方程消去x得3y2+2y-8=0.设a(x1,y1),b(x2,y2).则y1+y2=-23,y1y2=-83,则oab的面积s=12|of|y1-y2|=12(y1+y2)2-4y1y2=1249+323=53.答案:5310.导学号 18702493已知椭圆c的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为2,离心率为12.(1)求椭圆c的方程;(2)设直线l经过点m(0,1),且与椭圆c交于a,b两点,若am=2mb,求直线l的方程.解:(1)设椭圆c的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),因为c=1,ca=12,所以a=2,b=3,所以椭圆c的方程为x24+y23=1.(2)由题意得直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+1,联立y=kx+1,x24+y23=1,得(3+4k2)x2+8kx-8=0,且0.设a(x1,y1),b(x2,y2),由am=2mb,得x1=-2x2,又x1+x2=-8k3+4k2,x1x2=-83+4k2,所以-x2=-8k3+4k2,-2x22=-83+4k2,消去x2得(8k3+4k2)2=43+4k2,解得k2=14,k=12,所以直线l的方程为y=12x+1,即x-2y+2=0或x+2y-2=0.11.导学号 18702494设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为f,离心率为33,过点f且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程;(2)设a,b分别为椭圆的左、右顶点,过点f且斜率为k的直线与椭圆交于c,d两点.若acdb+adcb=8,求k的值.解:(1)设f(-c,0),由ca=33,知a=3c,过点f且与x轴垂直的直线为x=-c,代入椭圆方程有(-c)2a2+y2b2=1,解得y=6b3,于是26b3=433,解得b=2,又a2-c2=b2,从而a=3,c=1,所以椭圆的方程为x23+y22=1.(2)设点c(x1,y1),d(x2,y2),由f(-1,0)得直线cd的方程为y=k(x+1),由方程组y=k(x+1),x23+y22=1消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.由根与系数的关系可得x1+x2=-6k22+3k2,x1x2=3k2-62+3k2.因为a(-3,0),b(3,0),所以acdb+adcb=(x1+3,y1)(3-x2,-y2)+(x2+3,y2)(3-x1,-y1)=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+2k2+122+3k2.由已知得6+2k2+122+3k2=8,解得k=2.能力提升练(时间:15分钟)12.导学号 18702495(2016河南新乡二模)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点f与双曲线x212-y24=1的一个焦点重合,直线y=x-4与抛物线交于a,b两点,则|ab|等于(b)(a)28 (b)32 (c)20 (d)40解析:由题意得,双曲线的右焦点为(4,0),所以抛物线方程为y2=16x,将直线方程y=x-4与抛物线方程联立,可得x2-24x+16=0,设a,b的坐标为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=24,易知直线过焦点f,所以|ab|=x1+x2+p=24+8=32,故选b.13.已知直线l的斜率为2,m,n是直线l与双曲线c:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两个交点,设mn的中点为p(2,1),则c的离心率为(a)(a)2 (b)3 (c)2 (d)22解析:设m(x1,y1),n(x2,y2),则x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1, 因为点p(2,1)是mn的中点,所以x1+x2=4,y1+y2=2,因为直线l的斜率为2,所以y1-y2x1-x2=2,由-可得,x12-x22a2=y12-y22b2,结合上述可得a2=b2,所以c2=2a2,所以e=2,故选a.14.在抛物线y=x2上关于直线y=x+3对称的两点m,n的坐标分别为.解析:设直线mn的方程为y=-x+b,代入y=x2中,整理得x2+x-b=0,令=1+4b0,所以b-14.设m(x1,y1),n(x2,y2),则x1+x2=-1,y1+y22=-x1+x22+b=12+b,由(-12,12+b)在直线y=x+3上,得12+b=-12+3,解得b=2,联立y=-x+2,y=x2,解得x1=-2,y1=4,x2=1,y2=1.答案:(-2,4),(1,1)15.导学号 18702496已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于a(x1,y1),b(x2,y2)(x10)的焦点在x轴上,右顶点与上顶点分别为a,b.顶点在原点,分别以a,b为焦点的抛物线c1,c2交于点p(不同于o点),且以bp为直径的圆经过点a.(1)求椭圆c的标准方程;(2)若与op垂直的动直线l交椭圆c于m,n两点,求omn面积的最大值和此时直线l的方程.解:(1)由已知得a(a,0),b(0,1),所以以a为焦点的抛物线c1的方程为y2=4ax,以b为焦点的抛物线c2的方程为x2=4y.由y2=4ax,x2=4y得p(4a13,4a23),又以bp为直径的圆经过点a,所以apab,apab=0,(4a13-a,4a23)(-a,1)=0,即a43-4a23+4=0,得a23=2,a2=8,故椭圆c的标准方程为x28+y2=1.(2)由(1)知p(42,8),kop=2,所以直线l的斜率kl=-22.设直线l的方程为y=-22x+t,由y=-22x+t,x2+8y2=8得5y2-2ty+t2-4=0,则=4t2-45(t2-4)0,解得t25,设m(x1,y1),n(x2,y2),则y1+y2=2t5,y1y2=t2-45,由弦长公式得|mn|=1+2|y2-y1|=3(y1+y2)2-4y1y2=4355-t2.又点o到直线l的距离为d=|t|1+12=23|t|,所以somn=12|mn|d=124355-t223|t|=252t2(5-t2)25(t2+5-t2)=2,当且仅当t2=5-t2时等号成立,又t20,b0),f1,f2分别是它的左、右焦点,a是它的右顶点,过点f1作一条斜率为k的直线交双曲线于异于顶点的两点m,n,若man=90,则该双曲线的离心率为(b)(a)3 (b)2 (c)5 (d)52解题关键:把man=90转化为aman=0.解析:由题意可得过点f1的直线方程为y=k(x+c)(k0),联立y=k(x+c),x2a2-y2b2=1,消去y得(b2-a2k2)x2-2a2k2cx-a2c2k2-a2b2=0.设m(x1,y1),n(x2,y2),则x1+x2=2a2k2cb2-a2k2,x1x2=-a2c2k2+a2b2b2-a2k2.因为man=90,所以aman=(x1-a)(x2-a)+y1y2=x1x2-a(x1+x2)+a2+k2(x1+c)(x2+c)=0,所以(1+k2)x1x2+(ck2-a)(x1+x2)+a2+k2c2=0,即-(1+k2)a2c2k2+a2b2b2-a2k2+(ck2-a)2a2k2cb2-a2k2+a2+k2c2=0,所以-2a3c-3a2c2+c4=0,即-2e-3+e2=0,即(e-2)(e+1)2e=0,又e1,解得e=2.2.导学号 18702499已知抛物线c:y2=2px(p0),a(异于原点o)为抛物线上一点,过焦点f作平行于直线oa的直线,交抛物线c于p,q两点.若过焦点f且垂直于x轴的直线交直线oa于点b,则|fp|fq|-|oa|ob|等于(a)(a)0 (b)1 (c)-1 (d)2解题关键:联立方程组,利用根与系数的关系及弦长公式求解.解析:设直线oa的斜率为k(k0),则直线oa的方程为y=kx,由y=kx,y2=2px得a(2pk2,2p