（普通班）2017届高三数学一轮复习 第九篇 平面解析几何 第7节 圆锥曲线的综合问题 第二课时 最值 范围 证明专题基础对点练 理.doc

第二课时最值、范围、证明专题【选题明细表】知识点、方法题号最值问题2,4范围问题1,3,6证明问题5,71.已知椭圆c:+=1(ab0)的焦距为4,且与椭圆x2+=1有相同的离心率,斜率为k的直线l经过点m(0,1),与椭圆c交于不同的两点a,b.(1)求椭圆c的标准方程;(2)当椭圆c的右焦点f在以ab为直径的圆内时,求k的取值范围.解:(1)因为椭圆c的焦距为4,所以c=2.又因为椭圆x2+=1的离心率为22,所以椭圆c的离心率e=22,所以a=22,b=2,所以椭圆c的标准方程为+=1.(2)设直线l的方程为y=kx+1,a(x1,y1),b(x2,y2),由y=kx+1,x28+y24=1,消去y得(1+2k2)x2+4kx-6=0,所以x1+x2=-4k1+2k2,x1x2=-61+2k2.由(1)知椭圆c的右焦点f的坐标为(2,0),因为右焦点f在圆的内部,所以fafb0,所以(x1-2)(x2-2)+y1y20,即x1x2-2(x1+x2)+4+k2x1x2+k(x1+x2)+10,所以(1+k2)x1x2+(k-2)(x1+x2)+5=(1+k2)-61+2k2+(k-2)-4k1+2k2+5=8k-11+2k20,所以k.经检验,当k0,将线段ab中点m(2mbm2+2,m2bm2+2)代入直线方程y=mx+,解得b=-m2+22m2.由得m63.(2)令t=(-62,0)(0,62),则|ab|=t2+1-2t4+2t2+32t2+12,且o到直线ab的距离为d=t2+12t2+1.设aob的面积为s(t),所以s(t)=|ab|d=12-2(t2-12)2+222.当且仅当t2=时,等号成立.故aob面积的最大值为22.3.已知椭圆c:+=1(ab0)的一个焦点是f(1,0),且离心率为.(1)求椭圆c的方程;(2)设经过点f的直线(不与x轴重合)交椭圆c于m,n两点,线段mn的垂直平分线交y轴于点p(0,y0),求y0的取值范围.解:(1)设椭圆c的半焦距为c.依题意,得c=1.因为椭圆c的离心率为e=,所以a=2c=2,b2=a2-c2=3.故椭圆c的方程为+=1.(2)当mnx轴时,显然y0=0.当mn与x轴不垂直时,可设直线mn的方程为y=k(x-1)(k0).由y=k(x-1),x24+y23=1,消去y并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0.设m(x1,y1),n(x2,y2),线段mn的中点为q(x3,y3),则x1+x2=8k23+4k2,所以x3=x1+x22=4k23+4k2,y3=k(x3-1)=-3k3+4k2,线段mn的垂直平分线的方程为y+3k3+4k2=-(x-4k23+4k2).在上述方程中,令x=0,得y0=k3+4k2=13k+4k.当k0时,+4k43,当且仅当=4k,k=32时等号成立.所以-312y00或0b0)的两个焦点为f1,f2,离心率为22,直线l与椭圆相交于a,b两点,且满足|af1|+|af2|=42,koakob=-,o为坐标原点.(1)求椭圆的方程;(2)求oaob的最值.解:(1)椭圆的离心率为22,所以=22,因为2a=|af1|+|af2|=42,所以a=22,即c=2,则b2=4.则椭圆的方程为+=1.(2)当直线ab斜率存在时,设直线ab的方程为y=kx+m,设a(x1,y1),b(x2,y2),由y=kx+m,x28+y24=1,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,=8(8k2-m2+4)0,x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-81+2k2,因为koakob=-,所以y1y2x1x2=-,所以y1y2=-x1x2=-2m2-81+2k2=-m2-41+2k2,又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k22m2-81+2k2+km-4km1+2k2+m2=m2-8k21+2k2,所以-m2-41+2k2=m2-8k21+2k2,即-(m2-4)=m2-8k2,所以4k2+2=m2,则oaob=x1x2+y1y2=2m2-81+2k2-m2-41+2k2=m2-41+2k2=4k2+2-41+2k2=2-41+2k2,所以-2oaob0),即直线ab平行于x轴时,oaob最小值为-2.当斜率不存在时,x1=x2,y1=-y2,koakob=-=-,所以x12=2y12,将a坐标代入椭圆方程得y12=2,所以oaob的最大值为2.综上oaob的最大值为2,oaob的最小值为-2.5.平面直角坐标系中,o为坐标原点,给定两点a(1,0),b(0,-2),点c满足oc=oa+ob,其中,r,且-2=1.(1)求点c的轨迹方程;(2)设点c的轨迹与椭圆+=1(ab0)交于两点m,n,且以mn为直径的圆过原点,求证:+为定值;(3)在(2)的条件下,若椭圆的离心率不大于32,求椭圆长轴长的取值范围.(1)解:设c(x,y),由oc=oa+ob,可得(x,y)=(1,0)+(0,-2),所以x=,y=-2,即有=x,=-y2,代入-2=1,有x+y=1,即点c的轨迹方程为x+y=1.(2)证明:由x+y=1,x2a2+y2b2=1可得(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0,设m(x1,y1),n(x2,y2),则x1+x2=2a2a2+b2,x1x2=a2-a2b2a2+b2,因为以mn为直径的圆过原点o,则omon=0,即有x1x2+y1y2=0,x1x2+(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+2x1x2=1-2a2a2+b2+2a2-a2b2a2+b2=0,可得a2+b2-2a2b2=0,即有+=2为定值.(3)解:+=2,可得b2=a22a2-1.由ab0,即a22a2-11,由e32,则e2=a2-b2a2,即1-12a2-1,即2a2-14,又a1,所以1a102,即2b0)的焦距为2,且过点(1,22),右焦点为f2.设a,b是c上的两个动点,线段ab的中点m的横坐标为-,线段ab的中垂线交椭圆c于p,q两点.(1)求椭圆c的方程;(2)求f2pf2q的取值范围.解:(1)因为焦距为2,所以a2-b2=1.因为椭圆c过点(1,22),所以+12b2=1.故a2=2,b2=1,所以椭圆c的方程为+y2=1.(2)由题意知,当直线ab垂直于x轴时,直线ab方程为x=-,此时p(-2,0),q(2,0),又f2(1,0),得f2pf2q=-1.当直线ab不垂直于x轴时,设直线ab的斜率为k(k0),m(-,m)(m0),a(x1,y1),b(x2,y2),则x1+x2=-1,y1+y2=2m.由x122+y12=1,x222+y22=1得(x1+x2)+2(y1+y2)y1-y2x1-x2=0,则-1+4mk=0,故k=14m.此时,直线pq斜率为k1=-4m,pq的直线方程为y-m=-4m(x+).即y=-4mx-m.联立方程组y=-4mx-m,x22+y2=1,整理得(32m2+1)x2+16m2x+2m2-2=0.设p(x3,y3),q(x4,y4),所以x3+x4=-16m232m2+1,x3x4=2m2-232m2+1.于是f2pf2q=(x3-1)(x4-1)+ y3y4=x3x4-(x3+x4)+1+(4mx3+m)(4mx4+m)=(4m2-1)(x3+x4)+(16m2+1)x3x4+m2+1=(4m2-1)(-16m2)32m2+1+(1+16m2)(2m2-2)32m2+1+m2+1=19m2-132m2+1.由于m(-,m)在椭圆的内部,故0m2.令t=32m2+1,1t29,则f2pf2q=1932-5132t.又1t29,所以-1f2pf2qb0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线x-y+b=0是抛物线y2=4x的一条切线.(1)求椭圆c的方程;(2)过点s(0,-)的直线l交椭圆c于a,b两点,试问:在直角坐标平面上是否存在一个定点t,使得以ab为直径的圆恒过点t?若存在,求出点t的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)由x-y+b=0,y2=4x消去y得x2+(2b-4)x+b2=0.因为直线y=x+b与抛物线y2=4x相切,所以=(2b-4)2-4b2=0,所以b=1,因为椭圆c:+=1(ab0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,所以a=2b=2,故所求椭圆c的方程为+y2=1.(2)存在.理由:当l与x轴平行时,以ab为直径的圆的方程:x2+(y+)2=()2,当l与x轴垂直时,以ab为直径的圆的方程:x2+y2=1.由x2+(y+13)2=(43)2,x2+y2=1,解得x=0,y=1.即两圆相切于点(0,1),因此,所求的点t如果存在,只能是(0,1).下面证明点t(0,1)就是所求的点.当直线l垂直于x轴时,以ab为直径的圆过点t(0,1);若直线l不垂直于x轴,可设直线l:y=kx-.由y=kx-13,x22+y2=1消去y得(18k2+9)x2-12kx-16=0,设点a(x1,y1),b(x2,y2),则x1+x2=12k18k2