（浙江专版）2018高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 热点探究训练5 平面解析几何中的高考热点问题.doc

热点探究训练(五) 平面解析几何中的高考热点问题1设f1，f2分别是椭圆c：1(ab0)的左、右焦点，m是c上一点且mf2与x轴垂直，直线mf1与c的另一个交点为n.(1)若直线mn的斜率为，求c的离心率；(2)若直线mn在y轴上的截距为2，且|mn|5|f1n|，求a，b.解(1)根据c及题设知m，2b23ac.2分将b2a2c2代入2b23ac，解得，2(舍去)故c的离心率为.5分(2)由题意，原点o为f1f2的中点，mf2y轴，所以直线mf1与y轴的交点d(0,2)是线段mf1的中点，故4，即b24a.由|mn|5|f1n|得|df1|2|f1n|.8分设n(x1，y1)，由题意知y1b0)的右焦点为f(1,0)，右顶点为a，且|af|1.图5(1)求椭圆c的标准方程；(2)若动直线l：ykxm与椭圆c有且只有一个交点p，且与直线x4交于点q，问：是否存在一个定点m(t,0)，使得0.若存在，求出点m的坐标；若不存在，说明理由. 【导学号：51062320】解(1)由c1，ac1，得a2，b，故椭圆c的标准方程为1.5分(2)由消去y得(34k2)x28kmx4m2120，64k2m24(34k2)(4m212)0，即m234k2.8分设p(xp，yp)，则xp，ypkxpmm，即p.m(t,0)，q(4,4km)，(4t,4km)，12分(4t)(4km)t24t3(t1)0恒成立，故即t1.存在点m(1,0)符合题意.15分3如图7，已知抛物线c：x24y，过点m(0,2)任作一直线与c相交于a，b两点，过点b作y轴的平行线与直线ao相交于点d(o为坐标原点)图7(1)证明：动点d在定直线上；(2)作c的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y2相交于点n1，与(1)中的定直线相交于点n2，证明：|mn2|2|mn1|2为定值，并求此定值解(1)证明：依题意可设ab方程为ykx2，代入x24y，得x24(kx2)，即x24kx80.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则有x1x28.直线ao的方程为yx；bd的方程为xx2.2分解得交点d的坐标为注意到x1x28及x4y1，则有y2.因此d点在定直线y2上(x0).5分(2)依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为yaxb(a0)，代入x24y得x24(axb)，即x24ax4b0.8分由0得(4a)216b0，化简整理得ba2.故切线l的方程可写为yaxa2.分别令y2，y2得n1，n2的坐标为n1，n2，10分则|mn2|2|mn1|224228，即|mn2|2|mn1|2为定值8.15分4已知椭圆c：1(ab0)的一个焦点与抛物线y24x的焦点相同，且椭圆c上一点与椭圆c的左、右焦点f1，f2构成的三角形的周长为22.(1)求椭圆c的方程；(2)若直线l：ykxm(k，mr)与椭圆c交于a，b两点，o为坐标原点，aob的重心g满足：，求实数m的取值范围解(1)依题意得即椭圆c的方程为y21.4分(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)联立得方程组消去y并整理，得(12k2)x24kmx2m220，则6分设aob的重心为g(x，y)，由，可得x2y2.由重心公式可得g，代入式，整理可得(x1x2)2(y1y2)24(x1x2)2k(x1x2)2m24，8分将式代入式并整理，得m2，代入(*)得k0，则m211.12分k0，t0，t24t0，m21，m(，1)(1，).15分5已知椭圆c：9x2y2m2(m0)，直线l不过原点o且不平行于坐标轴，l与c有两个交点a，b，线段ab的中点为m.(1)证明：直线om的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点，延长线段om与c交于点p，四边形oapb能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由. 【导学号：51062321】解(1)证明：设直线l：ykxb(k0，b0)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，m(xm，ym).1分将ykxb代入9x2y2m2，得(k29)x22kbxb2m20，故xm，ymkxmb.于是直线om的斜率kom，即komk9.所以直线om的斜率与l的斜率的乘积为定值.6分(2)四边形oapb能为平行四边形因为直线l过点，所以l不过原点且与c有两个交点的充要条件是k0，k3.由(1)得om的方程为yx.8分设点p的横坐标为xp.由得x，即xp.将点的坐标代入直线l的方程得b，因此xm.11分四边形oapb为平行四边形，当且仅当线段ab与线段op互相平分，即xp2xm.于是2，解得k14，k24.因为ki0，ki3，i1,2，所以当直线l的斜率为4或4时，四边形oapb为平行四边形.15分6已知a是椭圆e：1的左顶点，斜率为k(k0)的直线交e于a，m两点，点n在e上，mana.(1)当|am|an|时，求amn的面积；(2)当2|am|an|时，证明：k0.由已知及椭圆的对称性知，直线am的倾斜角为.又a(2,0)，因此直线am的方程为yx2.2分将xy2代入1得7y212y0.解得y0或y，所以y1.因此amn的面积samn2.5分(2)证明：设直线am的方程为yk(x2)(k0)，代入1得(34k2)x216k2x16k2120.7分由x1(2)得x1，故|am|x12|.由题意，设直线an的方程为y(x2)，故同理可得|an|.10分由2|am|an|得，即4k36k23k8