《实变函数与泛函分析基础》第二版_程其襄第十章答案.pdf

1 设X赋范线性空间 12 k x xxL是X中k个线性无关向量 12 k L是一组数 证明 在X上存在满足下列条件 1 1 2 ii f xik L 2 fM 的线性连续泛函 f的充要条件为 对任何数 12 k t ttL 11 kk iiii ii tMt x 证证 必要性 若线性连续泛函f满足 1 和 2 则 1111 kkkk iiiiiiii iiii tf t xft xMt x 充分性 若对任意数 12 k t ttL 有 11 kk iiii ii tMt x 则令 012 k Xspan x xx L 对任意的 0 1 k ii i t xX 定义 0 X上的线性泛函 kk 00ii i 1i 1 tt ii ffx 因 kkk 0iii i 1i 1i 1 ttt iii fxMx 故 0 f是有界线性泛函 由泛函延拓定理 存在X上的线性连续泛函f 使 0 0X ff 且满足 1 0 1 2 iii f xfxik L 2 0 0 XX ffM 证毕 2 设X是赋范线性空间 Z是X的子空间 0 xX 又 0 0d x Z 证明存在f X 满足条件 0 1当xZ 时 0f x 0 00 2 f xd x Z 0 31f 证证 令 0 MxxxZ 在M上定义泛函 0000 ffxxd x Z 则 1 当xZ 时 0000 00 0fxfxxd x Z 2 0000 101 f xfxd x Zd x Z 3 对任意的 0 xxM 则 00000 1 fxxd x Zxxxx 故1 M f 又对 000000 xZfxfxxfxx 由x的任意性 可得 0000 fxfd x Z 而 00 f xd x Z 所以 0 1 M f 综上讨论知 0 1 M f 由泛函延拓定理 存在X上的线性连续泛函f 使 0M ff 且 0 XM ff 故结论成 立 3 证明 无限维赋范线性空间的共轭空间也是无限维的 证证 设 1 n n x 是X中的一列线性无关向量 记 12 1 2 nn Mspan x xxn LL 因 1 n n x 是线性无关的 故 1nn xM 由上述习题 2 知 n f X 使 1 1 nnnnn ffxd x M n f在 1n M 上为零 1 2 n L 只需证明 1 n n f 是 X 中的线性无关的向量 事实上 若 1 2 i K in L 使得 1 0 n ii i K f 则有 1 1 0 n ii i K fx 因为 1 0 2 3 i f xin L 所以 1 11 0K fx 又 111 00fxK 类似可证 00 2 3 iiii K fxKin L 这样我们证明了 X 中有无限多个线性无关的向量 1 n n f 因此 X 是无限维的 4 证明 Banach 空间X自反的充要条件是 X 自反 证 若X是 Banach 空间 则存在一个从X到 X 的自然的等距同构映射 X JX X 若 X JX X 则称X是自反的 其中 X J是这样定义的 若 fX J xff x 为 方便起见 记X到 X 的自然的等距同构映射为 0 J X 到 X 的自然的等距同构映射为 1 J 我们要证明 01 JXXJXX 若 0 JX X 对任意F X 定义 f X 若 0 xX f xF Jx 对xX 1000 JfJxJxff xF Jx 因 0 JX X 因此 1 JfF 这就 证明了 1 JXX 反之 若 1 JXX 而 0 JX X 则存在F X 使F在 0 JX上恒为零 而 1F 但 1 JXX 必有f X 使 1 JfF 对xX 0100 0f xJxfJfJxF Jx 所以 0f 此与 1 1J fF 矛盾 因此必有 0 JX X 证毕 5 设 12 n LL是一列数 证明存在 a b上有界变差函数 g t 使 b n n a t dg t 0 1 2 n L成立的充要条件是对一切多项式 0 n i i i p tct 成立 0 max n ii a t b i cMp t 其中M为常数 证证 充分性 在 C a b的线性子空间 Pp pa b 是上定义的多项式上定义线 性泛函 00 nn i iii ii ffctc 由条件 0 max n ii a t b i cMp t 可知f在P上是有界的 因 为P在 C a b上稠密 所以 可将f连续地延拓到 C a b 不妨仍记为f 这样f是 C a b 上的连续线性泛函 且 1 2 n n f tn L 必要性 若存在有界变差函数 g t 使 b n n a t dg t 0 1 2 n L 定义 C a b上的 有界线性泛函 b a ff xx t dg t 则对每一多项式 0 n i i i p tct 有 0 max n ii a t b i cfppffp t 令Mf 则得到结论 证毕 6 设T为 1 p lp 中单向移位算子 即若 12 p n xl LL 则 12 0 n Txy LL 求 X T 解解 若 12 p n xl LL 12 q n fl LL 则 2 1321 X nn Tfxf Tx LL 所以 23 X n Tf LL 7 举例说明一致有界性定理中空间X完备的条件不能去掉 解解 设X为 2 l的 线 性 子 空 间 xX 除 有 限 多 个 i 外 其 余 i 皆 为 零 12 n x LL 若 12 0 0 n xX LLL 定义X到X的线性映射 m T 0 0 0 1 2 mm T xmm LLL 则 1 2 sup mm m Tm mT L 对任一 12 0 n xX LL 当mn 时 有0 m T x 因此 1 supmax mn m T xT xT x 当 n mN 时 有 nm d x x 时 1 2 mm d xx 当 2 m mN 时 2 1 2 mm d xx 当 k m mN 时 1 2 mm k d xx 记 1 1 2 k kN k Sx d x x L L 这样得到一列闭球 1 k k S 对任意的k和 k xS 有 11 112 111 222 kkkk NNNN kkk d x xd x xd xx 所以 11 1 2 kkk xSSS k L 于是 由假设存在 1 k k xS I 且lim k N k xx 因为 n x是 Cauchy 列 limlim k Nn kn xxxx 因此X为完备度量空间 证毕 9 设 12 n y LL是一复数列 若对任何 120 n xC LL 级数 1 ii i 都收敛 证明 1 yl 其中 0 C的定义见第八章题 9 证证 对每一个n 定义 0 n fC 120 1 n nnii i xCfx LL 因为 111 sup nnn niiiii i iii fxx 所以 0n fC 且 1 n ni i f 设 i 满足 12 iiinn x LL 则 111 nnn nniinni iii fxxf 由题设条件 对任意 0 n xCfx 收敛 从而 n fx有界 由一致有界性定理 n f 有界 设 n fM 即 1 n i i M 令n 得 1 i i M L 若 若 则显然 n f为 a b上的有界可测函数 若 p gLa b 定义 p La b上的泛函 b nnn a FFgg t ft dt 则 n F是 p La b上的 有界线性泛函 且 1 b q q nn a Fftdt 又因为 1 n ft g tf t g tL a b 由勒贝格控制收敛定理知 lim b n an Fgf t g t dt 由一致有界性定理 存在0M 使得sup n n FM 使对一切xX 成立 p xM x 证证 先证对任意的 0 Mx p xM 是X中的闭集 事实上 若 n x x p xM lim n n xx 则 lim n n p xp x 所以 xx p xM 即 x p xM 是闭集 记 1 2 k Xx p xkk L 则 1 k k XX U 由Baire纲定理 存在某 k X 使 k X在某一 小球 0 Oxd x x sup n n T M L 设 n x是X中的 可 数 稠 密 子 集 考 察 有 界 数 列 1 1 n n fx 由 Weierstrass 定 理 存 在 收 敛 子 列 1 11nn fxfx 同理 1 2n fx也有收敛子列 2 2n fx 一般地 若已有子列 k nk fx 收敛 考察 1k nk fx 由数列的有界性知 存在收敛子列 1 1 1 knk n fx L 我们用对角线法则 取泛函列 1 1 k knk k n k fff 在稠密子集 n x上点点收敛 事 实上 由定义 对任意i 1 i ni n fx 是收敛的 而 k k k i f 是 1 i n n f 的子列 因此 1 k ki k fx 也是收敛的 即 k k f在 n x上点点收敛 由第十章第 5 节的定理 1 知 k k f 弱 收敛 证毕 14 证明 空间 C a b中点列 n x弱收敛于 0 x的充要条件是存在常数M 使得 1 2 n xM n L 并且对任何的 ta b 成立 0 lim n n xtxt 证证 充分性 若0M 使 1 2 n xM n L 且对 ta b 成立 0 lim n n x tx t 则设f是 C a b上任一有界线性泛函 由第十章第2节的Riesz表示定理 存在有界变差函数 g 使 b a f xx t dg t 因为 1 2 n xM n L 由勒贝格控制定理 lim n bb n aa xt dg tx t dg t 即 0 lim n n f xf x 因此 n x弱收敛于 0 x 必要性 设 n x弱收敛于 0 x 因为弱收敛点列必为有界点列 因此 0M 使 1 2 n xM n L 对 tab 定义 C a b上泛函 tt ff xx t 因 max a x b x tx tx 所以 t f是 C a b上有界线性泛函 n x弱收敛于 0 x 即 000tntntnt fxfxnxtfxfxxtn 即 0n xtxtn 证毕 15 设X是赋范线性空间 M为X的闭子空间 若M中有点列 n x弱收敛于 0 x 那么 必有 0 xM 证证 若 0 xM 则 0 0d x M 由本节的第 2 题知 存在f X 满足条件 1 f在M上恒为零 2 00 f xd x M 3 1f 由于 n xM 所以 0 0lim0 nn n f xf xf x 此与 00 0f xd x M 矛盾 证毕 16 证明 1 p lp 中点列 12 1 2 nn n xn LL 弱收敛于 12 x L p l 的充要条件为sup n n x 确定 0 k 使 0 1 2 q q k k k Mx 时 有 0 1 2 k n kkk k 这样 0 00 000 1111 111 111 2222 k nnn nkkkkkkkkkk kkk kk k pqq p qq n kkk k kk kk k f xf x Mx 因此 n x弱收敛于x 必要性 若 n x弱收敛于x 则由一致有界性定理 sup n n x 对任一k 令 1 0 0 1 0 k k f LL 1 2 3 个 则 q k fl 且 knk fxfx n 因 n knkkk fxfx 所以 lim n kk n k 17 设X是线性空间 1 x和 2 x是X上两个线性范数 若X按 1 x及 2 x都完备 并且 由点列 n x按 1 x收敛于 0 必有按 2 x也收敛于 0 证明存在正数a和b 使 121 a xxb x 证证 定义 Banach 空间 1 X 到 Banach 空间 2 X 的线性映射 T TxxxX 由题设T在原点是连续的 对 0 0 x 若 n x按 1 收敛于 0 x 则 0 1 lim0 n n xx 由题 设条件得 0 2 lim0 n n xx 即 0 2 lim0 n n TxTx 这说明T在任一非零点也连续 因此 T是有界的 又T是 1 X 到 2 X 上的一对一的映射 由逆算子定理 1 T 也是有界的 故 11 22112 1 xTxTxxTxTx 令 1 1 abT T 则 121 a xxb x 证毕 18 设T是 Banach 空间X到赋范线性空间F中的线性算子 令 1 2 n MxTxn xn L 证明 总有 0 n M在X中稠密 证证 因为 1 n n XM X U又是第二纲集 所以 必有 K M在某一球 00 O xx xx 则 0 nnn x yxM 即对 xX 点列 0 nnn x yxM 使得 lim nn n x yxx 即 0 n M在X中稠密 证毕 19 用闭图像定理证明逆算子定理 证证 设T为 Banach 空间X到 Banach 空间Y上的一对一的有界性线性算子 1 T 的 图 像 11 G Ty TyyY 若 1 00 nn y Tyyxn 则 1 00 nn yy Tyxn 设 1 nn xTy 则 00 nn xx Txyn 因为T连 续 所以 00 lim n n