（新课标）2018届高考数学二轮复习 专题能力训练13 空间向量与立体几何 理.doc

专题能力训练13空间向量与立体几何(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.直三棱柱abc-a1b1c1中,acb=90,bac=30,bc=1,aa1=,m是cc1的中点,则异面直线ab1与a1m所成的角为() a.60b.45c.30d.902.已知平面内有一点m(1,-1,2),平面的一个法向量为n=(6,-3,6),则下列点p中,在平面内的是()a.p(2,3,3)b.p(-2,0,1)c.p(-4,4,0)d.p(3,-3,4)3.在正方体abcd-a1b1c1d1中,e为bb1的中点,则平面a1ed与平面abcd所成的锐二面角的余弦值为()abcd4.(2017浙江金华联盟联考)已知斜四棱柱abcd-a1b1c1d1的各棱长均为2,a1ad=60,bad=90,平面a1add1平面abcd,则直线bd1与平面abcd所成的角的正切值为()abcd5.在棱长为1的正方体abcd-a1b1c1d1中,m是bc的中点,p,q是正方体内部或面上的两个动点,则的最大值是()ab.1cd6.在直三棱柱a1b1c1-abc中,bac=,ab=ac=aa1=1,已知g和e分别为a1b1和cc1的中点,d与f分别为线段ac和ab上的动点(不包括端点),若gdef,则线段df的长度的取值范围为()abcd7.如图,在四棱锥p-abcd中,侧面pad为正三角形,底面abcd为正方形,侧面pad底面abcd,m为底面abcd内的一个动点,且满足mp=mc,则点m在正方形abcd内的轨迹为()8.如图,在棱长为1的正方体abcd-a1b1c1d1中,p,q分别是线段cc1,bd上的点,r是直线ad上的点,满足pq平面abc1d1,pqrq,且p,q不是正方体的顶点,则|pr|的最小值是()abcd二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.如图所示,在正方体abcd-a1b1c1d1中,棱长为a,m,n分别为a1b和ac上的点,a1m=an=,则mn与平面bb1c1c的位置关系是.10.(2017浙江杭州模拟)在长方体abcd-a1b1c1d1中,ab=2,bc=aa1=1,则d1c1与平面a1bc1所成角的正弦值为.11.过正方形abcd的顶点a作线段pa平面abcd,若ab=pa,则平面abp与平面cdp所成的二面角为.12.如图,正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为3,在面对角线a1d上取点m,在面对角线cd1上取点n,使得mn平面aa1c1c,当线段mn长度取到最小值时,三棱锥a1-mnd1的体积为.13.已知点e,f分别是正方体abcd-a1b1c1d1的棱ab,aa1的中点,点m,n分别是线段d1e与c1f上的点,则与平面abcd垂直的直线mn有条.a.0b.1c.2d.无数个14.如图所示,在棱长为1的正方体abcd-a1b1c1d1中,m和n分别是a1b1和bb1的中点,那么直线am与cn所成角的余弦值为.三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)在边长为3的正三角形abc中,e,f,p分别是ab,ac,bc边上的点,满足aeeb=cffa=cppb=12(如图(1),将aef沿ef折起到a1ef的位置,使二面角a1-ef-b成直二面角,连接a1b,a1p(如图(2).(1)求证:a1e平面bep;(2)求二面角b-a1p-e的余弦值.16.(本小题满分15分)如图,在四棱锥a-efcb中,aef为等边三角形,平面aef平面efcb,efbc,bc=4,ef=2a,ebc=fcb=60,o为ef的中点.(1)求证:aobe;(2)求二面角f-ae-b的余弦值;(3)若be平面aoc,求a的值.参考答案专题能力训练13空间向量与立体几何1.d2.a解析 逐一验证法,对于选项a,=(1,4,1),n=6-12+6=0,n,点p在平面内,同理可验证其他三个点不在平面内.3.b解析 以a为原点建立如图所示的空间直角坐标系a-xyz,设棱长为1,则a1(0,0,1),e,d(0,1,0),=(0,1,-1),.设平面a1ed的一个法向量为n1=(1,y,z),有解得n1=(1,2,2).平面abcd的一个法向量为n2=(0,0,1),cos=,即所成的锐二面角的余弦值为.4.c解析 取ad的中点o,连接oa1,易证a1o平面abcd.建立如图所示的空间直角坐标系,得b(2,-1,0),d1(0,2,),=(-2,3,),平面abcd的一个法向量为n=(0,0,1),设bd1与平面abcd所成的角为,sin =,tan =.5.c解析 以a为坐标原点,分别以ad,ab,aa1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则a(0,0,0),m,所以.设=(x,y,z),由题意可知因为x+1y+0z=x+y,又-1x1,-1y1,所以-x.所以-x+y.故的最大值为.6.a解析 建立如图所示的空间直角坐标系,则a(0,0,0),e,g,f(x,0,0),d(0,y,0).由于gdef,所以x+2y-1=0,df=.当y=时,线段df长度的最小值是.当y=1时,线段df长度的最大值是1.因不包括端点,故y=1不能取,应选a.7.a解析 以d为原点,da,dc分别为x轴、y轴建立坐标系如图:设m(x,y,0),正方形边长为a,则p,c(0,a,0),则|mc|=,|mp|=.由|mp|=|mc|得x=2y,所以点m在正方形abcd内的轨迹为一条直线y=x.故选a.8.b解析 如图,分别以ab,ad,aa1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则b(1,0,0),d(0,1,0),b1(1,0,1),c(1,1,0).设p(1,1,m)(0m1),=(01),q(x0,y0,0),则(x0-1,y0,0)=(-1,1,0),q(1-,0),=(-,-1,-m).连接b1c,正方体abcd-a1b1c1d1中,bcc1b1是正方形,ab平面bcc1b1,b1cab,b1cbc1.又abbc1=b,b1c平面abc1d1,pq平面abc1d1,b1cpq.又=(0,1,-1),=-1+m=0,=1-m,q(m,1-m,0),=(m-1,-m,-m).设r(0,n,0),则=(m,1-m-n,0),pqrq,=m(m-1)-m(1-m-n)=0,即n=2-2m,r(0,2-2m,0),=(-1,1-2m,-m),|=,当m=时,|pr|的最小值是.9.mn平面bb1c1c解析 以c1为坐标原点建立如图所示的坐标系.a1m=an=,则m,n,.又c1(0,0,0),d1(0,a,0),=(0,a,0),=0,.又是平面bb1c1c的法向量,且mn平面bb1c1c,mn平面bb1c1c.10.解析 以d为原点,da为x轴,dc为y轴,dd1为z轴,建立空间直角坐标系,设n=(x,y,z)为平面a1bc1的法向量,则n=0,n=0,即令z=2,则y=1,x=2,于是n=(2,1,2),=(0,2,0).设所求线面角为,则sin =|cos|=.11.45解析 如图,建立空间直角坐标系,设ab=pa=1,则a(0,0,0),d(0,1,0),p(0,0,1),由题意,ad平面pab,设e为pd的中点,连接ae,则aepd,又cd平面pad,cdae,从而ae平面pcd.=(0,1,0),分别是平面pab,平面pcd的法向量,且=45.故平面pab与平面pcd所成的二面角为45.12.1解析 如图,建立空间直角坐标系,则可设m(t,0,t),n(0,s,3-s),=(t,-s,t+s-3),易知平面aa1c1c的法向量n=(1,1,0),由mn平面aa1c1c可知,n=0,(t,-s,t+s-3)(1,1,0)=0,得t=s.|2=2t2+(2t-3)2=6t2-12t+9,故当t=1时,mn长度取到最小值,此时m(1,0,1),n(0,1,2),yn=321=1.13.1解析 不妨设正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系,则d1(2,0,2),e(1,2,0),=(-1,2,-2),c1(0,0,2),f(2,2,1),=(2,2,-1).设=t,则m(2-,2,2-2),n(2t,2t,2-t),=(2t-2+,2t-2,2-t).由于mn与平面abcd垂直,所以=t=,由于此解唯一,故满足条件的mn只有一条.14.解析 以d为坐标原点,为x轴,为y轴,为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.则a(1,0,0),m,c(0,1,0),n,.设直线am与cn所成的角为,则cos =|cos|=.15.(1)证明 在图(1)中,取be的中点d,连接df,aeeb=cffa=12,af=ad=2,而a=60,adf为正三角形.又ae=de=1,efad.在图(2)中,a1eef,beef,a1eb为二面角a1-ef-b的一个平面角.由题设条件知此二面角为直二面角,a1e平面bep.(2)解 分别以eb,ef,ea1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则e(0,0,0),b(2,0,0),p(1,0),a1(0,0,1),=(0,0,1),=(1,0),=(-2,0,1),=(-1,0).设面ea1p的法向量为m=(x,y,z),则取y=-1,得m=(,-1,0);设面ba1p的法向量为n=(x,y,z),则取y=1,得n=(,1,2).cos=.二面角b-a1p-e的余弦值为.16.解 (1)因为aef是等边三角形,o为ef的中点,所以aoef.又因为平面aef平面efcb,ao平面aef,所以ao平面efcb,所以aobe.(2)取bc中点g,连接og.由题设知efcb是等腰梯形,所以ogef.由(1)知ao平面efcb,又og平面efcb,所以oaog.如图建立空间直角坐标系o -xyz,则e(a,0,0),a(0,0,a),b(2,(2-a),