（全国通用）2018届高考数学二轮复习 第二篇 熟练规范 中档大题保高分 第22练 解三角形练习 文.doc

第22练解三角形明考情高考中主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用.求三角形的面积问题一般在解答题的17题位置.知考向1.利用正弦、余弦定理解三角形.2.三角形的面积.3.解三角形的综合问题.考点一利用正弦、余弦定理解三角形方法技巧(1)公式法解三角形：直接利用正弦定理或余弦定理，其实质是将几何问题转化为代数问题，适用于求三角形的边或角.(2)边角互化法解三角形：合理转化已知条件中的边角关系，适用于已知条件是边角混和式的解三角形问题.1.(2017天津)在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c.已知asin a4bsin b，ac(a2b2c2).(1)求cos a的值；(2)求sin(2ba)的值.解(1)由asin a4bsin b及，得a2b.由ac(a2b2c2)及余弦定理，得cos a.(2)由(1)，可得sin a，代入asin a4bsin b，得sin b.由(1)知，a为钝角，所以cos b.于是sin 2b2sin bcos b，cos 2b12sin2b，故sin(2ba)sin 2bcos acos 2bsin a.2.如图，在abc中，abc90，ab，bc1，p为abc内一点，bpc90.(1)若pb，求pa；(2)若apb150，求tanpba.解(1)由已知得pbc60，pba30.在pba中，由余弦定理，得pa232cos 30，pa.(2)设pba，由已知得pbsin ，在pba中，由正弦定理得，化简得cos 4sin ，故tan ，即tanpba.3.在abc中，a，b，c分别为内角a，b，c的对边，且.(1)求角a的大小；(2)若，a，求b的值.解(1)由题意，可得3，即1，整理得b2c2a2bc，由余弦定理知，cos a，因为0a，所以a.(2)根据正弦定理，得cos a，解得tan b，所以sin b.由正弦定理得，b2.4.设abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且bsin aacos b.(1)求角b的大小；(2)若b3，sin c2sin a，求a，c的值.解(1)bsin aacos b，由正弦定理得sin bsin asin acos b.在abc中，sin a0，即得tan b.b(0，)，b.(2)sin c2sin a，由正弦定理得c2a，由余弦定理b2a2c22accos b，即9a24a22a2acos ，解得a，c2a2.考点二三角形的面积方法技巧三角形面积的求解策略(1)若所求面积的图形为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为三角形的面积.(2)若所给条件为边角关系，则运用正弦、余弦定理求出其两边及其夹角，再利用三角形面积公式求解.5.(2016全国)abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知2cos c(acos bbcos a)c.(1)求角c的大小；(2)若c，abc的面积为，求abc的周长.解(1)由已知及正弦定理得，2cos c(sin acos bsin bcos a)sin c，2cos csin(ab)sin c，故2sin ccos csin c.因为0c，所以cos c，所以c.(2)由已知，absin c，又c，所以ab6，由已知及余弦定理得，a2b22abcos c7，故a2b213，从而(ab)225，可得ab5.所以abc的周长为5.6.在abc中，已知c，向量m(sin a，1)，n(1，cos b)，且mn.(1)求a的大小；(2)若点d在边bc上，且3，ad，求abc的面积.解(1)由题意知mnsin acos b0，又c，abc，所以sin acos0.所以sin acos asin a0，即sin0.又0a，所以a，所以a0，即a.(2)设|x，由3，得|3x，由(1)知，ac，所以|3x，b.在abd中，由余弦定理，得()2(3x)2x223xxcos ，解得x1，所以abbc3，所以sabcbabcsin b33sin .7.(2017全国)abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知sin(ac)8sin2.(1)求cos b的值；(2)若ac6，abc面积为2，求b.解(1)由题设及abc，得sin b8sin2，故sin b4(1cos b).上式两边平方，整理得17cos2b32cos b150，解得cos b1(舍去)或cos b.故cos b.(2)由cos b，得sin b，故sabcacsin bac.又sabc2，则ac.由余弦定理及ac6，得b2a2c22accos b(ac)22ac(1cos b)3624.所以b2.8.(2017延边州一模)已知函数f(x)sin2xsin2，函数f(x)的图象关于直线x对称.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，若a1，f，求abc面积的最大值.解(1)f(x)cos 2xcoscos 2xcos 2xsin 2xsin.令2xk，解得x，kz.f(x)的对称轴为x，kz.令，解得，kz.1，当k1时，f(x)sin.f(x)的最小正周期t.(2)fsin，sin.a.由余弦定理得，cos a，b2c2bc12bc，bc1.sabcbcsin abc，abc面积的最大值是.考点三解三角形的综合问题方法技巧(1)题中的关系式可以先利用三角变换进行化简.(2)和三角形有关的最值问题，可以转化为三角函数的最值问题，要注意其中角的取值.(3)和平面几何有关的问题，不仅要利用三角函数和正弦、余弦定理，还要和三角形、平行四边形的一些性质结合起来.9.(2017天津)在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c.已知ab，a5，c6，sin b.(1)求b和sin a的值；(2)求sin的值.解(1)在abc中，因为ab，所以由sin b，得cos b.由已知及余弦定理，得b2a2c22accos b13，所以b.由正弦定理，得sin a.所以b的值为，sin a的值为.(2)由(1)及ac，得cos a，所以sin 2a2sin acos a，cos 2a12sin2a.所以sinsin 2acoscos 2asin.10.abc的三个角a，b，c所对的边分别为a，b，c，1.(1)求角a的大小；(2)若abc为锐角三角形，求函数y2sin2b2sin bcos c的取值范围.解(1)因为1，所以由正弦定理，得1.因为abc，所以sin(ab)sin c，所以，因为sin c0，sin b0，所以cos a，故a.(2)因为abc，a，所以bc.所以y2sin2b2sin bcos c1cos 2b2sin bcos1cos 2bsin bcos bsin2b1cos 2bsin 2bcos 2bsin 2bcos 2bsin.又abc为锐角三角形，所以b2b，所以ysin.故函数y2sin2b2sin bcos c的取值范围是.11.(2017咸阳二模)设函数f(x)sin xcos xsin2(xr)，(1)求函数f(x)的单调区间；(2)在锐角abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c.若f0，c2，求abc面积的最大值.解(1)函数f(x)sin xcos xsin2(xr).化简可得f(x)sin 2xsin 2x.令2k2x2k(kz)，则kxk(kz)，即f(x)的递增区间为(kz).令2k2x2k(kz)，则kxk(kz)，即f(x)的递减区间为(kz).(2)由f0，得sin c，又因为abc是锐角三角形，所以c.由余弦定理得c2a2b22abcos c，将c2，c代入得4a2b2ab，由基本不等式得a2b24ab2ab，即ab4(2)，所以sabcabsin c4(2)2，即abc面积的最大值为2.12.在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且m(2ac，cos c)，n(b，cos b)，mn.(1)求角b的大小；(2)若b1，当abc的面积取得最大值时，求abc内切圆的半径.解(1)由已知可得(2ac)cos bbcos c，结合正弦定理可得(2sin asin c)cos bsin bcos c，即2sin acos bsin(bc)，又sin asin(bc)0，所以cos b，所以b.(2)由(1)得b，又b1，在abc中，b2a2c22accos b，所以12a2c2ac，即13ac(ac)2.又(ac)24ac，所以13ac4ac，即ac1，当且仅当ac1时取等号.从而sabcacsin bac，当且仅当ac1时，sabc取得最大值.设abc内切圆的半径为r，由sabc(abc)r，得r.例(12分)在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，向量m(ab，sin asin c)，向量n(c，sin asin b)，且mn.(1)求角b的大小；(2)设bc的中点为d，且ad，求a2c的最大值及此时abc的面积.审题路线图规范解答评分标准解(1)因为mn，所以(ab)(sin asin b)c(sin asin c)0，1分由正弦定理，可得(ab)(ab)c(ac)0，即a2c2b2ac. 3分由余弦定理可知，cos b.因为b(0，)，所以b.5分(2)设bad，则在bad中，由b可知，.由正弦定理及ad，有2，所以bd2sin ，ab2sincos sin ，所以a2bd4sin ，cabcos sin ，8分从而a2c2cos 6sin 4sin.由可知，所以当，即当时，a2c取得最大值4.11分此时a2，c，所以sabcacsin b.12分构建答题模板第一步找条件：分析寻找三角形中的边角关系.第二步巧转化：根据已知条件，选择使用的定理或公式，确定转化方向，实现边角互化.第三步得结论：利用三角恒等变换进行变形，得出结论.第四步再反思：审视转化过程的合理性.1.(2016山东)在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知2(tan atan b).(1)证明：ab2c；(2)求cos c的最小值.(1)证明由题意知，2.化简得2(sin acos bsin bcos a)sin asin b，即2sin(ab)sin asin b，因为abc，所以sin(ab)sin(c)sin c，从而sin asin b2sin c，由正弦定理得ab2c.(2)解由(1)知c，所以cos c，当且仅当ab时，等号成立，故cos c的最小值为.2.已知abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，a为锐角，向量m(2sin a，)，n，且mn.(1)求a的大小；(2)如果a2，求abc面积的最大值.解(1)由mn，可得2sin acos 2a0，即2sin acos acos 2a0，所以sin 2acos 2a，即tan 2a.因为a为锐角，故02a180，所以2a120，a60.(2)如果a2，在abc中，由余弦定理a2b2c22bccos a，可得4b2c2bc2bcbcbc，即bc4，所以sbcsin a4，故abc面积的最大值为.3.在海岸a处，发现北偏东45方向距a为1海里的b处有一艘走私船，在a处北偏西75方向，距a为2海里的c处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/小时的速度从b处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间.(注：2.449)解设缉私船追上走私船所需时间为t小时，如图所示，则cd10t海里，bd10t海里.在abc中，因为ab(1)海里，ac2海里，bac4575120，根据余弦定理，可得bc(海里).根据正弦定理，可得sinabc.所以abc45，易知cb方向与正北方向垂直，从而cbd9030120.在bcd中，根据正弦定理，可得sinbcd，所以bcd30，bdc30，所以dbbc海里.则有10t，t0.245(小时)14.7(分钟).故缉私船沿北偏东60方向，最快需约14.7分钟才能追上走私船.4.(2017济南一模)已知f(x)2sin xcos xcos(2x).(1)求f(x)的单调增区间；(2)在abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c，若f(c)1，c，ab2，求abc的面积.解(1)f(x)2sin xcos xcos(2x).化简可得f(x)sin2xcos 2x2sin.由2k2x2k，kz，得kxk，kz.f(x)的单调增区间为，kz.(2)由(1)可知，f(x)2sin.f(c)1，即2sin1，0c，可得2c，c.由ab2，可得a2b2122ab.c，根据余弦定理cos