（浙江专版）2018年高中数学 第1章 计数原理 1.2.2 第二课时 组合的综合应用学案 新人教A版选修2-3.doc

第二课时组合的综合应用有限制条件的组合问题典例课外活动小组共13人， 其中男生8人， 女生5人， 并且男、女各指定一名队长， 现从中选5人主持某种活动， 依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选解(1)一名女生，四名男生，故共有cc350(种)选法(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有cc165(种)选法(3)至少有一名队长当选含有两类：有一名队长当选和两名队长都当选故共有cccc825(种)选法或采用间接法：cc825(种)(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生，只有一名女生，没有女生故共有ccccc966(种)选法有限制条件的组合问题分类及解题策略有限制条件的抽(选)取问题， 主要有两类：一是“含”与“不含”问题， 其解法常用直接分步法， 即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取， 分步计数；二是“至多”“至少”问题， 其解法常有两种解决思路：一是直接分类法， 但要注意分类要不重不漏；二是间接法， 注意找准对立面， 确保不重不漏活学活用有4个不同的球， 4个不同的盒子， 把球全部放入盒内(1)恰有1个空盒，有几种放法？(2)恰有2个盒子不放球，有几种放法？解：(1)先从4个小球中取2个放在一起，有c种不同的取法，再把取出的2个小球与另外2个小球看成三堆，并分别放入4个盒子中的3个盒子里，有a种放法，根据分步乘法计数原理，共有ca144(种)不同的放法(2)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中有两类放法：第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有c种，再放到2个盒子中有a种放法，共有ca种放法；第二类，2个盒子中各放2个小球有cc种放法故恰有2个盒子不放球的方法有cacc84(种)几何中的组合问题典例平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？解法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准第一类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有cc48个不同的三角形；第二类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有cc112个不同的三角形；第三类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有c56个不同的三角形由分类加法计数原理知，不同的三角形共有4811256216个法二：(间接法)：从12个点中任意取3个点，有c220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有c4种故这12个点构成三角形的个数为cc216个解答几何组合问题的策略(1)几何组合问题，主要考查组合的知识和空间想象能力，题目多以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合这类问题情境新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强. (2)解答几何组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样，只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可(3)计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数 活学活用正六边形的顶点和中心共7个点，可组成_个三角形解析：不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线的是过中心的3条对角线，即共有3种情况，故组成三角形的个数为c332.答案：32排列与组合的综合问题典例用0到9这10个数字组成没有重复数字的五位数，其中含3个奇数与2个偶数的五位数有多少个？解法一直接法把从5个偶数中任取2个分为两类：(1)不含0的：由3个奇数和2个偶数组成的五位数，可分两步进行：第1步，选出3奇2偶的数字，方法有cc种；第2步，对选出的5个数字全排列有a种方法故所有适合条件的五位数有cca个(2)含有0的：这时0只能排在除首位(万位)以外的四个位置中的一个，有a种排法；再从2,4,6,8中任取一个，有c种取法，从5个奇数数字中任取3个，有c种取法，再把取出的4个数全排列有a种方法，故有acca种排法根据分类加法计数原理，共有ccaacca11 040个符合要求的数法二间接法如果对0不限制，共有cca种，其中0居首位的有cca种故共有ccacca11 040个符合条件的数解答排列、组合综合问题的思路及注意点(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列(2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点：元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合的综合问题的一般方法活学活用有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文科代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表；(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表解：(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先选有cccc种，后排有a种，共(cccc)a5 400种(2)除去该女生后，先选后排有ca840种(3)先选后排，但先安排该男生有cca3 360种(4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有c种，再安排该男生有c种，其余3人全排有a种，共cca360种层级一学业水平达标1200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有()accbccccccc dccc解析：选b至少2件次品包含两类：(1)2件次品，3件正品，共cc种，(2)3件次品，2件正品，共cc种，由分类加法计数原理得抽法共有cccc，故选b2某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有()a16种 b36种c42种 d60种解析：选d法一(直接法)：若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共a种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共ca种方法由分类加法计数原理知共aca60(种)方法法二(间接法)：先任意安排3个项目，每个项目各有4种安排方法，共4364种排法，其中3个项目落入同一城市的排法不符合要求的共4种，所以总投资方案共43464460种3从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法有()acc种 bca种ccaca种 daa种解析：选b分两步进行：第一步：选出两名男选手，有c种方法；第2步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有a种故有ca种4某微信群中甲，乙，丙，丁，戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，4个红包中有两个2元，两个3元(金额相同视为相同红包)，则甲乙两人都抢到红包的情况有()a36种 b24种c18种 d9种解析：选c甲乙两人都抢到红包有三种情况：(1)都抢到2元红包，有c3种；(2)都抢到3元红包，有c3种；(3)一个抢到2元，一个抢到3元，有ca12种，故总共有18种情况5(四川高考)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()a144个 b120个c96个 d72个解析：选b当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2a个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有ca个偶数故符合条件的偶数共有2aca120(个)62名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有_种解析：先分医生有a种，再分护士有c种(因为只要一个学校选2人，剩下的2人一定去另一学校)，故共有ac212种答案：127在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种(用数字作答)解析：分两类：第一类：3张中奖奖券分给3个人，共a种分法；第二类：3张中奖奖券分给2个人相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人，共有ca种分法总获奖情况共有aca60(种)答案：608有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有_个解析：分两类，第一类：从直线a上任取一个点，从直线b上任取两个点，共有cc种方法；第二类：从直线a上任取两个点，从直线b上任取一个点共有cc种方法满足条件的三角形共有cccc70个答案：709(1)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？(2)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？解：(1)正方体8个顶点可构成c个四点组，其中共面的四点组有正方体的6个表面及正方体6组相对棱分别所在的6个平面的四个顶点故可以确定四面体c1258个(2)由(1)知，正方体共面的四点组有12个，以这每一个四点组构成的四边形为底面，以其余的四个点中任意一点为顶点都可以确定一个四棱锥，故可以确定四棱锥12c48个107名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？(1)7人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减；(2)任取6名学生，排成二排三列，使每一列的前排学生比后排学生矮解：(1)第一步，将最高的安排在中间只有1种方法；第二步，从剩下的6人中选取3人安排在一侧有c种选法，对于每一种选法只有一种安排方法，第三步，将剩下3人安排在另一侧，只有一种安排方法，共有不同安排方案c20种(2)第一步从7人中选取6人，有c种选法；第二步从6人中选2人排一列有c种排法，第三步，从剩下的4人中选2人排第二列有c种排法，最后将剩下2人排在第三列，只有一种排法，故共有不同排法ccc630种层级二应试能力达标112名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是()acabcacca dca解析：选c从后排8人中选2人安排到前排6个位置中的任意两个位置即可，所以选法种数是ca，故选c2以圆x2y22x2y10内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形个数为()a76 b78c81 d84解析：选a如图，首先求出圆内的整数点个数，然后求组合数，圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=3，圆内共有9个整数点，组成的三角形的个数为c-8=76.故选a3某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有()a140种 b120种c35种 d34种解析：选d若选1男3女有cc4种；若选2男2女有cc18种；若选3男1女有cc12种，所以共有4181234种不同的选法4编号为1,2,3,4,5的五个人，分别坐在编号为1,2,3,4,5的座位上，则至多有两个号码一致的坐法种数为()a120 b119c110 d109解析：选d5个人坐在5个座位上，共有不同坐法a种，其中3个号码一致的坐法有c种，有4个号码一致时必定5个号码全一致，只有1种，故所求种数为ac1109.520个不加区别的小球放入1号，2号，3号的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为_(用数字作答)解析：先在编号为2,3的盒内分别放入1个，2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共有c120种方法答案：1206已知集合a4，b1,2，c1,3,5，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中的点的坐标，则确定的不同点的个数为_解析：不考虑限定条件确定的不同点的个数为ccca36，但集合b，c中有相同元素1，由4,1,1三个数确定的不同点只有3个，故所求的个数为36333.答案：337某国际旅行社共有9名专业导游，其中6人会英语，4人会日语，若在同一天要接待5个不同的外国旅游团队，其中3个队要安排会英语的导游，2个队要安排会日语的导游，则不同的安排方法共有多少种？解：依题意，导游中有5人只会英语，3人只会日语，1人既会英语又会日语按只会英语的导游分类：3个英语导游从只会英语人员中选取，则有aa720(种)3个英语导游从只会英语的导游中选2名，另一名由既会英语又会日语的导游担任，则有caa360(种)故不同的安排方法共有aacaa1 080(种)所以不同的安排方法共有1 080种8有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解：法一：(直接法)从0与1两个特殊值着