（浙江专版）2017-2018学年高中数学 模块复习精要 复习课（二）直线与圆 新人教A版必修2.doc

复习课(二)直线与圆两直线的位置关系两直线的位置关系是常考热点主要以选择、填空题形式考查，多涉及求参数与直线方程求法，难度中档以下1求直线斜率的基本方法(1)定义法：已知直线的倾斜角为，且90，则斜率ktan .(2)公式法：已知直线过两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，且x1x2，则斜率k.2判断两直线平行的方法(1)若不重合的直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1k2l1l2.(2)若不重合的直线l1与l2的斜率都不存在，其倾斜角都为90，则l1l2.3判断两直线垂直的方法(1)若直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1k21l1l2.(2)已知直线l1与l2，若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l1l2.典例已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值(1)l1l2且l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解(1)l1l2，a(a1)b0，又l1过点(3，1)，3ab40.解组成的方程组得(2)l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率存在k1k2，即1a.又坐标原点到这两条直线的距离相等，l1l2，l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即(b)由联立，解得或经检验此时的l1与l2不重合，故所求值为或类题通法已知两直线l1：a1xb1yc10和l2：a2xb2yc20(1)对于l1l2的问题，先由a1b2a2b10解出其中的字母值，然后代回原方程检验这时的l1和l2是否重合，若重合，舍去(2)对于l1l2的问题，由a1a2b1b20解出字母的值即可1经过两点a(2,1)，b(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是()am1 bm1c1m1 dm1或m1解析：选c直线l的倾斜角为锐角，斜率k0，1m1.2直线ax2y10与直线2x3y10垂直，则a的值为()a3 bc2 d3解析：选d由2a60得a3.故选d.3已知直线x2ay10与直线(a1)xay10平行，则a的值为()a. b.或0c0 d2解析：选a当a0时，两直线的方程化为x1和x1，显然重合，不符合题意；当a0时，解得a.故选a.直线方程直线方程的求法一直是考查重点，多以解答题形式考查，常涉及距离、平行、垂直等知识，有时与对称问题相结合，难度中档以上1直线方程的五种形式名称方程常数的几何意义适用条件点斜式一般情况yy0k(xx0)(x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率直线不垂直于x轴斜截式ykxbk是斜率，b是直线在y轴上的截距直线不垂直于x轴两点式一般情况(x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点直线不垂直于x轴和y轴截距式1a，b分别是直线在x轴，y轴上的两个非零截距直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点一般式axbyc0a，b不同时为0a，b，c为系数任何情况2常见的直线系方程(1)经过两条直线l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20交点的直线系方程为a1xb1yc1(a2xb2yc2)0，其中是待定系数在这个方程中，无论取什么实数，都不能得到a2xb2yc20，因此它不能表示直线l2.(2)平行直线系方程：与直线axbyc0(a，b不同时为0)平行的直线系方程是axby0(c)(3)垂直直线系方程：与直线axbyc0(a，b不同时为0)垂直的直线系方程是bxay0.典例过点a(3，1)作直线l交x轴于点b，交直线l1：y2x于点c，若|bc|2|ab|，求直线l的方程解当直线l的斜率不存在时，直线l：x3，b(3,0)，c(3,6)此时|bc|6，|ab|1，|bc|2|ab|，直线l的斜率存在设直线l的方程为y1k(x3)，显然k0且k2.令y0，得x3，b，由得点c的横坐标xc.|bc|2|ab|，|xbxc|2|xaxb|，2，3或3，解得k或k.所求直线l的方程为3x2y70或x4y70.类题通法求直线方程时，要根据给定条件，选择恰当的方程，常用以下两种方法求解：(1)直接法：直接选取适当的直线方程的形式，写出结果；(2)待定系数法：先以直线满足的某个条件为基础设出直线方程，再由直线满足的另一个条件求出待定系数，从而求得方程1已知直线l1：3x2y10和l2：3x2y130，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1d221，求直线l的方程解：由直线l1，l2的方程知l1l2，又由题意知，直线l与l1，l2均平行(否则d10或d20，不符合题意)设直线l：3x2ym0(m1且m13)，由两平行直线间的距离公式，得d1，d2，又d1d221，所以|m1|2|m13|，解得m25或m9.故所求直线l的方程为3x2y250或3x2y90.2已知直线l：3xy30，求：(1)点p(4,5)关于l的对称点；(2)直线xy20关于直线l对称的直线方程解：设p(x，y)关于直线l：3xy30的对称点为p(x，y)kppkl1，即31.又pp的中点在直线3xy30上，330.由得(1)把x4，y5代入得x2，y7，p(4,5)关于直线l的对称点p的坐标为(2,7)(2)用分别代换xy20中的x，y，得关于l的对称直线方程为20，化简得7xy220.圆的方程主要以选择、填空题的形式考查圆的方程的求法，或利用圆的几何性质、数形结合求函数式的最值也可与其他曲线结合综合考查圆的方程的应用求圆的方程的主要方法是待定系数法，确定圆的方程需要三个独立的条件，求解时要注意结合图形，观察几何特征，简化运算(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2(2)圆的一般方程：x2y2dxeyf0(3)若圆经过两已知圆的交点或一已知圆与一已知直线的交点，求圆的方程时可用相应的圆系方程加以求解：过两圆c1：x2y2d1xe1yf10，c2：x2y2d2xe2yf20交点的圆系方程为x2y2d1xe1yf1(x2y2d2xe2yf2)0(为参数，1)，该方程不包括圆c2；过圆c：x2y2dxeyf0与直线l：axbyc0交点的圆系方程为x2y2dxeyf(axbyc)0(为参数，r)典例在平面直角坐标系中，已知abc的三个顶点的坐标分别为a(3,0)，b(2,0)，c(0，4)，经过这三个点的圆记为m.(1)求bc边的中线ad所在直线的一般式方程；(2)求圆m的方程解(1)法一：由b(2,0)，c(0，4)，知bc的中点d的坐标为(1，2)又a(3,0)，所以直线ad的方程为，即中线ad所在直线的一般式方程为x2y30.法二：由题意，得|ab|ac|5，则abc是等腰三角形，所以adbc.因为直线bc的斜率kbc2，所以直线ad的斜率kad，由直线的点斜式方程，得y0(x3)，所以直线ad的一般式方程为x2y30.(2)设圆m的方程为x2y2dxeyf0.将a(3,0)，b(2,0)，c(0，4)三点的坐标分别代入方程，得解得所以圆m的方程是x2y2xy60.类题通法利用待定系数法求圆的方程(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值(2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，可选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于d，e，f的方程组，从而求出d，e，f的值1以线段ab：xy20(0x2)为直径的圆的方程为()a(x1)2(y1)22b(x1)2(y1)22c(x1)2(y1)28d(x1)2(y1)28解析：选b直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，圆心为(1,1)，半径为，故圆的方程为(x1)2(y1)22.2已知圆c经过点a(2，3)，b(2，5)，且圆心在直线l：x2y30上，求圆c的方程解：设圆c的方程为(xa)2(yb)2r2.由题意，得解得所以圆c的方程为(x1)2(y2)210.3求以圆c1：x2y212x2y130和圆c2：x2y212x16y250的公共弦为直径的圆c的方程解：联立两圆的方程得方程组相减得公共弦所在直线的方程为4x3y20.再由解得两圆交点坐标为(1,2)，(5，6)所求圆以公共弦为直径，圆心c是公共弦的中点(2，2)，半径长为 5.圆c的方程为(x2)2(y2)225.直线与圆的位置关系多以选择题、填空题考查直线方程与圆的方程的求法，涉及直线与圆有关的基本问题，对于直线中内容很少单独考查在解决直线与圆的问题时，充分发挥数形结合思想的运用，尤其是涉及弦长问题，多用几何法1直线与圆位置关系的判断方法(1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r.若dr，则直线和圆相离(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为.0直线与圆相切；0直线与圆相交；0直线与圆相离2过圆外一点(x0，y0)与圆相切的切线方程的求法当切线斜率存在时，设切线方程为yy0k(xx0)，化成一般式kxyy0kx00，利用圆心到直线的距离等于半径长，解出k；当切线斜率存在时，设切线方程为yy0k(xx0)，与圆的方程(xa)2(yb)2r2联立，化为关于x的一元二次方程，利用判别式为0，求出k.当切线斜率不存在时，可通过数形结合思想，在平面直角坐标系中作出其图象，求出切线的方程3圆中弦长的求法(1)直接求出直线与圆或圆与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式求解(2)利用圆的弦长公式l|x1x2|(其中x1，x2为两交点的横坐标)(3)利用垂径定理：分别以圆心到直线的距离d、圆的半径r与弦长的一半为线段长的三条线段构成直角三角形，故有l2.4圆与圆的位置关系：(1)利用圆心间距离与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系(2)若圆c1：x2y2d1xe1yf10与圆c2：x2y2d2xe2yf20相交则两圆方程相减后得到的新方程：(d1d2)x(e1e2)y(f1f2)0表示的是两圆公共弦所在直线的方程典例(1)直线xy20与圆(x1)2(y2)21相交于a，b两点，则|ab|()a. b.c. d.(2)若直线xmy10与圆x2y22x0相切，则m的值为()a1 b1c d.(3)已知圆c：(x3)2(y4)24，直线l过定点a(1,0)若l与圆c相切，求l的方程；若l与圆c相交于p，q两点，且|pq|2，求此时直线l的方程解析(1)圆心(1,2)到直线xy20的距离d，|ab|2，故选d.(2)由x2y22x0，得圆心坐标为(1,0)，半径为1，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即1，解得m.答案：(1)d(2)c(3)解：若直线l的斜率不存在，则直线l：x1，符合题意若直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x1)，即kxyk0.由题意知，圆心(3,4)到直线l的距离等于2，即2，解得k，此时直线l的方程为3x4y30.综上可得，所求直线l的方程是x1或3x4y30.由直线l与圆c相交可知，直线l的斜率必定存在，且不为0，设直线l的方程为k0xyk00，圆心(3,4)到直线l的距离为d，因为|pq|22，所以d，即，解得k01或k07，所以所求直线l的方程为xy10或7xy70.类题通法研究直线与圆位置关系综合问题时易忽视直线斜率k不存在情形，要注意作出图形进行判断1由直线yx1上的一点向圆x26xy280引切线，则切线长的最小值为()a1 b2c. d3解析：选c切线长的最小值在直线yx1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d2，圆的半径为1，故切线长的最小值为.2p是直线l：3x4y110上的动点，pa，pb是圆x2y22x2y10的两条切线，c是圆心，那么四边形pacb面积的最小值是()a. b2c. d2解析：选c圆的标准方程为(x1)2(y1)21，圆心c(1,1)，半径r1.根据对称性可知四边形pacb的面积等于2sapc2|pa|r|pa|.要使四边形pacb的面积最小，则只需|pc|最小，最小值为圆心c到直线l：3x4y110的距离d2，所以四边形pacb面积的最小值为.3已知圆c：x2y22x4y40.问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆c截得的弦ab满足：以ab为直径的圆经过原点解：假设存在且设l：yxm，圆c化为(x1)2(y2)29，圆心c(1，2)，则过圆心c垂直弦ab的直线为y2x1，解方程组得ab的中点n的坐标为，由于以ab为直径的圆过原点，所以|an|on|.又|an| ，|on| .所以92222，解得m1或m4.所以存在直线l，其方程为xy10和xy40，并可以检验，这时l与圆是相交于两点的1点a(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是()a在y轴内 b在xoy平面内c在xoz平面内 d在yoz平面内解析：选c点a(2,0,3)的纵坐标为0，所以点a应在xoz平面内2若直线l：(m22m3)x(2m2m1)y2m60的斜率为1，则实数m的值为()a1 b.c1或 d1或解析：选b由直线的斜率为1，得解得m，选b.3过圆x2y24x0外一点(m，n)作圆的两条切线，当这两条切线相互垂直时，m，n满足的关系式是()a(m2)2n24 b(m2)2n24c(m2)2n28 d(m2)2n28解析：选c圆x2y24x0的圆心坐标为(2,0)，半径r2.由题意，知(m2)2n28.4光线从点a(3,5)射到x轴上，经反射后经过点b(2,10)，则光线从a到b的距离是()a5 b2c5 d10解析：选c根据光学原理，光线从a到b的距离，等于点a关于x轴的对称点a到点b的距离，易求得a(3，5)所以|ab|5.5直线yxb与曲线x有且仅有一个公共点，则b的取值范围是()a|b| b1b1或bc1b1 d非a，b，c的结论解析：选b作出曲线x和直线yxb，利用图形直观考查它们的关系，寻找解决问题的办法将曲线x变为x2y21(x0)当直线yxb与曲线x2y21相切时，则满足1，|b|，b.观察图像，可得当b或1b1时，直线与曲线x有且仅有一个公共点6已知三点a(1,0)，b(0，)，c(2，)，则abc外接圆的圆心到原点的距离为()a. b.c. d.解析：选b在坐标系中画出abc(如图)，利用两点间的距离公式可得|ab|ac|bc|2(也可以借助图形直接观察得出)，所以abc为等边三角形设bc的中点为d，点e为外心，同时也是重心所以|ae|ad|，从而|oe| ，故选b.7圆x2y24x60和圆x2y26x0交于a，b两点，则弦ab的垂直平分线的方程是_解析：由题意，知圆x2y24x6y0和圆x2y26x0交于a，b两点，则弦ab的垂直平分线，就是两个圆的圆心的连线圆x2y24x6y0的圆心坐标为(2，3)，圆x2y26x0的圆心坐标为(3,0)，所以所求直线的方程为，即3xy90.答案：3xy908(全国丙卷)已知直线l：mxy3m0与圆x2y212交于a，b两点，过a，b分别作l的垂线与x轴交于c，d两点若|ab|2，则|cd|_.解析：由直线l：mxy3m0知其过定点(3，)，圆心o到直线l的距离为d.由|ab|2得2()212，解得m.又直线l 的斜率为m，所以直线l的倾斜角.画出符合题意的图形如图所示，过点c作cebd，则dce.在rtcde中，可得|cd|24.答案：49过点p(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2xy20和l2：xy30所截的线段ab以p为中点，则此直线l的方程是_解析：法一：设直线l的方程为yk(x3)，将此方程分别与l1，l2的方程联立，得和解得xa和xb，p(3,0)是线段ab的中点，xaxb6，即6，解得k8.故直线l的方程为y8(x3)，即8xy240.法二：设直线l1上的点a的坐标为(x1，y1)，p(3,0)是线段ab的中点，则直线l2上的点b的坐标为(6x1，y1)，解得点