（江苏专版）2019版高考数学一轮复习 第二十一章 概率统计 21.2 相互独立事件、n次独立重复试验的模型及二项分布讲义.doc

21.2相互独立事件、n次独立重复试验的模型及二项分布五年高考考点一相互独立事件1.(2015课标改编,4,5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为.答案0.6482.(2015湖南,18,12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球.在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为x,求x的分布列和数学期望.解析(1)记事件a1=从甲箱中摸出的1个球是红球,a2=从乙箱中摸出的1个球是红球,b1=顾客抽奖1次获一等奖,b2=顾客抽奖1次获二等奖,c=顾客抽奖1次能获奖.由题意,得a1与a2相互独立,a1a2与a1a2互斥,b1与b2互斥,且b1=a1a2,b2=a1a2+a1a2,c=b1+b2.因为p(a1)=410=25,p(a2)=510=12,所以p(b1)=p(a1a2)=p(a1)p(a2)=2512=15,p(b2)=p(a1a2+a1a2)=p(a1a2)+p(a1a2)=p(a1)p(a2)+p(a1)p(a2)=p(a1)1-p(a2)+1-p(a1)p(a2)=251-12+1-2512=12.故所求概率为p(c)=p(b1+b2)=p(b1)+p(b2)=15+12=710.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为15,所以xb3,15.于是p(x=0)=c30150453=64125,p(x=1)=c31151452=48125,p(x=2)=c32152451=12125,p(x=3)=c33153450=1125.故x的分布列为x0123p6412548125121251125x的数学期望为e(x)=315=35.3.(2014山东,18,12分)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不相交的区域a,b,乙被划分为两个不相交的区域c,d,某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在c上记3分,在d上记1分,其他情况记0分.对落点在a上的来球,队员小明回球的落点在c上的概率为12,在d上的概率为13;对落点在b上的来球,小明回球的落点在c上的概率为15,在d上的概率为35.假设共有两次来球且落在a,b上各一次,小明的两次回球互不影响.求:(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;(2)两次回球结束后,小明得分之和的分布列与数学期望.解析(1)记ai为事件“小明对落点在a上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),则p(a3)=12,p(a1)=13,p(a0)=1-12-13=16;记bi为事件“小明对落点在b上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),则p(b3)=15,p(b1)=35,p(b0)=1-15-35=15.记d为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”.由题意得,d=a3b0+a1b0+a0b1+a0b3,由事件的独立性和互斥性,得p(d)=p(a3b0+a1b0+a0b1+a0b3)=p(a3b0)+p(a1b0)+p(a0b1)+p(a0b3)=p(a3)p(b0)+p(a1)p(b0)+p(a0)p(b1)+p(a0)p(b3)=1215+1315+1635+1615=310,所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310.(2)随机变量可能的取值为0,1,2,3,4,6,由事件的独立性和互斥性,得p(=0)=p(a0b0)=1615=130,p(=1)=p(a1b0+a0b1)=p(a1b0)+p(a0b1)=1315+1635=16,p(=2)=p(a1b1)=1335=15,p(=3)=p(a3b0+a0b3)=p(a3b0)+p(a0b3)=1215+1516=215,p(=4)=p(a3b1+a1b3)=p(a3b1)+p(a1b3)=1235+1315=1130,p(=6)=p(a3b3)=1215=110.可得随机变量的分布列为012346p13016152151130110所以数学期望e=0130+116+215+3215+41130+6110=9130.4.(2014大纲全国,20,12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)x表示同一工作日需使用设备的人数,求x的数学期望.解析记ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2,b表示事件:甲需使用设备,c表示事件:丁需使用设备,d表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.(1)d=a1bc+a2b+a2bc,p(b)=0.6,p(c)=0.4,p(ai)=c2i0.52,i=0,1,2,(3分)所以p(d)=p(a1bc+a2b+a2bc)=p(a1bc)+p(a2b)+p(a2bc)=p(a1)p(b)p(c)+p(a2)p(b)+p(a2)p(b)p(c)=0.31.(6分)(2)x的可能取值为0,1,2,3,4,则p(x=0)=p(ba0c)=p(b)p(a0)p(c)=(1-0.6)0.52(1-0.4)=0.06,p(x=1)=p(ba0c+ba0c+ba1c)=p(b)p(a0)p(c)+p(b)p(a0)p(c)+p(b)p(a1)p(c)=0.60.52(1-0.4)+(1-0.6)0.520.4+(1-0.6)20.52(1-0.4)=0.25,p(x=4)=p(a2bc)=p(a2)p(b)p(c)=0.520.60.4=0.06,p(x=3)=p(d)-p(x=4)=0.25,p(x=2)=1-p(x=0)-p(x=1)-p(x=3)-p(x=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,(10分)数学期望ex=0p(x=0)+1p(x=1)+2p(x=2)+3p(x=3)+4p(x=4)=0.25+20.38+30.25+40.06=2.(12分)教师用书专用(5)5.(2013陕西理,19,12分)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(2)x表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求x的分布列及数学期望.解析(1)设a表示事件“观众甲选中3号歌手”,b表示事件“观众乙选中3号歌手”,则p(a)=c21c32=23,p(b)=c42c53=35.事件a与b相互独立,观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为p(ab)=p(a)p(b)=p(a)1-p(b)=2325=415.或p(ab)=c21c43c32c53=415.(2)设c表示事件“观众丙选中3号歌手”,则p(c)=c42c53=35,x可能的取值为0,1,2,3,且取这些值的概率分别为p(x=0)=p(abc)=132525=475,p(x=1)=p(ab c)+p(abc)+p(abc)=232525+133525+132535=2075,p(x=2)=p(abc)+p(abc)+p(abc)=233525+232535+133535=3375,p(x=3)=p(abc)=233535=1875,x的分布列为x0123p475207533751875x的数学期望ex=0475+12075+23375+31875=14075=2815.考点二n次独立重复试验的模型及二项分布1.(2016四川理,12,5分)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数x的均值是.答案322.(2015广东,13,5分)已知随机变量x服从二项分布b(n,p).若e(x)=30,d(x)=20,则p=.答案133.(2014陕西,19,12分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1 000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6(1)设x表示在这块地上种植1季此作物的利润,求x的分布列;(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率.解析(1)设a表示事件“作物产量为300 kg”,b表示事件“作物市场价格为6元/kg”,由题设知p(a)=0.5,p(b)=0.4,利润=产量市场价格-成本,x所有可能的取值为50010-1 000=4 000,5006-1 000=2 000,30010-1 000=2 000,3006-1 000=800.p(x=4 000)=p(a)p(b)=(1-0.5)(1-0.4)=0.3,p(x=2 000)=p(a)p(b)+p(a)p(b)=(1-0.5)0.4+0.5(1-0.4)=0.5,p(x=800)=p(a)p(b)=0.50.4=0.2,所以x的分布列为x4 0002 000800p0.30.50.2(2)设ci表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i=1,2,3),由题意知c1,c2,c3相互独立,由(1)知,p(ci)=p(x=4 000)+p(x=2 000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),3季的利润均不少于2 000元的概率为p(c1c2c3)=p(c1)p(c2)p(c3)=0.83=0.512;3季中有2季利润不少于2 000元的概率为p(c1c2c3)+p(c1c2c3)+p(c1c2c3)=30.820.2=0.384,所以,这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512+0.384=0.896.教师用书专用(4)4.(2014四川,17,12分)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为12,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为x,求x的分布列;(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.解析(1)x可能的取值为10,20,100,-200.根据题意,有p(x=10)=c311211-122=38,p(x=20)=c321221-121=38,p(x=100)=c331231-120=18,p(x=-200)=c301201-123=18.所以x的分布列为x1020100-200p38381818(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件ai(i=1,2,3),则p(a1)=p(a2)=p(a3)=p(x=-200)=18.所以,“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1-p(a1a2a3)=1-183=1-1512=511512.因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(3)x的数学期望为ex=1038+2038+10018-20018=-54.这表明,获得的分数x的均值为负.因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.三年模拟a组20162018年模拟基础题组考点一相互独立事件1.(2018江苏徐州铜山中学期中)某同学在上学路上要经过a,b,c三个有红绿灯的路口,已知他在a,b,c三个路口遇到红灯的概率依次是13,14,34,遇到红灯时停留的时间依次是40秒,20秒,80秒,且在各个路口遇到红灯是相互独立的.(1)求这名同学在第三个路口c首次遇到红灯的概率;(2)记这名同学因遇到红灯停留的总时间为x秒,求x的概率分布与期望e(x).解析(1)设这名同学在第三个路口c首次遇到红灯为事件m,因为事件m等于事件“这名同学在第一个路口a和第二个路口b都没有遇到红灯,在第三个路口c遇到红灯”,所以p(m)=1-131-1434=38.答:这名同学在第三个路口c首次遇到红灯的概率为38.(2)x的所有可能取值为0,20,40,60,80,100,120,140(单位:秒).p(x=0)=1-131-141-34=18;p(x=20)=1-13141-34=124;p(x=40)=131-141-34=116;p(x=60)=13141-34=148;p(x=80)=1-131-1434=38;p(x=100)=1-131434=18;p(x=120)=131-1434=316;p(x=140)=131434=116.所以x的分布列为x020406080100120140p181241161483818316116所以e(x)=018+20124+40116+60148+8038+10018+120316+140116=2353秒.2.(苏教选23,二,2,3,变式)学生语、数、英三科考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率分别为0.9,0.8,0.85,求一次考试中,(1)三科成绩均未获得第一名的概率;(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率.解析分别记该学生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为a,b,c,则a、b、c两两相互独立且p(a)=0.9,p(b)=0.8,p(c)=0.85.(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用a b c表示.p(a b c)=p(a)p(b)p(c)=1-p(a)1-p(b)1-p(c)=(1-0.9)(1-0.8)(1-0.85)=0.003.即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用abc+abc+abc表示.由于事件abc,abc和abc两两互斥,根据概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式,可知所求的概率p(abc)+p(abc)+p(abc)=p(a)p(b)p(c)+p(a)p(b)p(c)+p(a)p(b)p(c)=1-p(a)p(b)p(c)+p(a)1-p(b)p(c)+p(a)p(b)1-p(c)=(1-0.9)0.80.85+0.9(1-0.8)0.85+0.90.8(1-0.85)=0.329.即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.考点二n次独立重复试验的模型及二项分布3.(苏教选23,二,5,变式)袋子a和b中装有若干个均匀的红球和白球,从a中摸出一个红球的概率为13,从b中摸出一个红球的概率为p.(1)从a中有放回地摸球,每次摸出一个,共摸5次.求:恰好有3次摸到红球的概率;仅在第一次,第三次,第五次摸到红球的概率;(2)若a,b两袋中球数之比为12,将a,b中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是25,求p的值.解析(1)所求概率p1=c53133232=1012749=40243.所求概率p2=133232=4243.(2)设袋子a中有m个球,则袋子b中有2m个球,由题意知,m3+2mp3m=25,得p=1330.b组20162018年模拟提升题组(满分:30分时间:15分钟)解答题(共30分)1.(2017南京、盐城高三第一次模拟)某年级星期一至星期五每天下午排3节课,每天下午随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程),张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程.(1)求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率;(2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为x,求x的分布列与数学期望e(x).解析(1)这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率p=1-333=23.(2)x的可能取值为0,1,2,3,4,5,由题意得xb5,13,p(x=k)=c5k13k235-k,k=0,1,2,3,4,5.则p(x=0)=c50235=32243,p(x=1)=c51131234=80243,p(x=2)=c52132233=80243,p(x=3)=c53133232=40243,p(x=4)=c5413423=10243,p(x=5)=c55135=1243,所以x的分布列为x012345p32243802438024340243102431243所以x的数学期望e(x)=032243+802431+802432+402433+102434+12435=53.或e(x)=513=532.(2017江苏如皋高三上学期教学质量调研(三),23)已知两个城市之间由7条网线并联,这7条网线能够通过的信息量分别为1,2,2,2,3,3,3,现从中任选三条网线,设能够通过的信息总量为x,若能够通过的信息总量不小于8,则可以保持线路通畅.(1)求线路通畅的概率;(2)求线路通过信息量的概率分布及数学期望.解析(1)记“线路通畅”为事件a,则事件a包含x=8和x=9两个事件,且它们互斥,p(x=8)