必修一函数的质.doc

2、 函数的基本性质1、函数单调性定义： 一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2,当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数(当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f (x )在区间D上是减函数)注：函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的。 函数f（x）在给定区间上的单调性，反应了函数f（x）在该区间上函数值的变化趋势； 函数单调性定义中的x1、x2有三个特征：一个任意性，即“任意取x1、x2”，“任意”二字决不能丢掉，证明单调性更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1x2，三是同属一个单调区间。三者缺一不可。 求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，因为函数的单调区间一定是函数定义域的子区间。2、单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间 注：当单调递增（或递减）区间由几个区间组成时，一般情况下不能取它们的并集，而应该用“和”或“，”连接。3、利用定义证明单调性的一般步骤： 取值：设x1，x2为该区间内任意的两个值，且x1x2； 作差、变形：作差f(x1)f(x2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形； 定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论； 判断：根据定义作出结论。4、最大值、最小值一般地，设函数的定义域为，如果存在实数M满足： （1）对于任意的，都有M ； （2）存在，使得=M 。 那么，我们称M是函数的最大值（ ）。5、利用函数的运算性质：若为增函数，则 为增函数； 为减函数； 为增函数； 为增函数； 为减函数。题型一：根据定义判断函数的单调性例题1：证明在区间上是增函数.例题2、试讨论函数f(x)的单调性解法一f(x)的定义域为R，在定义域内任取x1x2，都有f(x1)f(x2)，其中x1x20，x10，x10.当x1，x2(1,1)时，即|x1|1，|x2|1，|x1x2|1，则x1x21,1x1x20，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，f(x)为增函数当x1，x2(，1或1，)时，1x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)为减函数综上所述，f(x)在1,1上是增函数，在(，1和1，)上是减函数法二f(x)，由f(x)0解得1x1.由f(x)0解得x1或x1，f(x)在1,1上是增函数，在(，1和1，)上是减函数练习： 讨论函数f(x)(a0)在(1,1)上的单调性解设1x1x20时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0)在(2，)上递增，求实数a的取值范围解法一设2x1x2，由已知条件f(x1)f(x2)(x1x2)a(x1x2)0恒成立即当2x1a恒成立又x1x24，则0a4.法二f(x)x，f(x)10得f(x)的递增区间是(，)，(，)，根据已知条件2，解得0a4.练习：函数y在(1，)上单调递增，则a的取值范围是()A a3 Ba3 Ca3 Da3解析y1，需即a3.答案C练习：1、若函数在区间（上是减函数，那么实数的取值范围是 题型四：利用函数的单调性解不等式例题5、已知函数的定义域是，且满足,如果对于,都有,（1）求；（2）解不等式。例题6、设f(x)为奇函数，且在(，0)内是减函数，f(2)0，则xf(x)0的解集为 ()A(2,0)(2，) B(，2)(0,2)C(，2)(2，) D(2,0)(0,2)练习1、已知f(x)为R上的减函数，则满足f0时f（x）0，则f（x）为增函数；如果f（x）0，则f（x）为减函数；注：如果已知函数在这个区间是单调增区间，则f（x）0； 如果已知函数在这个区间是单调减区间，则f（x）0；二、函数的奇偶性1、 一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有那么函数就叫做偶函数2、一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有那么函数就叫做奇函数注：若一个奇函数在x=0处有意义，则f（0）=0；若f（x）是偶函数，则f（x）=f（|x|）任意一个定义域关于原点对称的函数f（x）均可写成一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）的和的形式，即f(x)=g(x)+h(x),其中g（x)=(f(x)-f(-x)/2.h(x)=(f(x)+f(-x)/2.3、根据定义判断奇偶性：一般按照定义严格进行，一般步骤是：（1）考察定义域是否关于原点对称，如果不关于原点对称，则函数是非奇非偶；（2）求f（-x）；（3）找f（-x）与f（x）的关系；（4）作出结论：f（x）=f（-x）或（f（-x）+f（x）=0），则f（x）为偶函数； f（-x）=-f（x）或(f（x）-f（-x）=0），则f（x）为奇函数； f（x）=f（-x）且f（-x）=-f（x），则f（x）既是奇函数又是偶函数； f（-x）-f（x）且f（x）f（-x），则f（x）是非奇非偶；4、奇偶函数的性质在公共定义域内：偶函数的和、差、商、积任为偶函数；奇函数的和、差任为奇函数；奇数个奇函数的积、商为奇函数，偶数个奇函数的积、商为偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数。5、 函数的奇偶性与单调性的联系与区别联系：奇函数关于原点对称的两个区间单调性相同；区别：函数的单调性是局部的性质（是某一个区间，不是定义域）函数的奇偶性是整体的，对于整个定义域而言；题型1：判断函数的奇偶性例1、判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）； （4） 。题型2:利用函数的奇偶性求值或解集例3、已知，其中为常数，若，求。题型3：求函数的解析式：例题4：若函数在上是奇函数,则的解析式为_.例题5：设函数与的定义域是且,是偶函数, 是奇函数,且,求和的解析式.练习：设是上的奇函数，且当时，则当时_。题型4：抽象函数的奇偶性的判断例题6：函数f(x)，满足都有f(x1+x2)= f(x1)+ f(x2)-3, （1）判断函数f(x)-3的奇偶性并予以证明 若f(x) 最大值为M，最小值为m，求M+m分析;恰当赋值，用定义可证奇偶性，应用奇偶性可求M+m解析；令则f(0+0)= f(0)+ f(0)-3得，令则f(x-x)= f(x)+ f(-x)-3得f(x)+ f(-x)=6，令则所以f(x)-3为奇函数。，为奇函数图像关于原点对称，所以例题7、函数f(x)，满足（1）求的值，判断并证明f(x)的奇偶性解析：令则，令则=得再令，所以f(x) 为奇函数点评:要判断f(x)的奇偶性必先求出，而把1写成是关键练习1、设是定义在上的偶函数，且在上是增函数，又。求实数的取值范围。解析：又偶函数的性质知道：在上减，而，所以由得，解得。（设计理由：此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题，所以本题弹性较大，可以作一些条件变换如：等；也可将定义域作一些调整）2、定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，yR都有f(x+y)=f(x)+f(y) (1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k3)+f(3-9-2)0对任意xR恒成立，求实数k的取值范围(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，yR)- 令y=-x，代入式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)，令x=y=0，代入式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0即f(-x)=-f(x)对任意xR成立，f(x)是奇函数(2)解：f(3)=log30，即f(3)f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数f(k3)-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k3-3+9+2，3-(1+k)3+20对任意xR成立令t=30，即t-(1+k)t+20对任意t0恒成立故：对任意xR恒成立。说明：问题(2)的上述解法是根据函数的性质f(x)是奇函数且在xR上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2对于任意t0恒成立对二次函数f(t)进行研究求解本题还有更简捷的解法：分离系数由k3-3+9+2得要使对不等式恒成立，只需k3、 周期函数的判断：编号周 期 性对 称 性1T=2对称轴是偶函数；对称中心（a,0）是奇函数2T=对称轴；对称中心；3f(x)= -f(x+a)T=2f(x)= -f(-x+a)对称中心4T=2对称中心5f(x)=T=2f(x)= b-f(-x+a)对称中心6f(x)=1-T=3结论：(1) 函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b| (2) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b| (3) 函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4|a-b| （4） 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别:y=f(a+x)与y=f(b-x)关于对称；y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点对称例1：已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x+2) = f (x)，则f (6)的值为（ B ）A. 1 B. 0 C. 1 D. 2解： 因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (0) = 0，又T=4，所以f (6) = f (2) = f (0) = 0。函数f(x)对于任意的实数x都有f(1+2x)=f(1-2x)，则f(2x)的图像关于 对称。（x=1/2）例题2、已知函数满足：，则=_.解析：取x=1 y=0得 法一：通过计算，寻得周期为6法二：取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n) 联立得f(n+2)= f(n-1) 所以T=6 故=f(0)= 练习1、函数是偶函数，则的图象关于 x=1 对称。2、函数满足，且，则 -1 。3、函数f(x)是定义在R上的奇函数，且,则 解析：法一：因f(x)为奇函数且关于对称，T=2,可借助图象解答，得结果为0. 小结：此方法为数形结合法法二：因f(x)为奇函数且关于对称，类比联想函数 0, 小结：此方法为抽象函数具体化法4、已知函数是定义在R上的奇函数，函数是的反函数，若则（ D ）A）2 B）0 C）1 D）-2解析：法一：(函数具体化)设符合题意，则则，法二：y=f(2x-1)是R上的奇函数f(-2x-1)=-f(2x-1)，即f(-2x-1)+f(2x-1)=0，由反函数的关系就可以取x1= f(-2x-1),x2= f(2x-1),所以g(x1)+g(x2)=-2x-1+(2x-1)=-2.5.设f(x)是R的奇函数,f(x+2)= f(x),当0x1,时,f(x)=x,则f(7.5)= - 0.5 6.定义在R上的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=3,则f-1(x)+f-1(3-x)= .07、 f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）=0，则方程f（x）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）DA.4 B.5 C.6 D.7习题：一、选择1.设为定义在上的奇函数。当时，则（）A3 B. 1 C. -1 D. -32.若函数与的定义域均为，则（）A与均为偶函数 B. 为偶函数，为奇函数C. 与均为奇函数 D. 为奇函数，为偶函数3.若是上周期为5的奇函数，且满足，则（）A-1 B. 1 C. -2 D. 24.动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是（）A B. C. D.和5.已知偶函数在区间单调增加，则满足的的取值范围是（）A B. C. D. 6.下列函数中，满足“对任意，当时，都有”的是（）A B. C. D.7.定义在上的偶函数满足：对任意的，有。则当时，有（）A B. C. D. 8.设是连续的偶函数，且当时，是单调函数，则满足的所有之和为（）A-3 B. 3 C. -8 D. 810.函数，若，则的值为（）A3 B. 0 C. -1 D. -211.定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期。若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（）A0 B. 1 C. 3 D. 512、已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：（1）是奇函数；（2）在定义域上单调递减；（3）求的取值范围。13、如果奇函数在区间3，7上是增函数且最小值为5，那么在区间-7，-3上是（ ） A、增函数且最小值为-5； B、增函数且最大值为-5； C、减函数且最小值为-5； D、减函数且最大值为-5；14、若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）A B C D 15、已知是定义在R上的奇函数，且在上是增函数，当时，的最大值为8，最小值为-1，求的值. 习题2.已知是上的减函数，那么的取值范围是(A) (B) (C)(D)3.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间上的任意，恒成立”的只有(A)(B) (C)(D)4.已知是周期为2的奇函数，当时，设则(A)(B)(C)(D)5.函数的定义域是A. B. C. D. 6、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A. B. C. D. 7、函数的反函数的图像与轴交于点(如右图所示)，则方程在上的根是A.4 B.3 C. 2 D.18、设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是 (A)是奇函数 (B)是奇函数 (C) 是偶函数 (D) 是偶函数9、已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则A BC D10、设(A)0 (B)1 (C)2 (D)311、对a，bR，记maxa，b，函数f(x)max|x1|，|x2|(xR)的最小值是(A)0 (B) (C) (D)312、关于的方程，给出下列四个命题：存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；存在实