（浙江专版）2017-2018学年高中数学 第三章 直线与方程 3.2 直线的方程学案 新人教A版必修2.doc

3.232.1直线的点斜式方程预习课本p9294，思考并完成以下问题 1确定直线的几何要素是什么？ 2直线的点斜式方程是怎样推导的？ 3直线的点斜式方程与斜截式方程的结构形式分别是什么？ 4直线的纵截距是怎样定义的？ 1直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线l过定点p(x0，y0)，斜率为k，则把方程yy0k(xx0)叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式(2)如图所示，过定点p(x0，y0)，倾斜角是90的直线没有点斜式，其方程为xx00，或xx0.点睛经过点p0(x0，y0)的直线有无数条，可以分为两类：斜率存在的直线，方程为yy0k(xx0)；斜率不存在的直线，方程为xx00，或xx0.2直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程ykxb叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式(2)一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距倾斜角是直角的直线没有斜截式方程点睛(1)斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在(2)纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、负数或零1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线y3m(x1)恒过定点(1,3)()(2)对于直线y2x3在y轴上截距为3()(3)直线的点斜式方程也可写成k()答案：(1)(2)(3)2直线l经过点p(2，3)，且倾斜角45，则直线的点斜式方程是()ay3x2 by3x2cy2x3 dy2x3解析：选a直线l的斜率ktan 451，直线l的方程为y3x2.3在y轴上的截距为2，且与直线y3x4平行的直线的斜截式方程为_解析：直线y3x4的斜率为3，所求直线与此直线平行，斜率为3，又截距为2，由斜截式方程可得y3x2.答案：y3x2直线的点斜式方程典例已知点a(3,3)和直线l：yx.求：(1)过点a且与直线l平行的直线的点斜式方程；(2)过点a且与直线l垂直的直线的点斜式方程解因为直线l：yx，所以该直线的斜率k.(1)过点a(3,3)且与直线l平行的直线方程为y3(x3)(2)过点a(3,3)且与直线l垂直的直线方程为y3(x3)利用点斜式求直线方程的方法(1)用点斜式求直线的方程，首先要确定直线的斜率和其上一个点的坐标注意在斜率存在的条件下，才能用点斜式表示直线的方程；(2)已知两点坐标求直线的方程，可以先求斜率，再用点斜式求直线的方程活学活用1直线yx1绕着其上一点p(3,4)逆时针旋转90后得直线l，求直线l的点斜式方程解：直线yx1的斜率k1，倾斜角为45.由题意知，直线l的倾斜角为135，直线l的斜率ktan 1351.又点p(3,4)在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y4(x3)2已知两点a(1,2)，b(m,3)，求直线ab的点斜式方程解：因为a(1,2)，b(m,3)，当m1时，直线ab的方程为x1，没有点斜式方程；当m1时，直线ab的斜率k，直线ab的点斜式方程为y2(x1).直线的斜截式方程典例根据条件写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150，在y轴上的截距是2；(3)倾斜角为60，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.解(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y2x5.(2)由于倾斜角150，所以斜率ktan 150，由斜截式可得方程为yx2.(3)由于直线的倾斜角为60，所以斜率ktan 60.由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b3或b3，故所求直线方程为yx3或yx3.(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在当b0时，ykx表示过原点的直线；当k0时，yb表示与x轴平行(或重合)的直线(2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数活学活用求倾斜角是直线yx1的倾斜角的，且在y轴上的截距是5的直线方程解：直线yx1的斜率k，其倾斜角120，由题意，得所求直线的倾斜角130，故所求直线的斜率k1tan 30.所求直线的斜率是，在y轴上的截距为5，所求直线的方程为yx5.利用直线的斜截式方程判断两直线位置关系典例(1)当a为何值时，直线l1：yx2a与直线l2：y(a22)x2平行？(2)当a为何值时，直线l1：y(2a1)x3与直线l2：y4x3垂直？解(1)由题意可知，kl11，kl2a22，l1l2，解得a1.故当a1时，直线l1：yx2a与直线l2：y(a22)x2平行(2)由题意可知，kl12a1，kl24，l1l2，4(2a1)1，解得a.故当a时，直线l1：y(2a1)x3与直线l2：y4x3垂直对于不能用斜截式方程表示的直线，判断它们的位置关系时，需注意：(1)若两条直线的斜率均不存在，则有l1l2或l1与l2重合(2)若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则有l1l2.(3)若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在但不为0，则两条直线既不平行也不垂直活学活用1已知直线yax2和y(a2)x1互相垂直，则a_.解析：由题意可知a(a2)1，解得a1.答案：12若直线l1：yx与直线l2：y3x1互相平行，则a_.解析：由题意可知解得a.答案：层级一学业水平达标1已知直线的方程是y2x1，则()a直线经过点(1,2)，斜率为1b直线经过点(2，1)，斜率为1c直线经过点(1，2)，斜率为1d直线经过点(2，1)，斜率为1解析：选c直线方程y2x1可化为y(2)x(1)，故直线经过点(1，2)，斜率为1.2已知直线的倾斜角为60，在y轴上的截距为2，则此直线的方程为()ayx2 byx2cyx2 dyx2解析：选d直线的倾斜角为60，则其斜率为，利用斜截式得yx2.3直线yb2(xa)在y轴上的截距为()aab b2abcb2a d|2ab|解析：选c由yb2(xa)，得y2x2ab，故在y轴上的截距为b2a.4将直线y3x绕原点逆时针旋转90，再向右平移1个单位，所得到的直线为()ayx byx1cy3x3 dyx1解析：选a将直线y3x绕原点逆时针旋转90，得到直线yx，再向右平移1个单位，所得到的直线为y(x1)，即yx.5若两条直线yax2和y(2a)x1互相平行，则a等于()a2 b1c0 d1解析：选b由a2a，得a1.6设ar，如果直线l1：yx与直线l2：yx平行，那么a_.解析：由l1l2得且，解得a2或a1.答案：2或17直线yx4在y轴上的截距是_解析：由yx4，令x0，得y4.答案：48直线yk(x2)3必过定点，该定点坐标是_解析：将直线方程化为点斜式得y3k(x2)，过定点(2,3)答案：(2,3)9求满足下列条件的m的值(1)直线l1：yx1与直线l2：y(m22)x2m平行；(2)直线l1：y2x3与直线l2：y(2m1)x5垂直解：(1)l1l2，两直线斜率相等m221且2m1，m1.(2)l1l2，2m1.m.10直线l过点(2,2)，且与x轴和直线yx围成的三角形的面积为2，求直线l的方程解：当直线l的斜率不存在时，l的方程为x2，经检验符合题目的要求当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x2)，即ykx2k2.令y0得，x.由三角形的面积为2，得22.解得，k.可得直线l的方程为y2(x2)，综上可知，直线l的方程为x2或y2(x2)层级二应试能力达标1过点(1,3)且平行于直线y(x3)的直线方程为()ay3(x1) by3(x1)cy3(x1) dy3(x1)解析：选c由直线y(x3)，得所求直线的斜率等于，其方程为y3(x1)，选c.2直线l1：yaxb与直线l2：ybxa(ab0，ab)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是()解析：选d对于a选项，由l1得a0，b0，b0，矛盾；对于b选项，由l1得a0，而由l2得a0，b0，矛盾；对于c选项，由l1得a0，b0，而由l2得a0，矛盾；对于d选项，由l1得a0，b0，而由l2得a0，b0.故选d.3若ya|x|与yxa(a0)有两个公共点，则a的取值范围是()aa1 b0a1c d0a1解析：选ayxa(a0)表示斜率为1，在y轴上的截距为a(a0)的直线，ya|x|表示关于y轴对称的两条射线当01时，有两个公共点，故选a.4若原点在直线l上的射影是p(2,1)，则直线l的方程为()ax2y0 by12(x2)cy2x5 dy2x3解析：选c直线op的斜率为，又opl，直线l的斜率为2.直线的点斜式方程为y12(x2)，化简，得y2x5，故选c.5与直线2x3y50平行，且与x，y轴交点的横、纵坐标之和为的直线l方程为_解析：设l：2x3yc0，令x0，则y，令y0，则x，c1.答案：2x3y106给出下列四个结论：方程k与方程y2k(x1)可表示同一直线；直线l过点p(x1，y1)，倾斜角为90，则其方程是xx1；直线l过点p(x1，y1)，斜率为0，则其方程是yy1；所有的直线都有点斜式和斜截式方程其中正确结论的序号为_解析：不正确方程k不含点(1,2)；正确；正确；只有k存在时成立答案：7已知直线l1的方程为y2x3，l2的方程为y4x2，直线l与l1的斜率相等且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程解：由斜截式方程知直线l1的斜率k12，l的斜率kk12.由题意知l2在y轴上的截距为2，l在y轴上的截距b2，由斜截式可得直线l的方程为y2x2.8求斜率为，且与两坐标轴围成的三角形面积为3的直线方程解：设直线方程为yxb，令x0得yb.令y0得x6b，s|b|6b|3，b21即b1，所求的直线方程为yx1.32.2&3.2.3直线的两点式方程、直线的一般式方程预习课本p9599，思考并完成以下问题 1直线的两点式方程的结构形式是什么？截距式呢？各自的适用范围分别是什么？ 2怎样求一般式表示的直线的斜率与截距？ 3直线与二元一次方程之间的关系是怎样的？ 1直线的两点式与截距式方程两点式截距式条件p1(x1，y1)和p2(x2，y2) 其中x1x2，y1y2在x轴上截距a，在y轴上截距b图形方程1适用范围不表示垂直于坐标轴的直线不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线点睛(1)截距式方程中间以“”相连，右边是1.(2)a叫做直线在x轴上的截距，ar，不一定有a0.2直线方程的一般式(1)直线与二元一次方程的关系在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线(2)直线的一般式方程的定义我们把关于x，y的二元一次方程axbyc0(其中a，b不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式点睛解题时，若无特殊说明，应把求得的直线方程化为一般式1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)不经过原点的直线都可以用方程1表示()(2)经过任意两个不同的点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()答案：(1)(2)2直线3x2y4的截距式方程是()a.1 b.4c.1 d.1解析：选d求直线方程的截距式，必须把方程化为1的形式，即右边为1，左边是和的形式3直线l过点(1,2)和点(2,5)，则直线l的方程为_解析：由题意直线过两点，由直线的两点式方程可得：，整理得xy30.答案：xy30利用两点式求直线方程典例已知abc三个顶点坐标a(2，1)，b(2,2)，c(4,1)，求三角形三条边所在的直线方程解a(2，1)，b(2,2)，a，b两点横坐标相同，直线ab与x轴垂直，故其方程为x2.a(2，1)，c(4,1)，由直线方程的两点式可得ac的方程为，即xy30.同理可由直线方程的两点式得直线bc的方程为，即x2y60.三边ab，ac，bc所在的直线方程分别为x2，xy30，x2y60.当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程 活学活用已知直线经过点a(1,0)，b(m,1)，求这条直线的方程解：由直线经过点a(1,0)，b(m,1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在(1)当直线斜率不存在，即m1时，直线方程为x1；(2)当直线斜率存在，即m1时，利用两点式，可得直线方程为，即x(m1)y10.综上可得：当m1时，直线方程为x1；当m1时，直线方程为x(m1)y10.直线的截距式方程典例求过点a(5,2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程解法一：(1)当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为yx，即2x5y0；(2)当直线l在坐标轴上的截距不为0时，可设方程为1，即xya，又l过点a(5,2)，52a，a3，l的方程为xy30，综上所述，直线l的方程是2x5y0，或xy30.法二：由题意知直线的斜率一定存在设直线的点斜式方程为y2k(x5)，x0时，y25k，y0时，x5.根据题意得25k，解方程得k或1.当k时，直线方程为y2(x5)，即2x5y0；当k1时，直线方程为y21(x5)，即xy30.一题多变1变条件若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为：“在x轴上的截距是y轴上截距的2倍”，其它条件不变，如何求解？解：(1)当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，方程为yx，即2x5y0适合题意(2)当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为1，又l过点(5,2)，1，解得a.l的方程为x2y90.2变条件若将本例中的条件“在两坐标轴上的截距互为相反数”变为“与两坐标轴围成的三角形的面积是”，其它条件不变，如何求解？解：由题意，直线不过原点，且在两坐标轴上的截距都存在，设其方程为1.可化为ab9，解无解，解得得或l的方程为4x25y300或xy30.(1)如果问题中涉及直线与两坐标轴相交，则可考虑选用直线的截距式方程，用待定系数法确定其系数即可(2)选用直线的截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直 由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直典例已知直线l1：ax2y30，l2：3x(a1)ya0，求满足下列条件的a的值(1)l1l2；(2)l1l2.解法一：直线l1可化为yx.(1)当a1时，l2：x与l1不平行；当a1时，直线l2：yx，l1l2，且，解得a2.(2)当a1时，l2：x与l1不垂直；当a1时，l2：yx，l1l2，1，解得a.法二：由题可知a1a，b12，c13，a23，b2a1，c2a.(1)当l1l2时，解得a2.(2)当l1l2时，a1a2b1b20，即3a2(a1)0，解得a.(1)对于由直线的位置关系求参数的问题，有下列结论：设直线l1与l2的方程分别为a1xb1yc10(a1，b1不同时为0)，a