（江苏专版）2018年高考数学二轮复习 专题二 立体几何教学案.doc

专题二 立体几何江苏 新高考高考对本专题内容的考查一般是“一小一大”，小题主要考查体积和表面积的计算问题，而大题主要证明线线、线面、面面的平行与垂直问题，其考查形式单一，难度一般.第1课时立体几何中的计算(基础课)常考题型突破空间几何体的表面积与体积必备知识空间几何体的几组常用公式(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：s柱侧ch(c为底面周长，h为高)；s锥侧ch(c为底面周长，h为斜高)；s台侧(cc)h(c，c分别为上下底面的周长，h为斜高)(2)柱体、锥体、台体的体积公式：v柱体sh(s为底面面积，h为高)；v锥体sh(s为底面面积，h为高)；v台(ss)h(不要求记忆)(3)球的表面积和体积公式：s球4r2(r为球的半径)；v球r3(r为球的半径)题组练透1现有一个底面半径为3 cm，母线长为5 cm的圆锥状实心铁器，将其高温熔化后铸成一个实心铁球(不计损耗)，则该铁球的半径为_cm.解析：因为圆锥底面半径为3 cm，母线长为5 cm，所以圆锥的高为4 cm，其体积为32412 cm3，设铁球的半径为r，则r312，所以该铁球的半径是 cm.答案：2(2017苏锡常镇二模)已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为2，则该直四棱柱的侧面积为_解析：由题意得，直四棱柱的侧棱长为2，所以该直四棱柱的侧面积为scl42216.答案：163(2017南通、泰州一调)如图，在正四棱柱abcda1b1c1d1中，ab3 cm，aa11 cm，则三棱锥d1a1bd的体积为_cm3. 解析：三棱锥d1a1bd的体积等于三棱锥ba1d1d的体积，因为三棱锥ba1d1d的高等于ab，a1d1d的面积为矩形aa1d1d的面积的，所以三棱锥ba1d1d的体积是正四棱柱abcda1b1c1d1的体积的，所以三棱锥d1a1bd的体积等于321.答案：4.如图所示是一个直三棱柱(以a1b1c1为底面)被一个平面所截得到的几何体，截面为abc，已知a1b1b1c11，a1b1c190，a1a4，b1b2，c1c3，则此几何体的体积为_解析：在a1a上取点a2，在c1c上取点c2，使a1a2c1c2bb1，连结a2b，bc2，a2c2，vv v 112.答案：5设甲，乙两个圆柱的底面积分别为s1，s2，体积分别为v1，v2.若它们的侧面积相等且，则的值是_解析：设甲，乙两个圆柱的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则有2r1h12r2h2，即r1h1r2h2，又，则2.答案：方法归纳求几何体的表面积及体积的解题技巧(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解多面体与球的切接问题必备知识解决球与其他几何体的切、接问题(1)解题的关键：仔细观察、分析，弄清相关元素的位置关系和数量关系(2)选准最佳角度作出截面：要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系，达到空间问题平面化的目的(3)认识球与正方体组合的3种特殊截面：(4)熟记2个结论：设小圆o1半径为r，oo1d，则d2r2r2；若a，b是圆o1上两点，则ab2rsin2rsin.题组练透1(2017江苏高考)如图，在圆柱o1o2内有一个球o，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记圆柱o1o2的体积为v1，球o的体积为v2，则的值是_解析：设球o的半径为r，因为球o与圆柱o1o2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为r、高为2r，所以.答案：2(2017全国卷改编)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为_解析：设圆柱的底面半径为r，则r2122，所以圆柱的体积v1.答案：3已知矩形abcd的顶点都在半径为2的球o的球面上，且ab3，bc，过点d作de垂直于平面abcd，交球o于e，则棱锥eabcd的体积为_解析：如图所示，be过球心o，de 2，ve abcd322.答案：24(2017南京、盐城一模)将矩形abcd绕边ab旋转一周得到一个圆柱，ab3，bc2，圆柱上底面圆心为o，efg为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥oefg体积的最大值是_解析：因为将矩形abcd绕边ab旋转一周得到一个圆柱，ab3，bc2，圆柱上底面圆心为o，efg为下底面圆的一个内接直角三角形，所以三棱锥oefg的高为圆柱的高，即高为ab，所以当三棱锥oefg体积取最大值时，efg的面积最大，当ef为直径，且g在ef的垂直平分线上时，(sefg)max424, 所以三棱锥oefg体积的最大值(voefg)max(sefg)maxab434.答案：4方法归纳多面体与球的切接问题的解题技巧方法解读适合题型截面法解答时首先要找准切点，通过作截面来解决如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作球内切多面体或旋转体构造直角三角形法首先确定球心位置，借助外接的性质球心到多面体的顶点的距离等于球的半径，寻求球心到底面中心的距离、半径、顶点到底面中心的距离构造成直角三角形，利用勾股定理求半径正棱锥、正棱柱的外接球补形法因正方体、长方体的外接球半径易求得，故将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体，便可借助外接球为同一个的特点求解三条侧棱两两垂直的三棱锥，从正方体或长方体的八个顶点中选取点作为顶点组成的三棱锥、四棱锥等平面图形的翻折问题必备知识将平面图形沿其中一条或几条线段折起，使其成为空间图形，把这类问题称为平面图形的翻折问题平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生了变化，有的没有发生变化，弄清它们是解决问题的关键一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值，这是化解翻折问题难点的主要方法题组练透1(2017南通三模)已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高为_解析：因为圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，所以圆锥的母线长l3，设圆锥的底面半径为r，则底面周长2r3，所以r1，所以圆锥的高为2.答案：22(2017南京考前模拟)如图，正abc的边长为2，cd是ab边上的高，e，f分别为边ac与bc的中点，现将abc沿cd翻折，使平面adc平面dcb，则棱锥edfc的体积为_ 解析：sdfcsabc，e到平面dfc的距离h等于ad.vedfcsdfch.答案：3.(2017全国卷)如图，圆形纸片的圆心为o，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形abc的中心为o.d，e，f为圆o上的点，dbc，eca，fab分别是以bc，ca，ab为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以bc，ca，ab为折痕折起dbc，eca，fab，使得d，e，f重合，得到三棱锥当abc的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为_解析：法一：由题意可知，折起后所得三棱锥为正三棱锥，当abc的边长变化时，设abc的边长为a(a0)cm，则abc的面积为a2，dbc的高为5a，则正三棱锥的高为，25a0，0a0，即x42x30，得0x2，则当x时，f(x)f(2)80，v4.所求三棱锥的体积的最大值为4.答案：4方法归纳解决翻折问题需要把握的两个关键点(1)解决与翻折有关的问题的关键是搞清翻折前后的变化量和不变量一般情况下，折线同一侧的，线段的长度是不变量，位置关系可能会发生变化，抓住两个“不变性”与折线垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变；与折线平行的线段，翻折前后平行关系不改变(2)解决问题时，要综合考虑翻折前后的图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折前的图形课时达标训练1已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，点e是棱b1b的中点，则三棱锥b1ade的体积为_解析：vb1adevdaeb1saeb1da11.答案：2若两球表面积之比是49，则其体积之比为_解析：设两球半径分别为r1，r2，因为4r4r49，所以r1r223，所以两球体积之比为rr33827.答案：8273(2017天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_解析：设正方体的棱长为a，则6a218，得a，设该正方体外接球的半径为r，则2ra3，得r，所以该球的体积为r3.答案：4已知圆锥的母线长为10 cm，侧面积为60 cm2，则此圆锥的体积为_cm3.解析：设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l，则侧面积为rl10r60，解得r6，则圆锥的高h8，则此圆锥的体积为r2h36896.答案：965(2017扬州期末)若正四棱锥的底面边长为2(单位：cm)，侧面积为8(单位：cm2)，则它的体积为_(单位：cm3)解析：因为正四棱锥的底面边长为2，侧面积为8，所以底面周长c8，ch8，所以斜高h2，正四棱锥的高为h，所以正四棱锥的体积为22.答案：6设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为v1，s1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为v2，s2，若，则的值为_解析：由题意知，v1a3，s16a2，v2r3，s2r2，由得，得ar，从而.答案：7.(2017苏北三市三模)如图，在正三棱柱abca1b1c1中，已知abaa13，点p在棱cc1上，则三棱锥paba1的体积为_解析：三棱锥的底面积saba133，点p到底面的距离为abc的高h，故三棱锥的体积vpaba1saba1h.答案：8(2017无锡期末)已知圆锥的侧面展开图为一个圆心角为，且面积为3的扇形，则该圆锥的体积等于_解析：设圆锥的母线为l，底面半径为r，因为3l2，所以l3，所以r33，所以r1，所以圆锥的高是2，所以圆锥的体积是122.答案：9(2017徐州古邳中学摸底)表面积为24的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为_解析：设圆柱的高为h，底面半径为r，则圆柱的表面积s2r22rh24，即r2rh12，得rh12r2，vr2hr(12r2)(12rr3)，令v(123r2)0，得r2，函数vr2h在区间(0,2上单调递增，在区间2，)上单调递减，r2时，v最大，此时2h1248，即h4，.答案：10三棱锥pabc中，pa平面abc，acbc，acbc1，pa，则该三棱锥外接球的表面积为_解析：把三棱锥pabc看作由平面截一个长、宽、高分别为1、1、的长方体所得的一部分(如图).易知该三棱锥的外接球就是对应长方体的外接球又长方体的体对角线长为，故外接球半径为，表面积为425.答案：511已知正三棱锥pabc的体积为，底面边长为2，则侧棱pa的长为_解析：设底面正三角形abc的中心为o，又底面边长为2，故oa，由vpabcposabc，得po22，po，所以pa2.答案：212(2017苏州期末)一个长方体的三条棱长分别为3,8,9，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为_解析：圆柱两底面积等于圆柱的侧面积孔的打法有三种，所以有三种情况：孔高为3，则2r22r3，解得r3；孔高为8，则r8；孔高为9，则r9.而实际情况是，当r8，r9时，因为长方体有个棱长为3，所以受限制不能打，所以只有符合答案：313.如图所示，在体积为9的长方体abcda1b1c1d1中，对角线b1d与平面a1bc1交于点e，则四棱锥ea1b1c1d1的体积v_.解析：连结b1d1交a1c1于点f，连结bd，bf，则平面a1bc1平面bdd1b1bf，因为e平面a1bc1，e平面bdd1b1，所以ebf.因为f是a1c1的中点，所以bf是中线，又b1f綊bd，所以，故点e到平面a1b1c1d1的距离是bb1的，所以四棱锥ea1b1c1d1的体积vs四边形a1b1c1d1bb1v长方体abcda1b1c1d11.答案：114半径为2的球o中有一内接正四棱柱(底面是正方形，侧棱垂直底面)当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是_解析：依题意，设球的内接正四棱柱的底面边长为a、高为h，则有162a2h22ah，即4ah16，该正四棱柱的侧面积s4ah16，当且仅当ha2时取等号因此，当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是4221616()答案：16()1已知三棱锥sabc所在顶点都在球o的球面上，且sc平面abc，若scabac1，bac120，则球o的表面积为_解析：abac1，bac120，bc，三角形abc的外接圆直径2r2，r1.sc平面abc，sc1，该三棱锥的外接球半径r，球o的表面积s4r25.答案：52.(2017南京三模)如图，在直三棱柱abca1b1c1中，ab1，bc2，bb13，abc90，点d为侧棱bb1上的动点当addc1最小时，三棱锥dabc1的体积为_解析：在直三棱柱abca1b1c1中，bb1平面abc，所以bb1ab，又因为abc90，即bcab，又bcbb1b，所以ab平面bb1c1c, 因为ab1，bc2，点d为侧棱bb1上的动点，所以侧面展开，当addc1最小时，bd1，所以sbdc1bdb1c11，所以三棱锥dabc1的体积为sbdc1ab.答案：3设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是_解析：如图所示，ab，cda，设点e为ab的中点，则edab，ecab，则ed，同理ec.由构成三角形的条件知0aedec，所以0a.答案：(0，)4.如图，已知ab为圆o的直径，c为圆上一动点，pa圆o所在的平面，且paab2，过点a作平面pb，分别交pb，pc于e，f，当三棱锥paef的体积最大时，tanbac_.解析：pb平面aef，afpb.又acbc，apbc，bc平面pac，afbc，af平面pbc，afe90.设bac，在rtpac中，af，在rtpab中，aepe，ef，vpaefafefpeaf，当af1时，vpaef取得最大值，此时af1，cos ，sin ，tan .答案：第2课时平行与垂直(能力课)常考题型突破线线、线面位置关系的证明例1(2017江苏高考)如图，在三棱锥abcd中，abad，bcbd，平面abd平面bcd，点e，f(e与a，d不重合)分别在棱ad，bd上，且efad.求证：(1)ef平面abc；(2)adac.证明(1)在平面abd内，因为abad，efad，所以efab.又因为ef平面abc，ab平面abc，所以ef平面abc.(2)因为平面abd平面bcd，平面abd平面bcdbd，bc平面bcd，bcbd，所以bc平面abd.因为ad平面abd，所以bcad.又abad，bcabb，ab平面abc，bc平面abc，所以ad平面abc.又因为ac平面abc，所以adac.方法归纳立体几何证明问题的注意点 (1)证明立体几何问题的主要方法是定理法，解题时必须按照定理成立的条件进行推理如线面平行的判定定理中要求其中一条直线在平面内，另一条直线必须说明它在平面外；线面垂直的判定定理中要求平面内的两条直线必须是相交直线等，如果定理的条件不完整，则结论不一定正确(2)证明立体几何问题，要紧密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要多画出一些图形辅助使用变式训练1(2017苏锡常镇一模)如图，在斜三棱柱abca1b1c1中，侧面aa1c1c是菱形，ac1与a1c交于点o，e是棱ab上一点，且oe平面bcc1b1.(1)求证：e是ab的中点；(2)若ac1a1b，求证：ac1bc.证明：(1)连结bc1，因为oe平面bcc1b1，oe平面abc1，平面bcc1b1平面abc1bc1，所以oebc1 . 因为侧面aa1c1c是菱形，ac1a1co，所以o是ac1中点， 所以1，e是ab的中点. (2)因为侧面aa1c1c是菱形，所以ac1a1c, 又ac1a1b，a1ca1ba1，a1c平面a1bc，a1b平面a1bc，所以ac1平面a1bc, 因为bc平面a1bc，所以ac1bc.2(2017苏州模拟)在如图所示的空间几何体abcdpe中，底面abcd是边长为4的正方形，pa平面abcd，paeb，且paad4，eb2.(1)若点q是pd的中点，求证：aq平面pcd；(2)证明：bd平面pec.证明：(1)因为paad，q是pd的中点，所以aqpd.又pa平面abcd，所以cdpa.又cdda，padaa，所以cd平面adp.又因为aq平面adp，所以cdaq，又pdcdd，所以aq平面pcd.(2)取pc的中点m，连结ac交bd于点n，连结mn，me，在pac中，易知mnpa，mnpa，又paeb，ebpa，所以mneb，mneb，所以四边形bemn是平行四边形，所以embn.又em平面pec，bn平面pec，所以bn平面pec，即bd平面pec.两平面之间位置关系的证明例2(2017南京模拟)如图，直线pa垂直于圆o所在的平面，abc内接于圆o，且ab为圆o的直径，m为线段pb的中点，n为线段bc的中点求证：(1)平面mon平面pac；(2)平面pbc平面mon.证明(1)因为m，o，n分别是pb，ab，bc的中点，所以mopa，noac，又monoo，paaca，所以平面mon平面pac.(2)因为pa平面abc，bc平面abc，所以pabc.由(1)知，mopa，所以mobc.连结oc，则ocob，因为n为bc的中点，所以onbc.又moono，mo平面mon，on平面mon，所以bc平面mon.又bc平面pbc，所以平面pbc平面mon.方法归纳1.证明面面平行依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行.2.证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中线、高线或添加辅助线解决.变式训练1(2017无锡期末)在四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，ap平面pcd，e，f分别为pc，ab的中点求证：(1)平面pad平面abcd；(2)ef平面pad. 证明：(1)因为ap平面pcd，cd平面pcd，所以apcd，因为四边形abcd为矩形，所以adcd, 又因为apada，ap平面pad，ad平面pad，所以cd平面pad，因为cd平面abcd，所以平面pad平面abcd.(2)连结ac，bd交于点o，连结oe，of，因为四边形abcd为矩形，所以o点为ac的中点，因为e为pc的中点，所以oepa，因为oe平面pad，pa平面pad，所以oe平面pad, 同理可得：of平面pad，又因为oeofo，所以平面oef平面pad, 因为ef平面oef，所以ef平面pad.2.(2016江苏高考)如图，在直三棱柱abca1b1c1中，d，e分别为ab，bc的中点，点f在侧棱b1b上，且b1da1f，a1c1a1b1.求证：(1)直线de平面a1c1f；(2)平面b1de平面a1c1f.证明：(1)在直三棱柱abca1b1c1中，a1c1ac.在abc中，因为d，e分别为ab，bc的中点，所以deac，于是dea1c1.又因为de平面a1c1f，a1c1平面a1c1f，所以直线de平面a1c1f.(2)在直三棱柱abca1b1c1中，a1a平面a1b1c1.因为a1c1平面a1b1c1，所以a1aa1c1.又因为a1c1a1b1，a1a平面abb1a1，a1b1平面abb1a1，a1aa1b1a1，所以a1c1平面abb1a1.因为b1d平面abb1a1，所以a1c1b1d.又因为b1da1f，a1c1平面a1c1f，a1f平面a1c1f，a1c1a1fa1，所以b1d平面a1c1f.因为直线b1d平面b1de，所以平面b1de平面a1c1f.空间线面位置关系的综合问题例3(2017苏北三市模拟)如图，ab为圆o的直径，点e，f在圆o上，且abef，矩形abcd所在的平面和圆o所在的平面互相垂直(1)求证：平面afc平面cbf.(2)在线段cf上是否存在一点m，使得om平面adf？并说明理由解(1)证明：平面abcd平面abef，cbab，平面abcd平面abefab，cb平面abef.af平面abef，afcb.又ab为圆o的直径，afbf.又bfcbb，af平面cbf.af平面afc，平面afc平面cbf.(2)当m为cf的中点时，om平面adf.证明如下：取cf中点m，设df的中点为n，连结an，mn，则mn綊cd，又ao綊cd，则mn綊ao，四边形mnao为平行四边形，oman，又an平面daf，om平面daf，om平面daf.方法归纳与平行、垂直有关的存在性问题的解题步骤变式训练1.如图，四边形abcd是矩形，平面abcd平面bce，beec.(1)求证：平面aec平面abe；(2)点f在be上，若de平面acf，求的值解：(1)证明：四边形abcd为矩形，abbc，平面abcd平面bce，ab平面bce，ceab.又cebe，abbeb，ce平面abe，又ce平面aec，平面aec平面abe.(2)连结bd交ac于点o，连结of.de平面acf，de平面bde，平面acf平面bdeof.deof，又在矩形abcd中，o为bd中点，f为be中点，即.2如图，在矩形abcd中，e，f分别为bc，da的中点将矩形abcd沿线段ef折起，使得dfa60.设g为af上的点(1)试确定点g的位置，使得cf平面bdg；(2)在(1)的条件下，证明：dgae.解：(1)当点g为af的中点时，cf平面bdg.证明如下：因为e，f分别为bc，da的中点，所以efabcd.连结ac交bd于点o，连结og，则aoco.又g为af的中点，所以cfog.因为cf平面bdg，og平面bdg.所以cf平面bdg.(2)因为e，f分别为bc，da的中点，所以effd，effa.又fdfaf，所以ef平面adf，因为dg平面adf，所以efdg.因为fdfa，dfa60，所以adf是等边三角形，dgaf，又afeff，所以dg平面abef.因为ae平面abef，所以dgae.课时达标训练1.如图，在三棱锥vabc中，o，m分别为ab，va的中点，平面vab平面abc，vab是边长为2的等边三角形，acbc且acbc.(1)求证：vb平面moc；(2)求线段vc的长解：(1)证明：因为点o，m分别为ab，va的中点，所以movb.又mo平面moc，vb平面moc，所以vb平面moc.(2)因为acbc，o为ab的中点，acbc，ab2，所以ocab，且co1.连结vo，因为vab是边长为2的等边三角形，所以vo.又平面vab平面abc，ocab，平面vab平面abcab，oc平面abc，所以oc平面vab，所以ocvo，所以vc2.2.(2017南通二调)如图，在直三棱柱abca1b1c1中，acbc，a1b与ab1交于点d，a1c与ac1交于点e. 求证：(1)de平面b1bcc1；(2)平面a1bc平面a1acc1.证明：(1)在直三棱柱abca1b1c1中，四边形a1acc1为平行四边形又e为a1c与ac1的交点， 所以e为a1c的中点. 同理，d为a1b的中点，所以debc. 又bc平面b1bcc1，de平面b1bcc1，所以de平面b1bcc1. (2)在直三棱柱abca1b1c1中，aa1平面abc，又bc平面abc，所以aa1bc.又acbc，acaa1a，ac平面a1acc1，aa1平面a1acc1，所以bc平面a1acc1.因为bc平面a1bc，所以平面a1bc平面a1acc1.3.(2017南京三模)如图，在三棱锥abcd中，e，f分别为棱bc，cd上的点，且bd平面aef.(1)求证：ef平面abd；(2)若bdcd，ae平面bcd，求证：平面aef平面acd.证明：(1)因为bd平面aef，bd平面bcd，平面aef平面bcdef，所以 bdef.因为bd平面abd，ef平面abd，所以 ef平面abd.(2)因为ae平面bcd，cd平面bcd，所以aecd.因为bdcd，bdef，所以 cdef，又aeefe，ae平面aef，ef平面aef，所以cd平面aef.又cd平面acd，所以平面aef平面acd.4.在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，