（重点班）高三数学一轮复习 第九篇 平面解析几何 第6节 曲线与方程课时训练 理.doc

第6节曲线与方程 【选题明细表】知识点、方法题号曲线与方程1,3,6直接法求轨迹(方程)2,7,10,14,15定义法求轨迹(方程)4,5,8,11相关点法求轨迹(方程)12,13参数法求轨迹(方程)9,16基础对点练(时间:30分钟)1.方程(x2+y2-4)x+y+1=0的曲线形状是(c)解析:原方程可化为x2+y2-4=0,x+y+10或x+y+1=0.显然方程表示直线x+y+1=0和圆x2+y2-4=0在直线x+y+1=0的右上方部分,故选c.2.已知两定点a(-2,0),b(1,0),如果动点p满足|pa|=2|pb|,则动点p的轨迹是(b)(a)直线(b)圆(c)椭圆(d)双曲线解析:设p(x,y),则(x+2)2+y2=2(x-1)2+y2,整理得x2+y2-4x=0,又d2+e2-4f=160,所以动点p的轨迹是圆.3.(2015淄博模拟)方程xy2-x2y=8x的图象(b)(a)关于y轴对称(b)关于原点对称(c)关于直线x+y=0对称(d)关于直线x-y=0对称解析:方程中以-x代x,方程改变,故图象不关于y轴对称,a错误;方程中以-x代x,-y代y,方程不变,故图象关于原点对称,b正确;方程中以-x代y,-y代x,方程改变,故图象不关于x+y=0对称,c错误;方程中以x代y,y代x,方程改变,故图象不关于y=x对称,d错误.故选b.4.(2016银川模拟)已知点p是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点m(-1,2),q是线段pm延长线上的一点,且|pm|=|mq|,则q点的轨迹方程是(d)(a)2x+y+1=0(b)2x-y-5=0(c)2x-y-1=0(d)2x-y+5=0解析:设q(x,y),则p为(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0得q点的轨迹方程为2x-y+5=0.5.设圆(x+1)2+y2=25的圆心为c,a(1,0)是圆内一定点,q为圆周上任一点.线段aq的垂直平分线与cq的连线交于点m,则m的轨迹方程为(d)(a)4x221-4y225=1(b)4x221+4y225=1(c)4x225-4y221=1(d)4x225+4y221=1解析:因为m为aq垂直平分线上一点,则|am|=|mq|,所以|mc|+|ma|=|mc|+|mq|=|cq|=5,故m的轨迹是以定点c,a为焦点的椭圆.所以a=,c=1,则b2=a2-c2=214,所以椭圆的方程为4x225+4y221=1.6.(2015山西联考)已知圆锥曲线mx2+4y2=4m的离心率e为方程2x2-5x+2=0的根,则满足条件的圆锥曲线的个数为(b)(a)4(b)3(c)2(d)1解析:因为e是方程2x2-5x+2=0的根,所以e=2或e=.mx2+4y2=4m可化为+=1,当它表示焦点在x轴上的椭圆时,有4-m2=,所以m=3;当它表示焦点在y轴上的椭圆时,有m-4m=,所以m=163;当它表示焦点在x轴上的双曲线时,可化为-y2-m=1,有4-m2=2,所以m=-12.所以满足条件的圆锥曲线有3个.7.在平面直角坐标系中,o为坐标原点,已知两点a(-2,1),b(-1,3),若点c满足oc=oa+ob,其中,0,1且+=1,则点c的轨迹方程是.解析:设c(x,y),则x=-2-,y=+3,整理得=-3x+y5,=x+2y5,将其代入+=1中整理得2x-y+5=0,又x=-2-=-2-(1-)=-1-2,-1,所以点c的轨迹方程是2x-y+5=0,x-2,-1.答案:2x-y+5=0,x-2,-18.abc的顶点a(-5,0),b(5,0),abc的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点c的轨迹方程是.解析:如图,|ad|=|ae|=8, |bf|=|be|=2,|cd|=|cf|,所以|ca|-|cb|=8-2=6,根据双曲线定义,所求轨迹是以a,b为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,故方程为-y216=1(x3).答案:-y216=1(x3)9.(2015聊城一模)在平面直角坐标系中,o为坐标原点,a(1,0),b(2,2),若点c满足oc=oa+t(ob-oa),其中tr,则点c的轨迹方程是.解析:设c(x,y),则oc=(x,y),oa+t(ob-oa)=(1+t,2t),所以x=t+1,y=2t,消去参数t得点c的轨迹方程为y=2x-2.答案:y=2x-210.已知两点m(-1,0),n(1,0),且点p使mpmn,pmpn,nmnp成公差小于零的等差数列,求点p的轨迹方程.解:设点p的坐标为(x,y),则mpmn=(x+1,y)(2,0)=2(x+1),pmpn=(-1-x,-y)(1-x,-y)=x2+y2-1,nmnp=(-2,0)(x-1,y)=2(1-x),根据已知得2pmpn=mpmn+nmnp,即2(x2+y2-1)=2(1+x)+2(1-x),化简得x2+y2=3,又由公差小于0可知 2(1-x)-2(1+x)0,所以点p的轨迹方程为x2+y2=3(x0).11.(2015唐山一模)已知圆o:x2+y2=4,点a(3,0),以线段ab为直径的圆内切于圆o,记点b的轨迹为. (1)求曲线的方程;(2)直线ab交圆o于c,d两点,当b为cd的中点时,求直线ab的方程.解:(1)设ab的中点为m,切点为n,连接om,mn(图略),则|om|+|mn|=|on|=2,取a关于y轴的对称点a,连接ab,故|ab|+|ab|=2(|om|+|mn|)=4.所以点b的轨迹是以a,a为焦点,长轴长为4的椭圆.其中,a=2,c=3,b=1,则曲线的方程为+y2=1.(2)因为b为cd的中点,所以obcd,则obab.设b(x0,y0),则x0(x0-3)+y02=0.又+y02=1,解得x0=23,y0=23.则kob=22,kab=2,则直线ab的方程为y=2(x-3),即2x-y-6=0或2x+y-6=0.能力提升练(时间:15分钟)12.(2016洛阳模拟)设过点p(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于a,b两点,点q与点p关于y轴对称,o为坐标原点.若bp=2pa,且oqab=1,则点p的轨迹方程是(a)(a)x2+3y2=1(x0,y0)(b)x2-3y2=1(x0,y0)(c)3x2-y2=1(x0,y0)(d)3x2+y2=1(x0,y0)解析:设a(a,0),b(0,b),a0,b0,由bp=2pa,得(x,y-b)=2(a-x,-y),即a=x0,b=3y0.点q(-x,y),故由oqab=1,得(-x,y)(-a,b)=1,即ax+by=1.将a,b代入ax+by=1得所求的轨迹方程为x2+3y2=1(x0,y0).13.(2015东营模拟)如图所示,在平面直角坐标系xoy中,a(1,0),b(1,1),c(0,1).映射f将xoy平面上的点p(x,y)对应到另一个平面直角坐标系uov上的点p(2xy,x2-y2),则当点p沿着折线abc运动时,在映射f的作用下,动点p的轨迹是(d) 解析:当p沿ab运动时,x=1,设p(x,y),则x=2y,y=1-y2,(0y1)所以y=1-x24(0x2,0y1).当p沿bc运动时,y=1,则x=2x,y=x2-1(0x1),所以y=x24-1(0x2,-1y0),由此可知p的轨迹如d所示,故选d.14.有一动圆p恒过定点f(a,0)(a0)且与y轴相交于点a、b,若abp为正三角形,则点p的轨迹方程为.解析:设p(x,y),动圆p的半径为r,由于abp为正三角形,所以p到y轴的距离d=32r,即|x|=32r.而r=|pf|=(x-a)2+y2,所以|x|=32(x-a)2+y2.整理得(x+3a)2-3y2=12a2,即(x+3a)212a2-y24a2=1.答案:(x+3a)212a2-y24a2=115.(2015长春高三调研)已知平面上的动点p (x, y)及两个定点a(-2,0),b(2,0),直线pa,pb的斜率分别为k1,k2且k1k2=-.(1)求动点p的轨迹c方程;(2)设直线l:y=kx+m与曲线 c交于不同两点m,n,当omon时,求o点到直线l的距离(o为坐标原点).解:(1)设p(x,y),由已知得yx+2yx-2=-,整理得x2+4y2=4,即+y2=1(x2).(2)设m(x1,y1),n(x2,y2)y=kx+m,x24+y2=1,消去y得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,由=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)0,得4k2+1-m20.x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4m2-44k2+1,因为omon,所以x1x2+y1y2=0,即x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,所以(1+k2)4m2-44k2+1+km(-8km4k2+1)+m2=0,所以m2=(k2+1)满足4k2+1-m20,所以o点到l的距离为d=|m|1+k2,即d2=m21+k2=,所以d=255.16.(2015湖州模拟)已知以c(2,0)为圆心的圆c和两条射线y=x(x0)都相切,设动直线l与圆c相切,并交两条射线于a,b,求线段ab中点m的轨迹方程.解:设直线l的方程为y=kx+b.a(x1,y1),b(x2,y2),m(x,y),由y=x,y=kx+b,得a(b1-k,b1-k) (k0).由y=-x,y=kx+b,得b(-b1+k,b1+k),所以x=x1+x22=kb1-k2,y=y1+y22=b1-k2,由得k=,b=y2-x2y,因为圆c与y=x都相切,所以圆c的半径r=2.因为ab:kx-y+b=0与圆c相切,所以|2k+b|k2+1=2,即2k2+4kb+b2-2=0,将代入得(y2-x2)2+4x(y2-x2)-2(y2-x2)=0,因为y2x2,所以y2-x2+4x-2=0,即(x-2)2-y2=2(y0),当lx轴时,线段ab的中点m(22,0)也符合上面的方程,其轨迹在aob内.精彩5分钟1.(2016泉州模拟)若曲线c上存在点m,使m到平面内两点a(-5,0),b(5,0)距离之差为8,则称曲线c为“好曲线”,以下曲线不是“好曲线”的是(b)(a)x+y=5(b)x2+y2=9(c)x225+=1(d)x2=16y解题关键:先确定m的轨迹,再研究各选项与m的轨迹的交点情况,即可得结论.解析:因为m到平面内两点a(-5,0),b(5,0)距离之差为8,所以m的轨迹是以a(-5,0),b(5,0)为焦点的双曲线的右支,方程为x216-=1(x4).a.直线x+y=5过点(5,0),满足题意;b. x2+y2=9圆心为(0,0),半径为3,与m的轨迹没有交点,不满足题意;c.x225+ =1的右顶点(5,0)满足题