（浙江专版）2018年高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理学案 新人教A版必修5.doc

1.111.1正弦定理预习课本p23，思考并完成以下问题 (1)直角三角形中的边角之间有什么关系？(2)正弦定理的内容是什么？利用它可以解哪两类三角形？(3)解三角形的含义是什么？1正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.点睛正弦定理的特点(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化2解三角形一般地，把三角形的三个角a，b，c和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)正弦定理适用于任意三角形()(2)在abc中，等式bsin aasin b总能成立()(3)在abc中，已知a，b，a，则此三角形有唯一解()解析：(1)正确正弦定理适用于任意三角形(2)正确由正弦定理知，即bsin aasin b.(3)错误在abc中，已知a，b，a，此三角形的解有可能是无解、一解、两解的情况，具体情况由a，b，a的值来定答案：(1)(2)(3)2在abc中，下列式子与的值相等的是()a.b.c. d.解析：选c由正弦定理得，所以.3在abc中，已知a30，b60，a10，则b等于()a5 b10c. d5解析：选b由正弦定理得，b10.4在abc中，a，b2，以下错误的是()a若a1，则c有一解b若a，则c有两解c若a，则c无解 d若a3，则c有两解解析：选da2 sin1时，c有一解；当a1时，c无解；当1a2时，c有一解故选d.已知两角及一边解三角形典例在abc中，已知a8，b60，c75，求a，b，c.解a180(bc)180(6075)45，由正弦定理，得b4，由，得c4(1)已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(1)由三角形的内角和定理求出第三个角(2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边注意若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如754530)，再根据上述思路求解 活学活用在abc中，若a60，b45，bc3，则ac()a4b2c. d.解析：选b由正弦定理得，即，所以ac2，故选b.已知两边及其中一边的对角解三角形典例在abc中，a，b，b45，求a，c，c.解由正弦定理及已知条件，有，得sin a.ab，ab45.a60或120.当a60时，c180456075，c；当a120时，c1804512015，c.综上可知：a60，c75，c或a120，c15，c.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论 活学活用在abc中，c，c60，a2，求a，b，b.解：，sin a.a45或a135.又ca，ca.a45.b75，b1.三角形形状的判断典例在abc中，acosbcos，判断abc的形状解：法一化角为边acosbcos，asin absin b由正弦定理可得：ab，a2b2，ab，abc为等腰三角形法二化边为角acosbcos，asin absin b.由正弦定理可得：2rsin2a2rsin2b，即sin asin b，ab.(ab不合题意舍去)故abc为等腰三角形利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径(1)化角为边将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如ab，a2b2c2等，进而确定三角形的形状利用的公式为：sin a，sin b，sin c.(2)化边为角将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状利用的公式为：a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c活学活用在abc中，已知acos abcos b，试判断abc的形状解：由正弦定理，2r，所以acos abcos b可化为sin a cos asin bcos b，sin 2asin 2b，又abc中，a，b，c(0，)，所以2a2b或2a2b，即ab或ab，所以abc的形状为等腰或直角三角形层级一学业水平达标1在abc中，a5，b3，则sin asin b的值是()a. b.c. d.解析：选a根据正弦定理得.2在abc中，absin a，则abc一定是()a锐角三角形 b直角三角形c钝角三角形 d等腰三角形解析：选b由题意有b，则sin b1，即角b为直角，故abc是直角三角形3在abc中，若，则c的值为()a30 b45c60 d90解析：选b由正弦定理得，则cos csin c，即c45，故选b.4abc中，a，b，b，则a等于()a1 b2c. d2解析：选a由正弦定理得，a1，故选a.5在abc中，角a，b，c所对的边分别是a，b，c，且absin a，则sin b()a. b.c. d解析：选b由正弦定理得a2rsin a，b2rsin b，所以sin asin bsin a，故sin b.6下列条件判断三角形解的情况，正确的是_(填序号)a8，b16，a30，有两解；b18，c20，b60，有一解；a15，b2，a90，无解；a40，b30，a120，有一解解析：中absin a，有一解；中csin bbb，有一解；中ab且a120，有一解综上，正确答案：7在abc中，若(sin asin b)(sin asin b)sin2c，则abc的形状是_解析：由已知得sin2asin2bsin2c，根据正弦定理知sin a，sin b，sin c，所以222，即a2b2c2，故b2c2a2.所以abc是直角三角形答案：直角三角形8在锐角abc中，bc1，b2a，则_.解析：由正弦定理及已知得，2.答案：29已知一个三角形的两个内角分别是45，60，它们所夹边的长是1，求最小边长解：设abc中，a45，b60，则c180(ab)75.因为cba，所以最小边为a.又因为c1，由正弦定理得，a1，所以最小边长为1.10在abc中，已知a2，a30，b45，解三角形解：，b4.c180(ab)180(3045)105，c4sin(3045)22.层级二应试能力达标1在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，如果ca，b30，那么角c等于()a120b105c90 d75解析：选aca，sin csin asin(18030c)sin(30c)，即sin ccos c，tan c.又0c180，c120.故选a.2已知a，b，c分别是abc的内角a，b，c的对边，若abc的周长为4(1)，且sin bsin csin a，则a()a. b2c4 d2解析：选c根据正弦定理，sin bsin csin a可化为bca，abc的周长为4(1)，解得a4.故选c.3在abc中，a60，a，则等于()a. b.c. d2解析：选b由a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c得2r.4在abc中，若abc，且ac2b，最大边为最小边的2倍，则三个角abc()a123 b234c345 d456解析：选a由abc，且ac2b，abc，可得b，又最大边为最小边的2倍，所以c2a，所以sin c2sin a，即sin2sin atan a，又0a0，sin bcos b10，即sin ，b(0，)，b.(2)由(1)得：2r2，ac2r(sin asin c)2sin.c，2sin(，2，ac的取值范围为(，211.2余弦定理预习课本p56，思考并完成以下问题 (1)余弦定理的内容是什么？(2)已知三角形的两边及其夹角如何解三角形？(3)已知三角形的三边如何解三角形？余弦定理余弦定理公式表达a2b2c22bccos a，b2a2c22accos_b，c2a2b22abcos_c余弦定理语言叙述三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍推论cos ac os b，cos c点睛余弦定理的特点(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立(2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形()(2)在abc中，若a2b2c2，则abc一定为钝角三角形()(3)在abc中，已知两边和其夹角时，abc不唯一()解析：(1)正确余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形(2)正确当a2b2c2时，cos a0.因为0ab知ab，b30.故c180ab1804530105.(1)已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一(2)若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解活学活用已知a，b，c是abc三边之长，若满足等式(abc)(abc)ab，则c的大小为()a60b90c120 d150解析：选c(abc)(abc)ab，c2a2b2ab，由余弦定理可得，cos c，0c180，c120，故选c.利用余弦定理判断三角形形状典例在abc中，若b2sin2cc2sin2b2bccos bcos c，试判断abc的形状解：法一化角为边将已知等式变形为b2(1cos2c)c2(1cos2b)2bccos bcos c.由余弦定理并整理，得b2c2b22c222bc，b2c2a2.a90.abc是直角三角形法二化边为角由正弦定理，已知条件可化为sin2csin2bsin2csin2b2sin bsin ccos bcos c.又sin bsin c0，sin bsin ccos bcos c，即cos(bc)0.又0bc0，则abc()a一定是锐角三角形 b一定是直角三角形c一定是钝角三角形 d是锐角或直角三角形解析：选c由0得cos c0，所以cos ccb，a为最大角由余弦定理的推论，得cos a.又0ab ba0，a2b2，ab.3在abc中，cos2，则abc是()a正三角形b直角三角形c等腰三角形或直角三角形d等腰直角三角形解析：选bcos2，cos b，a