（江苏专用）2018年高考数学总复习 专题10.3 抛物线试题（含解析）.doc

专题10.3 抛物线【三年高考】1. 【2017课标1理10改编】已知f为抛物线c：y2=4x的焦点，过f作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与c交于a、b两点，直线l2与c交于d、e两点，则|ab|+|de|的最小值为 .【答案】16【考点】抛物线的简单性质【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式、韦达定理是通法，需要重点掌握.考查到最值问题时要能想到用函数方法进行解决和基本不等式.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以2. 【2017课标ii，理16】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点。若为的中点，则 。【答案】6【解析】试题分析：如图所示，不妨设点m位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，做与点，与点，【考点】抛物线的定义；梯形中位线在解析几何中的应用。【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化。如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题。因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化。3【2017课标3，理20】已知抛物线c：y2=2x，过点（2,0）的直线l交c与a,b两点，圆m是以线段ab为直径的圆.（1）证明：坐标原点o在圆m上；（2）设圆m过点，求直线l与圆m的方程.【答案】(1)证明略；(2)直线 的方程为 ，圆 的方程为 .或直线 的方程为 ，圆 的方程为 .【解析】所以 ，解得 或 .当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，圆 的方程为 .当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，圆 的方程为 .【考点】 直线与抛物线的位置关系；圆的方程【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证0或说明中点在曲线内部.4【2017天津，理19】设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.（i）求椭圆的方程和抛物线的方程；（ii）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.【答案】 （1）， .（2），或.【解析】（）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.由点异于点，可得点.由，可得直线的方程为，令，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以.所以，直线的方程为，或.【考点】直线与椭圆综合问题【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键. 5【2017北京，理18】已知抛物线c：y2=2px过点p（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线c交于不同的两点m，n，过点m作x轴的垂线分别与直线op，on交于点a，b，其中o为原点.（）求抛物线c的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（）求证：a为线段bm的中点.【答案】（）方程为，抛物线c的焦点坐标为（，0），准线方程为.（）详见解析.【解析】试题分析：（）代入点求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（）设直线l的方程为（），与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，直线on的方程为，联立求得点 的坐标，证明.【考点】1.抛物线方程；2.直线与抛物线的位置关系【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转换与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.6.【2017浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线，点a，抛物线上的点过点b作直线ap的垂线，垂足为q（）求直线ap斜率的取值范围；（）求的最大值【答案】（）；（）【解析】试题解析：（）设直线ap的斜率为k，则，直线ap斜率的取值范围是（）联立直线ap与bq的方程解得点q的横坐标是，因为|pa|=|pq|= ，所以|pa|pq|=令，因为，所以 f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k=时，取得最大值【考点】直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达与的长度，通过函数求解的最大值7. 【2016年高考四川理数改编】设o为坐标原点，p是以f为焦点的抛物线 上任意一点，m是线段pf上的点，且=2,则直线om的斜率的最大值为【答案】【解析】试题分析：设（不妨设），则由已知得，考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点的坐标，利用向量法求出点的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把斜率用参数表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值8【2016高考浙江理数】若抛物线y2=4x上的点m到焦点的距离为10，则m到y轴的距离是_【答案】【解析】试题分析：考点：抛物线的定义【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到轴的距离9【2016高考新课标1卷改编】以抛物线c的顶点为圆心的圆交c于a、b两点,交c的准线于d、e两点.已知|ab|=,|de|=,则c的焦点到准线的距离为【答案】4考点：抛物线的性质.【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.10【2016高考天津理数】设抛物线，（t为参数，p0）的焦点为f，准线为l.过抛物线上一点a作l的垂线，垂足为b.设c（p,0），af与bc相交于点e.若|cf|=2|af|，且ace的面积为，则p的值为_.【答案】【解析】试题分析：抛物线的普通方程为，又，则，由抛物线的定义得，所以，则，由得，即，所以，所以，考点：抛物线定义【名师点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理2若p(x0，y0)为抛物线y22px(p0)上一点，由定义易得|pf|x0；若过焦点的弦ab的端点坐标为a(x1，y1)，b(x2，y2)，则弦长为|ab|x1x2p，x1x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到11【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是_.【答案】【解析】.12.【2015高考上海，理5】抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为，则 【答案】【解析】因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即 【2018年高考命题预测】纵观2017各地高考试题，看出，一方面以选择题、填空题的形式考查抛物线的定义、标准方程及简单几何性质等基础知识，另一方面以解答题的形式考查抛物线的概念和性质、直线与抛物线的位置关系的综合问题，着力于数学思想方法及数学语言的考查，题目的运算量一般不是很大，属于中档题，分值为5分2018年对本节内容的考查仍将以求抛物线的方程和研究抛物线的性质为主，三种题型均有可能，与向量等知识综合命题的趋势较强，分值最多为5分，故在备考时应加强对概念和性质的理解和掌握，能够根据抛物线的标准方程得出几何性质. 【2018年高考考点定位】高考对抛物线的考查有三种主要形式：一是考查抛物线的定义；二是考查抛物线的标准方程与几何性质；三是考查直线与抛物线的位置关系，从涉及的知识上讲，常平面向量、函数、方程、不等式等知识相联系，试题多为容易题和中档题.【考点1】抛物线的定义【备考知识梳理】1.抛物线定义：平面内与一个定点f和一条定直线l(定点f不在定直线l上)的距离的比等于1的点的轨迹叫做抛物线，点f叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.【规律方法技巧】1. 抛物线的定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点m；一个定点f(抛物线的焦点)；一条定直线l(抛物线的准线)；一个定值1(点m与定点f的距离和它到定直线l的距离之比等于1)2. 常常利用抛物线的定义将抛物线上一点到焦点的焦半径问题与焦点到准线的距离问题互相转化.【考点针对训练】1.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于，两点（点在轴上方）， 【答案】3【解析】由题可知，设，于是根据抛物线的简单性质有，又因为，可得，于是.2.已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个焦点，若，则=_.【答案】3【解析】如图所示，因为，故，过点作，垂足为m，则轴，所以，所以，由抛物线定义知，【考点2】抛物线的标准方程与几何性质【备考知识梳理】1. 抛物线的标准方程与几何性质焦点在正半轴上焦点在负半轴上焦点在正半轴上焦点在正半轴上标准方程（）（）（）（）图形性质顶点（0,0）对称轴轴轴焦点（，0）（-，0）（0，）（0，-）准线=-=-=范围0，r0，r0，r0，r离心率=1【规律方法技巧】1.的几何意义：是焦点到准线的距离，故恒为正.2.焦点在轴上的抛物线的标准方程可以统一写成；焦点在轴上的抛物线的标准方程可以统一写成.3.焦点的非零坐标是一次项系数的，准线方程中的常数为一次项系数的-.4.求抛物线的标准方程（1）定义法：若某曲线（或轨迹）上任意一点到定点的距离与到定直线的距离相等，符合抛物线的定义，该曲线是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线，从而求出定点到定直线的距离即为，写出抛物线的标准方程，（2）待定系数法，用待定系数法求抛物线标准方程分三步：判定是否在原点；确定焦点在哪个半轴上，确定标准方程类型；根据条件列出关于的方程，解出值，即可写出标准方程.5.抛物线（）上点的坐标可设为（），在计算时，可以降低计算量.【考点针对训练】1.已知点，抛物线（）的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，若则的值等于_.【答案】4【解析】，2.已知点 f 是抛物线 y 2 = 4x的焦点，m、n 是该抛物线上两点，| mf | + | nf | = 6，则 mn中点的横坐标为_.【答案】2【解析】由抛物线定义| mf | + | nf | =6，所以mn中点的横坐标为【考点3】直线与抛物线的位置关系【备考知识梳理】设双曲线的方程为（），直线，将直线方程与抛物线方程联立，消去y得到关于x的方程.(1) 若0，当0时，直线与抛物线有两个交点.当=0时，直线与抛物线有且只有一个公共点，此时直线与抛物线相切. 当0时，直线与抛物线无公共点.（2）当=0时，直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛物线的对称轴平行.【规律方法技巧】1.已知抛物线y22px(p0)，过其焦点的直线交抛物线于a、b两点(如右图所示)，设a(x1，y1)，b(x2，y2)则有以下结论：(1)|ab|x1x2p，或|ab|(为ab所在直线的倾斜角)；(2)x1x2；(3)y1y2p2.（4）以ab为直径的圆与抛物线的准线相切.2.过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p. 3. 直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，则一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，常设出交点坐标，用根与系数关系将横坐标之和与之积表示出来，这是进一步解题的基础4直线ykxb(k0)与圆锥曲线相交于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，则弦长|ab| |x1x2| |y1y2|.5对中点弦问题常用点差法和参数法.【考点针对训练】1.已知抛物线y2 =8x的焦点为f，直线y=k（x+2）与抛物线交于a，b两点，则直线fa与直线fb的斜率之和为_.【答案】0【解析】由题可知，如图，设，联立，化为，由于，所以，因此，直线fa与直线fb的斜率之和为.2.已知抛物线：，圆：（其中为常数，）过点（1，0）的直线交圆于、d两点，交抛物线于、两点，且满足的直线只有三条的必要条件是_ 【答案】【解析】与抛物线交于，与圆交于，满足题设.设直线： （1）代入，得，把（1）代入得，设，即，即，即，即时，仅有三条.考查四个选项，只有中的区间包含了，即是直线仅有三条的必要条件 【两年模拟详解析】 1【2017届南京市、盐城市高三二模】在平面直角坐标系xoy中，抛物线y26x的焦点为f，准线为l，p为抛物线上一点，pal，a为垂足若直线af的斜率k，则线段pf的长为_【答案】6【解析】由抛物线方程为，所以焦点坐标，准线方程为，因为的斜率为，所以直线的方程为，当时， ，所以，因为为垂足，所以点p的纵坐标为，可得点的坐标为，根据抛物线的定义可知。2【广东省惠东县惠东高级中学2018届高三适应性考试数学（文）】在平面直角坐标系xoy中,双曲线的右支与焦点为f的抛物线交于a,b两点,若|af|+|bf|=4|of|,则该双曲线的渐近线方程为_.【答案】3【南通市2017届高三三调】在平面直角坐标系xoy中，若双曲线x2a2-y2=1（a0）经过抛物线y2=8x的焦点，则该双曲线的离心率是_【答案】52【解析】抛物线的焦点为：（2,0）所以双曲线的a=2，又b=1，故离心率为：e=ca=524【山东省淄博市2017届高三第二次模拟考试数学（理）】如图，抛物线y2=4x的一条弦ab经过焦点f，取线段ob的中点d，延长oa至点c，使|oa|=|ac|，过点c，d作y轴的垂线，垂足分别为e,g，则|eg|的最小值为_【答案】4【解析】试题分析：解：设点a,b 的坐标为：a(xa,ya),b(xb,yb) ，由题意可知：|eg|=|oe|+|og|=2|ya|+12|yb|2(2|ya|)(12|yb|)=2|yayb| ，由抛物线中定值的结论可知：yayb=-p2=-4 ，据此可知：eg4 ，当且仅当|yb|=4|ya| 时等号成立，即|eg| 的最小值为4.点睛：本题考查圆锥曲线中的定值问题，定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值双曲线的定值结论结合均值不等式是解决本问题的关键所在. 5【山西省孝义市2017届高三下学期考前热身训练（文）】已知一条抛物线的焦点是直线与轴的交点，若抛物线与直线交两点，且，则_【答案】【解析】直线与x轴的交点为，设抛物线方程为，直线方程为，设，联立直线与抛物线的方程可得： ，则： 。6【黑龙江省佳木斯市第一中学2017届高三下学期第三次模拟考试数学（文）】为抛物线上任意一点， 在轴上的射影为，点，则与长度之和的最小值为_【答案】7【辽宁省庄河市高级中学2017届高三第四次模拟】设抛物线 的焦点为，点在抛物线 上， ，若轴上存在点 ，使得，则的值为 _【答案】 和【解析】由题意可得：以mf为直径的圆过点(0,2)，设m(x,y),由抛物线性质|mf|=x+ =5,可得x=5，因为圆心是mf的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为，由已知圆半径也为,据此可知该圆与y轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则m点纵坐标为4，即m(5,4),代入抛物线方程得p210p+16=0，所以p=2或p=8.8【河北省衡水中学2017届高三下学期第三次摸底（文）】已知是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点， 是坐标原点，且满足，则的值为_【答案】【解析】因为，所以 因此，所以 因为 ，所以 ，因此 9【2017届江西省高三下学期调研考试（四）数学（文）】过抛物线y2=8x的焦点f作斜率为22的直线l交抛物线于a,b两点，则以ab为直径的圆的标准方程为_【答案】(x-52)2+(y-2)2=814【解析】设a(x1,y1),b(x2,y2),ab的中点m(x0,y0),由题知，直线l的方程为y=22(x-2),代入抛物线方程y2=8x整理得x2-5x+4=0,所以x0=x1+x22=52,所以y0=22(52-2)=2,|ab|=p+x1+x2=9,所以以ab为直径的圆的方程为(x-52)2+(y-2)2=814.10. 【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，若曲线经过点，则其焦点到准线的距离为 .【答案】【解析】由题意设抛物线方程为，又因为过点，则p=即为焦点到准线距离11【江苏省苏北三市2016届高三最后一次模拟考试】已知点为抛物线的焦点，该抛物线上位于第一象限的点到其准线的距