圣维南原理PPT课件.ppt

2 7圣维南原理 问题的提出 求解弹性力学问题时 使应力分量 形变分量 位移分量完全满足8个基本方程相对容易 但要使边界条件完全满足 往往很困难 如图所示 其力的作用点处的边界条件无法列写 1 静力等效的概念 两个力系 若它们的主矢量 主矩相等 则两个力系为静力等效力系 这种等效只是从平衡的观点而言的 对刚体来而言完全正确 但对变形体而言一般是不等效的 2 圣维南原理 Saint VenantPrinciple 原理 若把物体的一小部分边界上的面力 变换为分布不同但静力等效的面力 则近处的应力分布将有显著改变 而远处所受的影响可忽略不计 3 圣维南原理的应用 1 对复杂的力边界 用静力等效的分布面力代替 2 有些位移边界不易满足时 也可用静力等效的分布面力代替 注意事项 1 必须满足静力等效条件 2 只能在次要边界上用圣维南原理 在主要边界上不能使用 如 A B 例 图示矩形截面水坝 其右侧受静水压力 顶部受集中力作用 试写出水坝的应力边界条件 左侧面 代入应力边界条件公式 右侧面 代入应力边界条件公式 有 上端面 为次要边界 可由圣维南原理求解 y方向力等效 对O点的力矩等效 x方向力等效 注意 必须按正向假设 上端面 方法2 取图示微元体 可见 与前面结果相同 由微元体的平衡求得 2 8平面问题应力解法 上节回顾 应力解法 应力函数 上节回顾 基本方程 1 平衡方程 2 几何方程 3 物理方程 应变协调方程 数学意义 几何方程 3个应变分量通过2个位移分量描述力学意义 变形连续弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元体变形的约束 应变协调方程是变形连续的必要和充分条件 例设ex 3x ey 2y gxy xy ez gxz gyz 0 求其位移 解 显然该应变分量没有对应的位移 要使这一方程组不矛盾 则3个应变分量必须满足一定的条件 以下我们将着手建立这一条件 要使几何方程求解位移时方程组不矛盾 则3个应变分量必须满足一定的条件 从几何方程中消去位移分量 第一式和第二式分别对y和x求二阶偏导数 然后相加可得 11 变形协调方程的数学意义使2个位移为未知函数的3个几何方程不相矛盾 变形协调方程的物理意义物体变形后每一单元体都发生形状改变 如变形不满足一定的关系 变形后的单元体将不能重新组合成连续体 其间将产生缝隙或嵌入现象 为使变形后的物体保持连续体 应变分量必须满足一定的关系 弹性力学求解方法 应力解法 未知数3个 x y xy 须联立平衡方程与变形协调条件 以平面应力问题为例 将虎克定律代入应变协调条件得到 移项 展开 化简后 最后可得 利用平衡方程式消去上式的 1 2 平面应力情形控制方程 平面应变情形控制方程 当体力为常力 则式 1 和式 2 可写成 3 a 或用拉普拉斯算子写成 3 b 把平衡方程和应力表示的应变协调方程写在一起 有 4 应力边界条件 5 弹性力学解 弹性力学问题解 充分且必要条件 弹性力学问题解答 例如图所示薄片 周边作用有法向均布荷载q 不计体力 试证明下列一组应力分量是本问题的解答 解 分析 欲证明是否弹性力学解答 只需证明在弹性体内部满足式 4 在应力边界上能够满足式 5 代入应力边界条件 有 证毕 再考察边界条件 取边界上A点 有 2 应力函数 4 a 由第一式 引入函数A 使 b 2020 1 8 25 由第二式 引入函数B 使 c 再引入函数 使 d d 代入 b c 式 得到 e 如果考察体积力 且体积力为常量时 满足平衡方程还必须加上一组特解 即 f 最后得到构成满足满足平衡方程的通解为 6 式 6 等价于平衡方程 称为应力函数 将 6 式代入 4 的第三式 或写成 7 小结 应力边界条件 几点讨论 1 应力解答 x y xy在体积力为常量时与材料性质无关 分析 量纲为 N 在平面问题中 边界面力 NL 2 集中力 NL 1 弯矩 N 2 应力函数物理意义 3 应力函数求解方法 逆解法 半逆解法 1 按位移求解平面问题的基本方程 1 将平衡方程用位移表示 由应变表示的物理方程 2 19 2 9按位移求解平面问题 将几何方程代入 有 将式 a 代入平衡方程 化简有 2 20 a 2 将边界条件用位移表示 位移边界条件 应力边界条件 将式 a 代入 得 2 21 2 17 式 2 20 2 17 2 21 构成按位移求解问题的基本方程 说明 1 对平面应变问题 只需将式中的E 作相替换即可 2 一般不用于解析求解 作为数值求解的基本方程 本章小结 1 两类平面问题 平面应力问题 平面应变问题 两类平面问题中基本方程的异同 2 平面问题的基本方程 平衡方程 几何方程 物理方程 边界条件 位移 应力 几何特点 受力特点 应力或应变特点 应力函数表示的应力分量表达式 常体力下的简化 应力函数的求解方法 逆解法 半逆解法 3 平面问题的求解 1 按位移求解平面问题 2 按应力求解平面问题 基本方程 1 用位移表示的平衡微分方程 2 用位移表示的应力边界条件 3 边界条件 应力 位移边界条件 相容方程 形变协调方程 应变表示形式 应力表示形式 应力函数表示 1 2 27 2 然后将代入式 2 26 求出应力分量 先由方程 2 27 求出应力函数 2 26 3 再让满足应力边界条件和位移单值条件 多连体问题 按应力求解平面问题的基本步骤 4 应力边界条件的列写及圣维南原理的应用 5 任意斜面上应力 主应力 主方向 例 下面给出平面应力问题 单连通域 的应力场和应变场 试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场 不计体力 1 2 解 a b 1 将式 a 代入平衡方程 2 2 满足 将式 a 代入相容方程 2 将式 b 代入应变表示的相容方程 式 b 满足相容方程 b 为可能的应变分量 式 a 不是一组可能的应力场 例 图示矩形截面悬臂梁 在自由端受集中力P作用 不计体力 试根据材料力学公式 写出弯曲应力和剪应力的表达式 并取挤压应力 0 然后说明这些表达式是否代表正确解 解 材料力学解答 式 a 满足平衡方程和相容方程 a 式 a 是否满足边界条件 代入平衡微分方程 显然 平衡微分方程满足 式 a 满足相容方程 再验证 式 a 是否满足边界条件 满足 满足 近似满足 近似满足 结论 式 a 为正确解 代入相容方程 上 下侧边界 右侧边界 左侧边界 1 2 下面给出平面应力问题 单连通域 的应力场和应变场 试分别判