材料力学_I_第七章.ppt

1 第7章应力状态和强度理论 2 7 1概述 在第2章和第3章中曾讲述过杆受拉压时和圆截面杆受扭时杆件内一点处不同方位截面上的应力 并指出 一点处不同方位截面上应力的集合 总体 称之为一点处的应力状态 由于一点处任何方位截面上的应力均可根据从该点处取出的微小正六面体 单元体的三对相互垂直面上的应力来确定 故受力物体内一点处的应力状态 stateofstress 可用一个单元体 element 及其上的应力来表示 3 单向应力状态 4 纯剪切应力状态 5 研究杆件受力后各点处 特别是危险点处的应力状态可以 1 了解材料发生破坏的力学上的原因 例如低碳钢拉伸时的屈服 yield 现象是由于在切应力最大的45 斜截面上材料发生滑移所致 又如铸铁圆截面杆的扭转破坏是由于在45 方向拉应力最大从而使材料发生断裂 fracture 所致 2 在不可能总是通过实验测定材料极限应力的复杂应力状态下 如图所示 应力状态分析是建立关于材料破坏规律的假设 称为强度理论 theoryofstrength failurecriterion 的基础 6 本章将研究 平面应力状态下不同方位截面上的应力和关于三向应力状态 空间应力状态 的概念 平面应力状态和三向应力状态下的应力 应变关系 广义胡克定律 generalizedHooke slaw 以及这类应力状态下的应变能密度 strainenergydensity 强度理论 7 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 平面应力状态是指 如果受力物体内一点处在众多不同方位的单元体中存在一个特定方位的单元体 它的一对平行平面上没有应力 而另外两对平行平面上都只有正应力而无切应力这种应力状态 等直圆截面杆扭转时的纯剪切应力状态就属于平面应力状态 参见 3 4的 斜截面上的应力 8 对于图a所示受横力弯曲的梁 从其中A点处以包含与梁的横截面重合的面在内的三对相互垂直的面取出的单元体如图b 立体图 和图c 平面图 本节中的分析结果将表明A点也处于平面应力状态 9 平面应力状态最一般的表现形式如图a所示 现先分析与已知应力所在平面xy垂直的任意斜截面 图b 上的应力 10 I 斜截面上的应力 图b中所示垂直于xy平面的任意斜截面ef以它的外法线n与x轴的夹角a定义 且a角以自x轴逆时针转至外法线n为正 斜截面上图中所示的正应力sa和切应力ta均为正值 即sa以拉应力为正 ta以使其所作用的体元有顺时针转动趋势者为正 11 由图c知 如果斜截面ef的面积为dA 则体元左侧面eb的面积为dA cosa 而底面bf的面积为dA sina 图d示出了作用于体元ebf诸面上的力 体元的平衡方程为 12 需要注意的是 图中所示单元体顶 底面上的切应力ty按规定为负值 但在根据图d中的体元列出上述平衡方程时已考虑了它的实际指向 故方程中的ty仅指其值 也正因为如此 此处切应力互等定理的形式应是tx ty 由以上两个平衡方程并利用切应力互等定理可得到以2a为参变量的求a斜截面上应力sa ta的公式 13 II 应力圆 为便于求得sa ta 也为了便于直观地了解平面应力状态的一些特征 可使上述计算公式以图形即所称的应力圆 莫尔圆 Mohr scircleforstresses 来表示 先将上述两个计算公式中的第一式内等号右边第一项移至等号左边 再将两式各自平方然后相加即得 14 而这就是如图a所示的一个圆 应力圆 它表明代表a斜截面上应力的点必落在应力圆的圆周上 15 图a中所示的应力圆实际上可如图b所示作出 亦即使单元体x截面上的应力sx tx按某一比例尺定出点D1 依单元体y截面上的应力sy ty 取ty tx 定出点D2 然后连以直线 以它与s轴的交点C为圆心 并且以或为半径作圆得出 16 值得注意的是 在应力圆圆周上代表单元体两个相互垂直的x截面和y截面上应力的点D1和D2所夹圆心角为180 它是单元体上相应两个面之间夹角的两倍 这反映了前述sa ta计算公式中以2a为参变量这个前提 17 利用应力圆求a斜截面 图a 上的应力sa ta时 只需将应力圆圆周上表示x截面上的应力的点D1所对应的半径按方位角a的转向转动2a角 得到半径 那么圆周上E点的座标便代表了单元体a斜截面上的应力 现证明如下 参照图b a 18 E点横座标 19 E点纵座标 20 讨论 1 表达图示各单元体a斜截面上应力随a角变化的应力圆是怎样的 这三个单元体所表示的都是平面应力状态吗 21 2 对于图示各单元体 表示与纸面垂直的斜截面上应力随a角变化的应力圆有什么特点 a 45 两个斜截面上的sa ta分别是多少 22 思考 已知一点处两个不相垂直截面上的应力 图a 如图b所示为表达其与纸面垂直的一组斜截面上应力而作的应力圆是否正确 理由是什么 23 III 主应力与主平面 由根据图a所示单元体上的应力所作应力圆 图b 可见 圆周上A1和A2两点的横座标分别代表该单元体的垂直于xy平面的那组截面上正应力中的最大值和最小值 它们的作用面相互垂直 由A1和A2两点所夹圆心角为180 可知 且这两个截面上均无切应力 b 24 一点处切应力等于零的截面称为主平面 principalplane 主平面上的正应力称为主应力 principalstress 据此可知 应力圆圆周上点A1和A2所代表的就是主应力 但除此之外 图a所示单元体上平行于xy平面的面上也是没有切应力的 所以该截面也是主平面 只是其上的主应力为零 b 25 在弹性力学中可以证明 受力物体内一点处无论是什么应力状态必定存在三个相互垂直的主平面和相应的三个主应力 对于一点处三个相互垂直的主应力 根据惯例按它们的代数值由大到小的次序记作s1 s2 s3 图b所示应力圆中标出了s1和s2 而s3 0 b 26 当三个主应力中有二个主应力不等于零时为平面应力状态 平面应力状态下等于零的那个主应力如下图所示 可能是s1 也可能是s2或s3 这需要确定不等于零的两个主应力的代数值后才能明确 27 现利用前面的图b所示应力圆导出求不等于零的主应力数值和主平面位置方位角a0的解析式 由于 其中 为应力圆圆心的横座标 为应力圆的半径 故得 28 或即 图c示出了主应力和主平面的方位 29 由于主应力是按其代数值排序记作s1 s2 s3的 故在一般情况下由上列解析式求得的两个不等于零的主应力不一定就是s1 s2 所以应该把式中的s1 s2看作只是表示主应力而已 30 两端简支的焊接工字钢梁如图所示 试利用应力圆求危险横截面上a b 图c 两点处的主应力 例题7 1 31 1 梁的剪力图和弯矩图如图d和e所示 危险截面为C偏左的横截面 例题7 1 解 32 2 计算截面的几何性质 例题7 1 33 3 求C偏左横截面上a b两点处的应力 例题7 1 34 例题7 1 35 分别围绕a b两点用相邻的两个横截面和两个水平纵截面在梁中截取两个单元体 如图f g所示 例题7 1 36 求a点处的主应力值和主平面方位 在s t坐标系中 按选定的比例尺 由图f所示单元体上x和y向的应力确定D1和D2点 以为直径画出应力圆如图h所示 用比例尺在应力圆上量得 量得2a0 46 4o a0 23 2o主平面的方位如图i所示 例题7 1 37 由b点的单元体 图g 可见 单元体的x和y面上的切应力均等于零 即x和y面均为主平面 sx为主应即 求b点处的主应力值和主平面方位 例题7 1 38 1 a点处的主应力值和主平面方位也可按应力圆上的几何关系来计算 例题7 1 39 亦即a0 23 2 例题7 1 40 2 a点处的主应力s1的方向 也可用图解法求得 将应力圆上代表x截面上应力的点D1 sx tx 反向投射到应力圆上的点 然后将代表s3的点A2与点连以直线A2即为s1的方向 这里利用了圆周角恒等于圆弧所对应的圆心角之半的几何关系 例题7 1 41 7 3空间应力状态的概念 当一点处的三个主应力都不等于零时 称该点处的应力状态为空间应力状态 三向应力状态 钢轨在轮轨触点处就处于空间应力状态 图a 42 空间应力状态最一般的表现形式如图b所示 正应力sx sy sz的下角标表示其作用面 切应力txy txz tyx tyz tzx tzy的第一个下角标表示其作用面 第二个下角标表示切应力的方向 图中所示的正应力和切应力均为正的 即正应力以拉应力为正 切应力则如果其作用面的外法线指向某一座标轴的正向而该面上的切应力指向另一座标轴的正向时为正 43 最一般表现形式的空间应力状态中有9个应力分量 但根据切应力互等定理有txy tyx tyz tzy txz tzx 因而独立的应力分量为6个 即sx sy sz tyx tzy tzx 当空间应力状态的三个主应力s1 s2 s3已知时 图a 与任何一个主平面垂直的那些斜截面 即平行于该主平面上主应力的斜截面 上的应力均可用应力圆显示 44 例如图a中所示垂直于主应力s3所在平面的斜截面 其上的应力由图b所示分离体可知 它们与s3无关 因而显示这类斜截面上应力的点必落在以s1和s2作出的应力圆上 参见图c 45 进一步的研究证明 表示与三个主平面均斜交的任意斜截面 图a中的abc截面 上应力的点D必位于如图c所示以主应力作出的三个应力圆所围成的阴影范围内 同理 显示与s2 或s1 所在主平面垂直的那类斜截面上应力的点必落在以s1和s3 或s2和s3 作出的应力圆上 46 据此可知 受力物体内一点处代数值最大的正应力smax就是主应力s1 而最大切应力为 47 它的作用面根据应力圆点B的位置可知 系与主应力s2作用面垂直而与s1作用面成45 即下面图a中的截面abcd 48 根据切应力互等定理可知 在与截面abcd垂直的截面efgh上有数值上与tmax相等的切应力 如下面图b中所示 49 试根据图a所示单元体各面上的应力作出应力圆 并求出主应力和最大切应力的值及它们的作用面方位 例题7 2 50 1 图a所示单元体的前后两面 z截面 上无切应力 因而该面上的正应力sz 20MPa为已知的主应力 例题7 2 解 51 2 垂直于z的各截面上的应力与主应力sz无关 故可根据x截面和y截面上的应力画出应力圆 如图b所示 例题7 2 52 从圆上得出两个主应力分别为46MPa和 26MPa 这样就得到了包括sz 20MPa在内的三个主应力 他们按代数值大小排序为s1 46MPa s2 20MPa s3 26MPa 由应力圆得2a0 34 a0 17 由此确定s1的方向 其主单元体如图c所示 例题7 2 53 其作用面与s2垂直与s1方向成45 角 图c 图b所示的应力圆的主应力为s1和s3 其半径为最大切应力 由应力圆量得 例题7 2 54 7 4应力与应变间的关系 前已讲到 最一般表现形式的空间应力状态有6个独立的应力分量 sx sy sz txy tyz tzx 与之相应的有6个独立的应变分量 ex ey ez gxy gyz gzx 55 关于应力分量的正负已于 7 3中讲述 至于应变分量的正负为了与应力分量的正负相一致 规定 线应变ex ey ez以伸长变形为正 切应变gxy gyz gzx以使单元体的直角 xOy yOz zOx减小为正 56 本节讨论在线弹性范围内 且为小变形的条件下 空间应力状态的应力分量与应变分量之间的关系 即广义胡克定律 57 I 各向同性材料的广义胡克定律 对于各向同性材料 它在任何方向上的弹性性质相同 也就是它在各个方向上应力与应变之间的关系相同 因此 对于各向同性材料 1 在正应力作用下 沿正应力方向及与之垂直的方向产生线应变 而在包含正应力作用面在内的三个相互垂直的平面内不会发生切应变 2 在切应力作用下只会在切应力构成的平面内产生切应变 而在与之垂直的平面内不会产生切应变 也不会在切应力方向和与它们垂直的方向产生线应变 58 图a b c作为示例示出了单元体以及对各向同性材料来说不可能产生的变形 因为每个图中上面的单元体在绕x轴旋转180 以后 如各图中下面的单元体所示 或者受力情况未变而变形却反了 图a 或者变形无变化但受力情况却反了 图b c 而这些都不符合各向同性材料应力 应变关系不应该随单元体转动而变化的特征 59 现在来导出一般空间应力状态 图a 下的广义胡克定律 因为在线弹性 小变形条件下可以应用叠加原理 故知x方向的线应变与正应力之间的关系为 同理有 60 至于切应变与切应力的关系 则根据前面所述可知 切应变只与切应变平面内的切应力相关 因而有 61 对于图b所示的那种平面应力状态 sz 0 txz tzx 0 tyz tzy 0 则胡克定律为 各向同性材料的三个弹性常数E G n之间存在如下关系 62 思考 1 图a和图b所示应力状态是否完全相当 2 图a所示情况下 对角线ab的线应变eab与g的关系 亦即eab与 G的关系是怎样的 3 图b中沿图a中对角线ab方向的线应变与所示s的关系是怎样的 63 4 如果图a与图b是同一应力状态 那么它们沿同一方向的线应变应相等 按此可否导出G E 2 1 n 64 当空间应力状态如下图所示以主应力表示时 广义胡克定律为 式中 e1 e2 e3分别为沿主应力s1 s2 s3方向的线应变 65 对于各向同性材料由于主应力作用下 在任何两个主应力构成的平面内不发生切应变 因而主应力方向的线应变就是主应变 一点处两个相互垂直方向间不发生切应变时该两个方向的线应变 在平面应力状态下 若s3 0 则以主应力表示的胡克定律为 66 已知构件受力后其自由表面上一点处x方向的线应变ex 240 10 6 y方向的线应变ey 160 10 6 试求该点处x和y截面上的正应力sx和sy 并求自由表面法线的线应变ez 已知材料的弹性模量E 210GPa 泊松比n 0 3 例题7 3 67 1 构件的自由表面上无任何应力 故知该点处于平面应力状态 例题7 3 解 68 2 根据平面应力状态的胡克定律 得 例题7 3 69 再根据平面应力状态的胡克定律求得 需要注意的是 题文中给出了x和y方向的线应变 并未说明在xy平面内无切应变 故不能把求得的sx和sy认为是主应力 例题7 3 70 有人认为 根据e e 所以有 显然与上述结果不同 这种算法是错误的 原因是把平面应力状态的问题误用单向应力状态的胡克定律 例题7 3 71 II 各向异性材料的广义胡克定律 各向异性材料受力时 正应力会引起切应变 而切应力也会引起线应变 完全各向异性的材料在一般空间应力状态下 三个相互垂直平面上的6个独立的应力分量sx sy sz tyz tzx txy中的每一个都可引起6个应变分量ex ey ez gyz gzx gxy 72 从而在线弹性范围内且小变形的条件下 应力分量与应变分量之间的关系可表达为 73 上式即是完全各向异性材料的广义胡克定律 式中的Cij为弹性常数 其第一个下角标i 1 2 6 表示它对应于应变分量ex ey ez gyz gzx gxy中的第几个 例如C24表示ey对应于tyz的弹性常数 从式中可见 完全各向异性的材料总共有36个弹性常数 利用功的互等定理很容易证明 上列弹性常数中存在Cij Cji这一互等关系 也就是说 在上列一组式子中有 36 6 2 15对弹性常数是互等的 可见完全各向异性的材料只有36 15 21个独立的弹性常数 74 对于完全各向异性的材料 若沿x y z方向的正应力为主应力s1 s2 s3 因而txy 0 tyz 0 tzx 0 则按广义胡克定律有 可见在任何两个主应力构成的平面内均发生有切应变 所以主应力方向并非主应变的方向 或者说 主应力方向和主应变方向不相重合 75 工程上应用的将单向排列碳纤维浇注于环氧树脂中形成的单向复合材料 它们具有三个弹性性能对称面 参见下图 从而具有三个弹性性能对称轴 这种各向异性材料称为正交异性材料 orthogonalcompositematerial 76 当正交异性材料中一点处三个相互垂直面上的六个独立应力分量均平行于材料的弹性对称轴时 根据对称性原则可知 这三个面上的正应力在弹性对称轴方向只产生线应变 这三个面上的切应力只在它们各自的自身平面内产生切应变 77 因此 当正交异性材料一点处的六个独立应力分量平行于材料的弹性对称轴x y z时 广义胡克定律为 考虑到上式中 C12 C21 C13 C31 C23 C32 正交异性材料共有9个独立的弹性常数 78 思考 图中x轴和y轴为正交各向异性材料的弹性性能对称轴 从该材料中一点处取出的单元体如图a所示 受纯剪切 变形后如图b 试论证这种情况仍符合对称性原则 79 III 各向同性材料的体应变 材料受力而变形时其体积的相对变化称为体应变q 取三个边长分别为a1 a2 a3的单元体 它在受力而变形后边长分别为a1 1 e1 a2 1 e2 a3 1 e3 故体应变为 80 将上式展开并略去高阶微量e1e2 e2e3 e3e1 e1e2e3 再利用各向同性材料的广义胡克定律得 81 对于以最一般形式表达的空间应力状态 由于单元体每一个平面内的切应力引起的纯剪切相当于这个平面内的二向等值拉压 s1 t s3 t s2 0 从而从上列体应变公式中可见 它们引起的体应变为零 可见 对于各向同性材料 在一般空间应力状态下的体应变也只与三个线应变之和有关 即 82 思考 各向同性材料制成的构件内一点处 三个主应力为s1 30MPa s2 10MPa s3 40MPa 现从该点处以平行于主应力的截面取出边长均为a的单元体 试问 1 变形后该单元体的体积有无变化 2 变形后该单元体的三个边长之比有无变化 83 边长a 0 1m的铜质立方体 置于刚性很大的钢块中的凹坑内 图a 钢块与凹坑之间无间隙 试求当铜块受均匀分布于顶面的竖向荷载F 300kN时 铜块内的主应力 最大切应力 以及铜块的体应变 已知铜的弹性模量E 100GPa 泊松比n 0 34 铜块与钢块上凹坑之间的摩擦忽略不计 例题7 4 84 1 铜块水平截面上的压应力为 例题7 4 解 85 2 铜块在sy作用下不能横向膨胀 即ex 0 ez 0 可见铜块的x截面和z截面上必有sx和sz存在 图b 按照广义胡克定律及ex 0和ez 0的条件有方程 例题7 4 86 从以上二个方程可见 当它们都得到满足时显然sx sz 于是解得 由于忽略铜块与钢块上凹坑之间的摩擦 所以sx sy sz都是主应力 且 例题7 4 87 3 铜块内的最大切应力为 例题7 4 88 4 铜块的体应变为 例题7 4 89 7 5空间应力状态下的应变能密度 在第2章 轴向拉伸和压缩 中已讲到 应变能密度是指物体产生弹性变形时单位体积内积蓄的应变能 并导出了单向拉伸或压缩应力状态下的应变能密度计算公式 在第三章 扭转 中讲到了纯剪切这种平面应力状态下的应变能密度 在此基础上 本章讲述空间应力状态下的应变能密度 90 空间应力状态下 受力物体内一点处的三个主应力有可能并非按同一比例由零增至各自的最后值 例如s1先由零增至最后的值 然后s2由零增至最后的值 而s3最后才由零增至最后的值 但从能量守恒定律可知 弹性体内的应变能和应变能密度不应与应力施加顺序有关而只取决于应力的最终值 因为否则按不同的加载和卸载顺序会在弹性体内累积应变能 而这就违反了能量守恒定律 91 把由主应力和主应变表达的广义胡克定律代入上式 经整理简化后得 为了便于分析 这里按一点处三个主应力按同一比例由零增至最后的值这种情况 即通常所称的比例加载或简单加载情形 来分析以主应力显示的空间应力状态下 各向同性材料在线弹性且小变形条件下的应变能密度 此时 92 体积改变能密度和形状改变能密度 图a所示单元体在主应力作用下不仅其体积会发生改变 而且其形状 指单元体三个边长之比 也会发生改变 这就表明 单元体内的应变能密度ve包含了体积改变能密度vv和形状改变能密度vd两部分 即ve vv vd 93 如果将图a所示应力状态分解为图b和图c所示两种应力状态 则可见 1 图 b 所示的三个主应力都等于平均应力sm s1 s2 s3 3的情况下 单元体只有体积改变而无形状改变 其应变能密度就是体积改变能密度 而形状改变能密度为零 94 2 图c所示三个主应力分别为s1 sm s2 sm s3 sm的情况下 三个主应力之和为零 单元体没有体积改变而只有形状改变 故该单元体的应变能密度就是形状改变能密度 而体积改变能密度为零 95 由以上分析可知 1 图a所示单元体的体积改变能密度就等于图b所示单元体的应变能密度 故对图a所示单元体有 96 在下一节所讲的强度理论中要运用形状改变能密度 2 图a所示单元体的形状改变能密度就等于图c所示单元体的应变能密度 故对图a所示单元体有 97 7 6强度理论及其相当应力 材料在单向应力状态下的强度 塑性材料的屈服极限 脆性材料的强度极限 总可通过拉伸试验和压缩试验加以测定 材料在纯剪切这种特定平面应力状态下的强度 剪切强度 可以通过例如圆筒的扭转试验来测定 但是对于材料在一般平面应力状态下以及三向应力状态下的强度 则由于不等于零的主应力可以有多种多样的组合 所以不可能总是由试验加以测定 因而需要通过对材料破坏现象的观察和分析寻求材料强度破坏的规律 提出关于材料发生强度破坏的力学 98 材料的强度破坏有两种类型 在没有明显塑性变形情况下的脆性断裂 产生显著塑性变形而丧失工作能力的塑性屈服 工程中常用的强度理论按上述两种破坏类型分为 研究脆性断裂力学因素的第一类强度理论 其中包括最大拉应力理论和最大伸长线应变理论 研究塑性屈服力学因素的第二类强度理论 其中包括最大切应力理论和形状改变能密度理论 因素的假设 强度理论 以便利用单向拉伸 压缩以及圆筒扭转等试验测得的强度来推断复杂应力状态下材料的强度 99 1 最大拉应力理论 第一强度理论 受铸铁等材料单向拉伸时断口为最大拉应力作用面等现象的启迪 第一强度理论认为 在任何应力状态下 当一点处三个主应力中的拉伸主应力s1达到该材料在单轴拉伸试验或其它使材料发生脆性断裂的试验中测定的极限应力su时就发生断裂 可见 第一强度理论关于脆性断裂的判据为 而相应的强度条件则是 其中 s 为对应于脆性断裂的许用拉应力 s su n 而n为安全因数 100 2 最大伸长线应变理论 第二强度理论 从大理石等材料单轴压缩时在伸长线应变最大的横向发生断裂 断裂面沿施加压应力的方向 即所谓纵向 来判断 第二强度理论认为 在任何应力状态下 当一点处的最大伸长线应变e1达到该材料在单轴拉伸试验 单轴压缩试验或其它试验中发生脆性断裂时与断裂面垂直的极限伸长应变eu时就会发生断裂 可见 第二强度理论关于脆性断裂的判据为 101 对应于式中材料脆性断裂的极限伸长线应变eu 如果是由单轴拉伸试验测定的 例如对铸铁等脆性金属材料 那么eu su E 如果eu是由单轴压缩试验测定的 例如对石料和混凝土等非金属材料 那么eu n su E 如果eu是在复杂应力状态的试验中测定的 低碳钢在三轴拉伸应力状态下才会未经屈服而发生脆性断裂 则eu与试验中发生脆性断裂时的三个主应力均有联系 102 亦即 而相应的强度条件为 按照这一理论 似乎材料在二轴拉伸或三轴拉伸应力状态下反而比单轴拉伸应力状态下不易断裂 而这与实际情况往往不符 故工程上应用较少 如果eu是在单轴拉伸而发生脆性断裂情况下测定的 则第二强度理论关于脆性断裂的判据也可以便于运用的如下应力形式表达 103 3 最大切应力理论 第三强度理论 低碳钢在单轴拉伸而屈服时出现滑移等现象 而滑移面又基本上是最大切应力的作用面 45 斜截面 据此 第三强度理论认为 在任何应力状态下当一点处的最大切应力tmax达到该材料在试验中屈服时最大切应力的极限值tu时就发生屈服 第三强度理论的屈服判据为 对于由单轴拉伸试验可测定屈服极限ss 从而有tu ss 2的材料 例如低碳钢 上列屈服判据可写为 即 104 而相应的强度条件则为 从上列屈服判据和强度条件可见 这一强度理论没有考虑复杂应力状态下的中间主应力s2对材料发生屈服的影响 因此它与试验结果会有一定误差 但偏于安全 4 形状改变能密度理论 第四强度理论 注意到三向等值压缩时材料不发生或很难发生屈服 第四强度理论认为 在任何应力状态下材料发生屈服是由于一点处的形状改变能密度vd达到极限值vdu所致 105 于是 第四强度理论的屈服判据为 对于由单轴拉伸试验可测定屈服极限ss的材料 注意到试验中s1 ss s2 s3 0 而相应的形状改变能密度的极限值为 故屈服判据可写为 106 此式中 s1 s2 s3是构成危险点处的三个主应力 相应的强度条件则为 这个理论比第三强度理论更符合已有的一些平面应力状态下的试验结果 但在工程实践中多半采用计算较为简便的第三强度理论 亦即 107 5 强度理论的相当应力 上述四个强度理论所建立的强度条件可统一写作如下形式 式中 sr是根据不同强度理论以危险点处主应力表达的一个值 它相当于单轴拉伸应力状态下强度条件s s 中的拉应力s 通常称sr为相当应力 表7 1示出了前述四个强度理论的相当应力表达式 108 109 7 7莫尔强度理论及其相当应力 莫尔强度理论不以某一力学因素 正应力 线应变 切应力 形状改变能密度 达到其极限值作为材料发生强度破坏的判据 而直接以材料在某些应力状态下强度试验结果所建立的带有经验性的强度理论 在该理论中也不考虑中间主应力s2对材料强度的影响 110 按照材料在某些应力状态下破坏时的主应力s1 s3可作出一组应力圆 极限应力圆 如图 这组极限应力圆有一条公共包络线 即极限包络线 一般情况下为曲线 如图中的曲线ABC和与它对称的另一曲线 I 莫尔强度理论的基本观点 111 在工程应用中 往往根据单轴拉伸和单轴压缩的强度试验结果作两个极限应力圆定出公切线 直线 作为极限包络线 莫尔强度理论认为 对于某一给定的应力状态 s1 s2 s3 如果由s1与s3所作应力圆与上述极限包络线相切或相交 则表示材料要发生强度破坏 112 II 莫尔强度理论的强度条件 在强度计算中需引入安全因数 故以材料在单轴拉伸时的许用拉应力 st 和单轴压缩时的许用压应力 sc 分别作出许用应力圆 并以它们的公切线 许用包络线 作为建立复杂应力状态下强度条件的依据 任何复杂应力状态下 以主应力s1 s3作出的应力圆都不得与许用包络线相交 而强度条件则以该应力圆与许用包络线相切的条件来建立 113 根据图中的几何关系可见 任意应力状态下以s1 s3所作应力图与许用包络线相切时有 a 114 其中 需要注意的是 以上各式中 sc 是指绝对值 s1 s3是指代数值 115 将式 b 所列关系代入式 a 得 根据此式导出的条件可知 式中的s1 s3实际上是所研究的复杂应力状态下刚好满足强度要求的值 因而莫尔强度理论的强度条件应为 相应的相当应力表达式于是为 116 显然 当材料的许用拉 压应力相等时 srM sr3 s1 s3从这个意义上来说 莫尔强度理论是第三强度理论的发展 因为莫尔强度理论可以考虑 st sc 的情况 莫尔强度理论的不足之处在于 它没有考虑不同应力状态下材料强度破坏的类型可能不同 例如对于铸铁一类脆性材料 莫尔强度理论中作出许用包络线的 st 和 sc 就是对应于沿横截面脆性断裂和沿斜截面剪断两种不同破坏类型的 117 7 8各种强度理论的应用 前述各种强度理论是根据下列条件下材料强度破坏的情况作出的假设 它们也是应用这些强度理论的条件 常温 室温 静荷载 徐加荷载 材料接近于均匀 连续和各向同性 需要注意同一种材料其强度破坏的类型与应力状态有关 118 带尖锐环形深切槽的低碳钢试样 由于切槽根部附近材料处于接近三向等值拉伸的应力状态而发生脆性断裂 对于像低碳钢一类的塑性材料 除了处于三向拉伸应力状态外 不会发生脆性断裂 119 圆柱形大理石试样 在轴向压缩并利用液体径向施压时会产生显著的塑性变形而失效 120 纯剪切平面应力状态下许用应力的推算 纯剪切平面应力状态下 低碳钢一类的塑性材料 纯剪切和单轴拉伸应力状态下均发生塑性的屈服 故可用单轴拉伸许用应力 s 按第三或第四强度理论推算许用切应力 t 按第三强度理论 纯剪切应力状态下的强度条件为 可见 亦即 121 按第四强度理论 纯剪切应力状态下的强度条件为 可见 在大部分钢结构设计规范中就是按 t 0 577 s 然后取整数来确定低碳钢的许用切应力的 例如规定 s 170MPa 而 t 100MPa 亦即 122 铸铁一类的脆性材料 纯剪切 圆杆扭转 和单向拉伸应力状态下均发生脆性断裂 故可用单轴拉伸许用应力 st 按第一或第二强度理论推算许用切应力 t 按第一强度理论 纯剪切应力状态下的强度条件为 可见 123 按第二强度理论 纯剪切应力状态下的强度条件为 因铸铁的泊松比n 0 25 于是有 可见 亦即 124 思考 试按第四强度理论分析比较某塑性材料在图 a 和图 b 两种应力状态下的危险程度 已知s和t的数值相等 如果按第三强度理论分析 那么比较的结果又如何 答案 按第四强度理论 a b 两种情况下同等危险 按第三强度理论则 a 较 b 危险 125 试校核图a所示焊接工字梁的强度 已