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数学毕业论文-求函数极限的若干方法 江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文求函数极限的若干方法The Methods of Functional Limit姓 名 学 号 090003 学 院数学与信息科学学院 专 业数学与应用数学 指导老师 讲师 完成时间72013年4月19日 求函数极限的若干方法摘要在数学分析中极限思想贯穿于始末求极限的方法也显得至关重要极限包括数列的极限与函数的极限两类极限的本质上是相同的其中数列极限是函数极限的特例因此本文只就函数极限进行讨结合例题本文阐述了求函数极限的十三种方法包括利用无穷小量洛必达法则泰勒公式中值定理等求极限关键词函数极限 洛必达法则 泰勒公式 中值定理 The Methods of Functional LimitAbstractIn the mathematical analysis the limit idea runs through the whole story The methods of the limit are crucial Limit includes the sequence limit and functional limit Essence of the two kinds of limit is the same and the sequence limit is a special case of functional limit therefore this paper only discusses the functional limit With the examples this paper discusses thirteen methods of functional limit including the use of infinitesimal L Hospital Rule Taylor formula the mean value theorem and so onKey wordsfunctional limit LHospital Rule Taylor formula the mean value theorem目 录1 引言12 函数极限的定义及作用13 函数极限的计算及多种求法231利用左右极限求极限232 利用极限运算法则求极限333 利用初等变形求函数极限3com 约分法3com 有理化法4com高次幂法434 利用迫敛性求函数极限535 利用两个重要极限公式求函数极限536 利用变量替换求函数极限7com价无穷小量替换来求极限7com 利用其他替换来求极限837 利用无穷小量的性质求函数极限838 利用初等函数的连续性质求函数极限939利用导数的定义求函数极限9310 利用洛必达法则求函数极限10com 型不定式极限10com 型不定式极限11com 其它类型不定式极限12311幂指函数求函数极限13com 的极限均为有限常数即型的极限求法13com 型未定式极限问题13312利用泰勒公式求函数极限14313 利用中值定理求函数极限16参考文献171 引言 数学分析的主要任务是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算主要内容是微积分在微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的可以说没有极限理论就没有微积分众所周知常见的求极限的方法包含四则运算夹逼准则无穷小量重要极限公式洛必达法则等但实际在求极限时并不是依靠单一方法而是把多种方法加以综合运用对函数极限求解方法的讨论是本文的核心点本文给出了十三种求极限的方法每种方法都是以定理或简述开头然后以例题来全面展示具体的求法下面就根据函数的特点分类进行讨论2 函数极限的定义及作用 定义1设函数在点的某空心邻域内有定义为定数若对任给的存在正数使得当时有 则称函数当时以为极限记作 或 定义2设为定义在上的函数为定数若对任给的存在正数使得当时有 则称函数当趋于时以为极限记作 或 对于其他形式函数极限的定义我就用-语言描述定义 A 当- x- 0时fxA A 当0 x- 时fx- A 当x M时fx- A 当x -M时fx- A 在数学分析中我们经常用函数极限的定义来证明极限存在问题 例1 用极限定义证明 1 证 由 取 则当0 x-2 时就有 由函数极限-定义有 13 函数极限的计算及多种求法极限一直是数学分析中一个重要的内容并且函数极限运算是数学分析的一个重要的基本运算极限的求法也是多种多样的本文通过归纳总结出一些极限的计算方法31利用左右极限求极限定理1函数极限f存在且等于A的充分必要条件是左极限f 及右极限f都存在且都等于A即有 Af f A 此类方法多用于求分段函数极限问题 例2 求在的极限 解 32 利用极限运算法则求极限 这是求极限的基本方法主要应用函数的和差积商的极限法则及若干基本函数的极限结果进行极限的计算为此有时往往要对函数作一些变形定理2若 f x A gx B1f x g x f x g x AB 2 f x g x f x g x AB 3 若B0 则 4 Cf x Cf x CA C为常数上述性质对于-时也同样成立例 例3 求 解 33 利用初等变形求函数极限在求函数极限时利用简单的初等变形可使极限易于计算初等变形的方法有约分法有理化比较最高次幂法等 com 约分法适用于计算型函数极限如果所求函数的分子分母都是整式且有公因子特别是零因子时可通过约简式计算极限值例4 计算的值为正整数 解 原式 注意 要首先将分子分母因式分解找到公因子特别是零因子接着即可约去公因子再求函数极限com 有理化法 在求解存在根号的函数极限时通过选择分子或分母或分子分母同时有理化约去零因子即可转化为一般的极限问题例5 其中 解 原式 注意 此题是通过分子有理化来简化运算在具体解题时根据简便原则进行选择何种方式的有理化com高次幂法此方法是指除以分子分母的最高次幂来计算函数极限例6 设 求解 因为 则 34 利用迫敛性求函数极限定理3迫敛性设且在某内有则 做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数并且所找出的两个函数必须要收敛于同一个极限例7 求的极限解 且由迫敛性知 135 利用两个重要极限公式求函数极限两个重要极限是和第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限一般常用的方法是换元法和配指数法 例8 求 解 例9 求解 注意 以后还会用到的另一种极限形式事实上令则所以例10 求极限解 36 利用变量替换求函数极限 为了将未知的极限化简或转化为已知的极限可根据极限式的特点适当引入新变量以替换原有的变量使原来的极限过程转化为新的极限过程最常用的方法就是等价无穷小的替换当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时可采用换元的方法加以变形使之简化易求com价无穷小量替换来求极限 定义3所谓等价无穷小量即称与是时的等价无穷小量记作 定理4设函数在内有定义且有1若则2若则 由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限 例11 求的极限 解 由 而 故有注1 由上例可以看出欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的等价无穷小量 注2 在利用等价无穷小代换求极限时应该注意只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换如上式中若因有而推出的则得到的结果是错误的 小结 在求解极限的时候要特别注意无穷小等价替换无穷小等价替换可以很好的简化解题com 利用其他替换来求极限 利用变量替换进行极限计算要灵活多变 例12 求 解 令 则 37 利用无穷小量的性质求函数极限 性质1无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量 性质2无穷小量与无穷大量的关系若在自变量的同一变化过程中f x 为无穷小量且f x 0则为无穷大量反之亦然例13 求 解 因为例14 求解 因为-4 05x 10所以我们可以求出 0 这就是说当x2时为无穷小量由于恒不为零的无穷小量的倒数是无穷大量所以为x2时的无穷大量即 注意 1无穷多个无穷小量之和不一定是无穷小量例如当x是无穷小量2x个这种无穷小之和的极限显然为2 2无穷多个无穷小量之积也不一定是无穷小量 3无穷大量乘以有界量不一定是无穷大量例如当 x时是无穷大量是有界量显然1 38 利用初等函数的连续性质求函数极限 这种方法适用于求函数在连续点处的极限 利用初等函数的连续性求极限主要应用下列结果若f x 在处连续则 f x f 若x Ay f u 在u A处连续则f x f A 若f x A 0 g x B则 例15 求7x-6 解 因为y 7x-6是初等函数在定义域内是连续的所以在x 1处也连续根据连续的定义极限值等于函数值所以7x-6 7-6 039利用导数的定义求函数极限 定义4导数的定义函数在附近有定义若极限存在则称函数在点处可导并称该极限为函数在点处的导数记为在这种方法的运用过程中首先要选好然后把所求极限表示成在定点的导数 例16 求 解 取则 310 利用洛必达法则求函数极限以导数为工具研究不定式极限的方法称为洛比达法则利用洛必达法则求极限由于分类明确规律性强且可连续进行运算可以简化一些较复杂的函数求极限的过程但运用时需注意条件com 型不定式极限 定理6若函数和满足 在点的某空心邻域内两者都可导且 为实数也可为或 则 注意 若将定理中换成只要相应地修正条件中的邻域也可得到同样的结论例17 求 解 容易检验与在的邻域里满足定理的条 故由洛必达法则求得在利用洛必达法则求极限时为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便可用适当的代换例18 求 解 这是型不定式极限可直接运用洛必达法则求解但是比较麻烦如作适当的变换计算上就会更方便些故令当时有于是有com 型不定式极限若满足如下定理的条件即可由如下定理计算出其极限 定理7若函数和函数满足在点的某空心邻域内两者都可导且为实数也可为或则 注意若将定理中换成只要相应地修正条 件中的邻域也可得到同样的结论 例19 求 解 由定理 得com 其它类型不定式极限 不定式极限还有等类型这些类型经过简单的变换都可以化为型和型的不定式极限 例20 求 解 这是一个型的不定式极限作恒等变形 将它转化为型的不定极限并用洛必达法则得到 例21 求 解 这是一个型的不定式极限作恒等变形 所以 例22 求为常数 解 这是一个型的不定式极限按上例变形的方法先求型的极限然后得到 例23 求 解 这是一个型的不定式极限类似地先求其对数的极限型注意 运用洛比达法则应注意以下几点1要注意条件也即是说在没有化为时不可求导2应用洛必达法则要分别的求分子分母的导数而不是求整个分式的导数3要及时化简极限符号后面的分式在化简以后检查是否仍是未定式若遇到不是未定式应立即停止使用洛必达法则否则会引起错误311幂指函数求函数极限 一般来说幂指函数是形如的函数幂指函数求极限在数学分析中比较常见由于幂指函数兼具幂函数和指数函数的特点对幂指函数求极限又显得比较困难下面我介绍两种常用方法 com 的极限均为有限常数即型的极限求法 命题1 且A和B为有限数A 0则有 例24 求极限 解 因为 由上述定理得 com 型未定式极限问题 命题2 设有连续函数和在自变量的某个变化过程中则 例25 求极限 解 注 对于型未定式的极限用可通过将幂指函数化为对数恒等式的形式转换为型或型不定式然后再利用洛必达法则进行求解 例26 求极限 解 令则当时那么312利用泰勒公式求函数极限 定义51 若函数在阶导数则有 - - 1 这里-为佩亚诺型余项称 1 为函数在点的泰勒公式当 0时1式变为 称此式为 带有佩亚诺余项的 麦克劳林公式常见函数的麦克劳林公式为了简化极限运算有时可用某项的泰勒公式来代替该项使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限就能简洁地求出函数极限例27 求 解 本题可用洛比达法则来求解但是运算过程比较繁琐在这里可用泰勒公式求解考虑到极限式的分母为我们用麦克劳林公式表示极限的分子 因而求得313 利用中值定理求函数极限 定理8 拉格朗日微分中值定理 若函数满足 1 在上连续 2 在可导则在内至少存在一点使 例28 求 解 由 定理9 积分中值定理 设函数在闭区间上连续则至少存在使得 例29 求 解 由积分中值定理所以 以上方法是在数学分析求解极限的重要方法在做求解极限的题目时仅仅掌握以上方法的而不能够透彻清晰地明白以上各方法所需的条件也是不够的必须要细心分析仔细甄选选择出适当的方法这样不仅准确率更高而且会省去许多不必要的麻烦起到事半功倍的效果这就要求学习者要吃透其精髓明了其道理体会出做题的窍门达到这样的境界非一日之功必须要多做题善于总结日积月累定会熟能生巧在做题时得心应手 从上述的介绍中可以看出求极限的方法不拘一格 我们应具体问题具体分析不能机械地用某种方法对具体题目要注意观察有时解题可多种方法混合使用要学会灵活运用参考文献1华东师范大学数学系数学分析上册M北京高等教育出版社2006 2刘玉琏数学分析 上册