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第十四篇不等式选讲(选修45)第1节绝对值不等式【选题明细表】知识点、方法题号解绝对值不等式1,3,4与绝对值不等式有关的证明2,3与绝对值不等式有关的恒成立问题2,41.已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)-1时,且当x-,)时,f(x)g(x),求a的取值范围.解:(1)当a=-2时,不等式f(x)g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-30.设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y=-5x,x1,其图象如图所示.从图象可知,当且仅当x(0,2)时,y0.所以原不等式的解集是x|0xk(x-1)-恒成立,求实数k的取值范围.(1)证明:|2a+b|+|2a-b|2a+b+2a-b|=4|a|,所以|2a+b|+|2a-b|a|4.(2)解:记h (x)=|2x+1|-|x+1|=-x,x-1,-3x-2,-1xk(x-1)-恒成立,则函数h(x)的图象在直线y=k(x-1)-的上方,因为y=k(x-1)-经过定点(1,- ),当x=-时,y=h(x)取得最小值-,显然,当y=k(x-1)-经过定点p(1,- )与m(-,-)时,kpm=-14-(-12)1-(-12)=,即k;当y=k(x-1)-经过定点p(1,- )与直线y=x平行时,k得到最大值1,所以k(,1 .3.(2016保定一模)设函数f(x)=|x-a|+1,ar.(1)当a=4时,解不等式f(x)0,n0),求证:m+2n3+22. (1)解:当a=4时,不等式f(x)1+|2x+1|即为|x-4|2x+1|.当x4时,原不等式化为x-4-5,故x4;当-x4时,原不等式化为4-x1,故1x4;当x-时,原不等式化为4-x-2x-1,得x-5,故x0,n0,所以m+2n=(m+2n)(+)=3+(2nm+)3+22,当且仅当m=1+2,n=1+22时,取等号,故m+2n3+22,得证.4.(2016大同调研)已知函数f(x)=|2x-1|+|x-2a|.(1)当a=1时,求f(x)3的解集;(2)当x,2时,f(x)3恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)当a=1时,由f(x)3,可得|2x-1|+|x-2|3,所以x12,1-2x+2-x3,或12x2,2x-1+2-x3,或x2,2x-1+x-23,解得 0x;解得x2;解得x=2.综上可得,0x2,即不等式f(x)3的解集为0,2.(2)因为当x,2时,f(x)3恒成立,即|x-2a|3-|2x-1|=4-2x,故2x-42a-x4-2x,即 3x-42a4-x.
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