（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.9 函数模型及其应用教师用书 理 苏教版.doc

第二章 函数概念与基本初等函数i 2.9 函数模型及其应用教师用书 理 苏教版1.几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数且a0)反比例函数模型f(x)b(k，b为常数且k0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数模型f(x)axnb(a，b为常数，a0)2.三种函数模型的性质函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxn0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(，和，)上单调递增，在，0)和(0，上单调递减.(2)当x0时，x时取最小值2，当x0时，x时取最大值2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.()(2)幂函数增长比直线增长更快.()(3)不存在x0，使1)的增长速度会超过并远远大于yxa(a0)的增长速度.()(5)“指数爆炸”是指数型函数yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比喻.()1.(教材改编)某商人将彩电先按原价提高40%，然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚270元，那么每台彩电原价是_元.答案2 250解析设每台原价是a元，则a(140%)80%a270，解得a2 250.2.(教材改编)某汽车油箱中存油22千克，油从管道中匀速流出，200分钟流尽，油箱中剩油量y(千克)与流出时间x(分钟)之间的函数关系式为_.答案y22x(0x200)解析流速为，x分钟可流x，则y22x(0x200).3.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为_.答案1解析设年平均增长率为x，则(1x)2(1p)(1q)，x1.4.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_.答案3解析设隔墙的长度为x(0x6)，矩形面积为y，则yx2x(6x)2(x3)218，当x3时，y最大.5.(教材改编)有两个相同的桶，由甲桶向乙桶输水，开始时，甲桶有a l水，t min后，剩余水y l满足函数关系yaent，那么乙桶的水就是yaaent，假设经过5 min，甲桶和乙桶的水相等，则再过_ min，甲桶中的水只有 l.答案10解析由题意可得，5 min时，ae5na，nln 2，那么a，t15，即再过10 min，甲桶中的水只有 l.题型一用函数图象刻画变化过程例1某民营企业生产a、b两种产品，根据市场调查和预测，a产品的利润与投资成正比，其关系如图所示；b产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图所示(单位：万元).分别将a、b两种产品的利润表示为投资的函数关系式.解设投资为x万元，a产品的利润为f(x)万元，b产品的利润为g(x)万元.由题意设f(x)k1x(x0)，g(x)k2(x0).由图知f(1)，k1.由图知g(4)，k2.f(x)x(x0)，g(x)(x0).思维升华判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式.其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(min)与通话费y(元)的关系如图所示.(1)分别求出通话费y1、y2与通话时间x之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.解(1)设y1k1x29，y2k2x，把点b(300,35)，c(300，15)分别代入得k1，k2.y1x29，y2x.(2)令y1y2，即x29x，得x966.当x966时，两种卡收费一致；当x966时，y1y2，即“如意卡”便宜；当x966时，y1y2，即“便民卡”便宜.题型二已知函数模型的实际问题例2我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系.声音的强度用瓦/米2(w/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用l1表示，它们满足以下公式：l110 lg(单位为分贝，l10，其中i011012，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端).回答下列问题：(1)树叶沙沙声的强度是11012 w/m2，耳语的强度是11010 w/m2，恬静的无线电广播的强度是1108 w/m2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度i的范围为多少？解(1)由题意知树叶沙沙声的强度水平为l210 lg10 lg 10(分贝)；耳语的强度水平为l310 lg 10 lg10220(分贝)；恬静的无线电广播的强度水平为l410 lg 10lg 10440(分贝).(2)由题意知0l150，即010lg 50，所以1105，即11012i1107.所以新建的安静小区的声音强度i大于等于11012 w/m2，同时小于1107 w/m2.思维升华求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3)利用该模型求解实际问题.(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为_kg.(2)我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税.已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元(叫做税率x%)，则每年销售量将减少10x万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为_.答案(1)19(2)2解析(1)由图象可求得一次函数的解析式为y30x570，令30x5700，解得x19.(2)由分析可知，每年此项经营中所收取的附加税额为104(10010x)70，令104(10010x)70112104，解得2x8.故x的最小值为2.题型三构造函数模型的实际问题命题点1构造二次函数模型例3将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定_元.答案95解析设每个售价定为x元，则利润y(x80)400(x90)2020(x95)2225.当x95时，y最大.命题点2构造指数函数、对数函数模型例4光线通过一块玻璃，强度要损失10%.设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后强度为y.(1)写出y关于x的函数解析式；(2)至少通过多少块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下？(参考数据：lg 20.301 0，lg 30.477 1)解(1)光线通过1块玻璃后，强度y(110%)k0.9k；光线通过2块玻璃后，强度y(110%)0.9k0.92k；光线通过3块玻璃后，强度y(110%)0.92k0.93k；光线通过x块玻璃后，强度y0.9xk.故y关于x的函数解析式为y0.9xk(xn*).(2)由题意，得0.9xk，即0.9x，两边取对数，得xlg 0.9lg.因为lg 0.9.又13.14，且xn*，所以xmin14.故至少通过14块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下.命题点3构造分段函数模型例5(2017盐城质检)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当0x200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/小时)解(1)由题意可知当0x20时，v(x)60；当20x200时，设v(x)axb，显然v(x)axb在20,200上是减函数，由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)(2)依题意并由(1)可得f(x)当0x400时，y60 000100x20 000，综上，当该门面经营的天数为300时，总利润最大为25 000元.2.函数应用问题典例(14分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为r(x)万美元，且r(x)(1)写出年利润w(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.思维点拨根据题意，要利用分段函数求最大利润.列出解析式后，比较二次函数和“对勾”函数的最值的结论.规范解答解(1)当040时，wxr(x)(16x40)16x7 360.所以w5分(2)当040时，w16x7 360，由于16x21 600，当且仅当16x，即x50(40，)时，取等号，所以w取最大值为5 760.12分综合知，当x32时，w取得最大值6 104万美元.14分解函数应用题的一般程序第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.1.某商品定价为每件60元，不加收附加税时年销售量约80万件，若征收附加税，税率为p，且年销售量将减少p万件.则每年征收的税金y关于税率p的函数关系为_.答案y60(80p)p解析征收附加税后年销售为(80p)万件，故每年征收的税金y60(80p)p.2.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量c与时间t(年)的函数关系图象正确的是_.答案解析前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有，图象符合要求，而后3年年产量保持不变.3.(教材改编)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了_ km.答案9解析出租车行驶不超过3 km，付费9元；出租车行驶8 km，付费92.15(83)19.75元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，故出租车行驶里程超过8 km，且22.619.752.85，所以此次出租车行驶了819 km.4.(2017盐城月考)某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按每立方米m元收费；用水超过10 m3的，超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为_ m3.答案13解析设该职工用水x m3时，缴纳的水费为y元，由题意得y则10m(x10)2m16m，解得x13.5.(2016北京朝阳区统一考试)设某公司原有员工100人从事产品a的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0x100，xn*)人去进行新开发的产品b的生产.分流后，继续从事产品a生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品a的年产值不减少，则最多能分流的人数是_.答案16解析由题意，分流前每年创造的产值为100t(万元)，分流x人后，每年创造的产值为(100x)(11.2x%)t，则由解得0x.因为xn*，所以x的最大值为16.6.(2016南通模拟)某汽车销售公司在a，b两地销售同一种品牌的汽车，在a地的销售利润(单位：万元)为y14.1x0.1x2，在b地的销售利润(单位：万元)为y22x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是_万元.答案43解析设公司在a地销售该品牌的汽车x辆，则在b地销售该品牌的汽车(16x)辆，所以可得利润y4.1x0.1x22(16x)0.1x22.1x320.1(x)20.132.因为x0,16且xn，所以当x10或11时，总利润取得最大值43万元.7.(2016四川改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是_年.(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)答案2019解析设x年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，130(112%)x200，解得xlog1.123.80，因资金需超过200万，则x取4，即2019年.8.(2016苏州模拟)某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为yekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k_，经过5小时，1个病毒能繁殖为_个.答案2ln 21 024解析当t0.5时，y2，2，k2ln 2，ye2tln 2，当t5时，ye10ln 22101 024.9.(2016淮安模拟)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_m.答案20解析设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得，解得y40x，所以面积sx(40x)x240x(x20)2400(0xa)以及实数x(0x1)确定实际销售价格cax(ba).这里，x被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(ca)是(bc)和(ba)的等比中项.据此可得，最佳乐观系数x的值等于_.答案解析依题意得x，(ca)2(bc)(ba)，bc(ba)(ca)，(ca)2(ba)2(ba)(ca)，两边同除以(ba)2，得x2x10，解得x.0x1，x.11.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量q之间的关系为vablog3(其中a、b是实数).据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a、b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？解(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，故有ablog30，即ab0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，故ablog31，整理得a2b1.解方程组得(2)由(1)知，v1log3.所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有v2，即1log32，即log33，解得q270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270