辽宁省大连二十中高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年辽宁省大连二十中高三（上）期中数学试卷（理科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合p=3，log2a，q=a，b，若pq=0，则pq=（）a3，0b3，0，1c3，0，2d3，0，1，22若复数z满足i（z3）=1+3i（其中i是虚数单位），则z的实部为（）a6b1c1d63命题“若x1，则x0”的否命题是（）a若x1，则x0b若x1，则x0c若x1，则x0d若x1，则x04已知，则sin2x的值为（）abcd5在等差数列an中，若a2+a4+a6+a8+a10=80，则a7a8的值为（）a4b6c8d106一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的表面积为（）a144b124c104d847函数y=sinxcosx+cos2x的图象的一个对称中心是（）abcd8已知f（x）=，不等式f（x+a）f（2ax）在a，a+1上恒成立，则实数a的取值范围是（）a（，2）b（，0）c（0，2）d（2，0）9若对于任意的x1，0，关于x的不等式3x2+2ax+b0恒成立，则a2+b21的最小值为（）abcd10在abc中，若3cos2+5cos2=4，则tanc的最大值为（）abcd211已知三个互不重合的平面，且=a，=b，=c，给出下列命题：若ab，ac，则bc；若ab=p，则ac=p；若ab，ac，则；若ab，则ac其中正确命题个数为（）a1个b2个c3个d4个12已知函数，若f（m）+f（n）=1，则f（mn）的最小值为（）abcd二填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13若幂函数f（x）=xa的图象经过点a（4，2），则它在a点处的切线方程为14已知等差数列an的前n项和为sn，且满足，则数列an的公差是 15已知函数f（x）=|x22|，若f（a）=f（b），且0ab，则ab的取值范围是16已知点g是abc的重心，若a=120，=2，则|的最小值是三解答题：本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知函数f（x）=asin（x+）（a0，0，|）的一段图象如下所示（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调减区间，并指出f（x）的最大值及取到最大值时x的集合18已知函数f（x）=|2xa|+|2x+3|，g（x）=|x1|+2（1）解不等式|g（x）|5；（2）若对任意x1r，都有x2r，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围19如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为梯形，abcd，ad=cd=2ab=2，dab=60，pd平面abcd，m为pc的中点（）证明：bdpc；（）若pd=ad，求二面角dbmp的余弦值20在数列bn中，b1=2，bn+1=（nn*），求b2，b3，试判定bn与的大小，并加以证明21已知：函数f（x）=x3+mx在（0，1）上是增函数（1）求实数m的取值的集合a；（2）当m取集合a中的最小值时，定义数列an：满足a1=3，且an0，求数列an的通项公式（3）若bn=nan数列bn的前n项和为sn，求证：22设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b0（）当b=时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；（）当b时，求函数f（x）的极值点（）证明对任意的正整数n，不等式都成立2015-2016学年辽宁省大连二十中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合p=3，log2a，q=a，b，若pq=0，则pq=（）a3，0b3，0，1c3，0，2d3，0，1，2【考点】并集及其运算【专题】计算题【分析】根据集合p=3，log2a，q=a，b，若pq=0，则log2a=0，b=0，从而求得pq【解答】解：pq=0，log2a=0a=1从而b=0，pq=3，0，1，故选b【点评】此题是个基础题考查集合的交集和并集及其运算，注意集合元素的互异性，以及对数恒等式和真数是正数等基础知识的应用2若复数z满足i（z3）=1+3i（其中i是虚数单位），则z的实部为（）a6b1c1d6【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念【专题】计算题【分析】把给出的等式的左边展开，然后利用复数的除法运算求解复数z，则其实部可求【解答】解：由i（z3）=1+3i，得：iz=1+6i所以所以z的实部为6故选a【点评】本题考查了复数的基本概念，考查了复数的除法运算，复数的除法运算，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题3命题“若x1，则x0”的否命题是（）a若x1，则x0b若x1，则x0c若x1，则x0d若x1，则x0【考点】四种命题【专题】简易逻辑【分析】根据否命题的定义：“若p则q”的否命题是：“若p，则q”，所以应该选a【解答】解：根据否命题的定义，x1的否定是：x1；x0的否定是：x0，所以命题“若x1，则x0”的否命题是：“若x1，则x0”故选a【点评】考查否命题的定义4已知，则sin2x的值为（）abcd【考点】二倍角的正弦【专题】计算题【分析】解法1：利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简已知的等式，然后将化简后的等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可求出sin2x的值；解法2：令，求出x，原式变形为sin的值为，把x的值代入所求式子中，利用诱导公式化简后，再利用二倍角的余弦函数公式化简，将sin的值代入即可求出值【解答】解：法1：由已知得，两边平方得，求得；法2：令，则，所以故选d【点评】此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式及诱导公式，熟练掌握公式是解本题的关键5在等差数列an中，若a2+a4+a6+a8+a10=80，则a7a8的值为（）a4b6c8d10【考点】等差数列的性质【专题】整体思想【分析】利用等差数列的性质先求出a6的值，再用a1与d表示出a7a8，找出两者之间的关系，求解即可【解答】解：由已知得：（a2+a10）+（a4+a8）+a6=5a6=80，a6=16，设等差数列an首项为a1，公差为d，则a7a8=a1+6d（a1+7d）=（a1+5d）=a6=8故选c【点评】本题考查了等差数列的性质和通项公式，应用了基本量思想和整体代换思想等差数列的性质：an为等差数列，当m+n=p+q（m，n，p，qn+）时，am+an=ap+aq特例：若m+n=2p（m，n，pn+），则am+an=2ap6一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的表面积为（）a144b124c104d84【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题【分析】判断三视图复原的几何体是四棱锥，通过三视图的数据，求出几何体的表面积【解答】解：如图，此几何体是正四棱锥，其底面边长为8，侧面的斜高为5，从而表面积为底面面积加四个侧面面积，s=88+485=144故选a【点评】本题是基础题，考查三视图与直观图的关系，考查计算能力7函数y=sinxcosx+cos2x的图象的一个对称中心是（）abcd【考点】奇偶函数图象的对称性【分析】先根据二倍角公式将函数进行化简为y=sin（2x+），然后代入检验即可【解答】解： =sin（2x+）故原函数的对称中心的纵坐标一定是故排除cd将x=代入sin（2x+）不等于0，排除a故选b【点评】本题主要考查三角函数的二倍角公式和对称中心这种题型是每年高考中必考题目，做题第一步先将原函数化简再进行求解8已知f（x）=，不等式f（x+a）f（2ax）在a，a+1上恒成立，则实数a的取值范围是（）a（，2）b（，0）c（0，2）d（2，0）【考点】函数单调性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】根据二次函数的单调性容易判断出函数f（x）在r上单调递减，所以根据题意得到x+a2ax，即2xa在a，a+1上恒成立，所以只需满足2（a+1）a，解该不等式即得实数a的取值范围【解答】解：二次函数x24x+3的对称轴是x=2；该函数在（，0上单调递减；x24x+33；同样可知函数x22x+3在（0，+）上单调递减；x22x+33；f（x）在r上单调递减；由f（x+a）f（2ax）得到x+a2ax；即2xa；2xa在a，a+1上恒成立；2（a+1）a；a2；实数a的取值范围是（，2）故选：a【点评】考查二次函数的对称轴，二次函数的单调性，以及分段函数单调性的判断方法，函数单调性定义的运用，以及一次函数的单调性9若对于任意的x1，0，关于x的不等式3x2+2ax+b0恒成立，则a2+b21的最小值为（）abcd【考点】函数恒成立问题【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用【分析】根据题意，结合二次函数f（x）=3x2+2ax+b的图象得出不等式组，画出该不等式所表示的平面区域，设z=a2+b21，结合图形求圆a2+b2=1+z的半径的范围即可【解答】解：设f（a）=3x2+2ax+b，根据已知条件知：；该不等式表示的平面区域如图中阴影部分所示，设z=a2+b21，a2+b2=1+z；该方程表示以原点为圆心，半径为r=的圆；原点到直线2a+b+3=0的距离为d=；该圆的半径r=；解得z；a2+b21的最小值是故选：a【点评】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了线性规划的应用问题和直线方程、圆的方程以及数形结的应用问题，是综合性题目10在abc中，若3cos2+5cos2=4，则tanc的最大值为（）abcd2【考点】二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数【专题】解三角形【分析】在abc中，化简条件可得3cos（ab）+5cosc=0，tanatanb=，再利用基本不等式求得tana+tanb的最小值求得tanc=tan（a+b）的最小值，可得tanc的最大值【解答】解：在abc中，3cos2+5cos2=4，即3+5=4，化简可得 3cos（ab）+5cosc=0，（3cosacosb+3sinasinb）（5cosacosb5sinasinb）=0，2cosacosb+8sinasinb=0，4sinasinb=cosacosb，tanatanb=很明显，tana、tanb同号，又tana、tanb最多有一者小于0，tana、tanb均为正数，tana+tanb2=1，又tanc=tan（a+b），tanc=tan（a+b）=，tanc，tanc的最大值为，故选：b【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换、同角三角函数的基本关系、两角和差的三角函数，基本不等式的应用，属于中档题11已知三个互不重合的平面，且=a，=b，=c，给出下列命题：若ab，ac，则bc；若ab=p，则ac=p；若ab，ac，则；若ab，则ac其中正确命题个数为（）a1个b2个c3个d4个【考点】平面的基本性质及推论【分析】三个平面两两相交，交线平行或交于一点，故正确，当三条交线交于一点时，若ab，ac，则b，c夹角不确定，若ab，ac，则a，又a，得到，得到结论【解答】解：三个平面两两相交，交线平行或交于一点，故正确，当三条交线交于一点时，若ab，ac，则b，c夹角不确定，故不正确，若ab，ac，则a，又a，得到，故正确，综上可知三个命题正确，故选c【点评】本题考查平面的基本性质即推论，本题解题的关键是正确理解线面之间的位置关系，不要漏掉某种位置关系12已知函数，若f（m）+f（n）=1，则f（mn）的最小值为（）abcd【考点】函数的最值及其几何意义【专题】计算题；压轴题【分析】先根据函数f（x）的解析式和f（m）+f（n）=1用lnn表示出lnm，然后代入到f（mn）的表达式，最后由基本不等式可得答案【解答】解：f（x）=f（m）+f（n）=2=1lnm+1=f（mn）=1=1=1=1=11=（当且仅当，即n=m=e3时等号取到）故选b【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属中档题，使用基本不等式时注意等号成立的条件二填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13若幂函数f（x）=xa的图象经过点a（4，2），则它在a点处的切线方程为x4y+4=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题【分析】先设出幂函数的解析式，然后根据题意求出解析式，根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=4处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式即可【解答】解：f（x）是幂函数，设f（x）=x图象经过点（4，2），2=4=f（x）=f（x）=它在a点处的切线方程的斜率为f（4）=，又过点a（4，2）所以在a点处的切线方程为x4y+4=0故答案为：x4y+4=0【点评】本小题主要考查幂函数的定义和导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题14已知等差数列an的前n项和为sn，且满足，则数列an的公差是 2【考点】等差数列的性质【专题】计算题【分析】在题设条件的两边同时乘以6，然后借助前n项和公式进行求解【解答】解：，6a1+6d6a13d=6，d=2故答案为：2【点评】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意前n项和公式的灵活运用15已知函数f（x）=|x22|，若f（a）=f（b），且0ab，则ab的取值范围是（0，2）【考点】分段函数的应用；函数的图象【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数f（x）的表达式，结合条件f（a）=f（b），且0ab，确定a，b的取值范围，然后利用基本不等式即可得到结论【解答】解：f（x）=|x22|=，作出函数的图象如图：若f（a）=f（b），且0ab，则b，0a，则ab0，则由f（a）=f（b），得2a2=b22，即a2+b2=4，0ab，4=a2+b22ab，则ab2，综上0ab2，即ab的取值范围是（0，2），故答案为：（0，2）【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用分段函数的表达式作出函数的图象，利用数形结合以及基本不等式是解决本题的关键综合性较强，质量较高16已知点g是abc的重心，若a=120，=2，则|的最小值是【考点】向量的模；三角形五心【专题】计算题【分析】根据点g是abc的重心，故=（+），又由a=120，=2，我们可以求出|=4，进而根据基本不等式，求出|+|的取值范围，进而得到|的最小值【解答】解：a=120，=2，|=4，又点g是abc的重心，|=|+|=故答案为：【点评】本题考查的知识点是向量的模，三角形的重心，基本不等式，其中利用基本不等式求出|+|的取值范围是解答本题的关键，另外根据点g是abc的重心，得到=（+），也是解答本题的关键三解答题：本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知函数f（x）=asin（x+）（a0，0，|）的一段图象如下所示（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调减区间，并指出f（x）的最大值及取到最大值时x的集合【考点】由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性；三角函数的最值【专题】三角函数的图像与性质【分析】（1）由图象直接得到振幅a，和四分之三周期，所以周期可求，则可求，然后根据五点作图的第一点求得，则函数解析式可求；（2）直接由三角函数符号后面的相位在正弦函数的减区间内求得函数的减区间，由终边在y轴正半轴上的角的正弦值最大求出使函数取得最大值时的角x的集合【解答】解：（1）由图象可以得到函数f（x）的振幅a=3，设函数周期为t，则，所以t=5，则=，由x0+=0，得=0，所以=，所以f（x）=3sin（2）由，得，所以函数的减区间为（+5k，4+5k）kz函数f（x）的最大值为3，当且仅当，即时函数取得最大值所以函数的最大值为3，取得最大值时的x的集合为x|x=【点评】本题考查了根据函数的部分图象求函数解析式问题，考查了复合函数的增减性，解答此题的关键是求初相，运用的是五点作图的第一点，具体办法是看图象在y轴右侧与x轴的第一个交点是上升趋势还是下降趋势，若是上升趋势有x0+=0，若是下降趋势则有x0+=18已知函数f（x）=|2xa|+|2x+3|，g（x）=|x1|+2（1）解不等式|g（x）|5；（2）若对任意x1r，都有x2r，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】（1）利用|x1|+2|5，转化为7|x1|3，然后求解不等式即可（2）利用条件说明y|y=f（x）y|y=g（x），通过函数的最值，列出不等式求解即可【解答】解：（1）由|x1|+2|5，得5|x1|+257|x1|3，得不等式的解为2x4（2）因为任意x1r，都有x2r，使得f（x1）=g（x2）成立，所以y|y=f（x）y|y=g（x），又f（x）=|2xa|+|2x+3|（2xa）（2x+3）|=|a+3|，g（x）=|x1|+22，所以|a+3|2，解得a1或a5，所以实数a的取值范围为a1或a5【点评】本题考查函数的恒成立，绝对值不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用19如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为梯形，abcd，ad=cd=2ab=2，dab=60，pd平面abcd，m为pc的中点（）证明：bdpc；（）若pd=ad，求二面角dbmp的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；与二面角有关的立体几何综合题【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角【分析】（）利用线面垂直的判定定理，先证明bd底面pdc，然后利用线面垂直的性质证明：bdpc；（）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的大小【解答】（）证明：由余弦定理得bd=，bd2+ab2=ad2，abd=90，bdab，abcd，bddc，pd底面abcd，bd底面abcd，bdpd，又pddc=d，bd底面pdc，又pc面pdc，bdpc；（）解：已知ab=1，ad=cd=2，pd=1，由（）知bd底面pdc，以d为坐标原点，db为x轴，建立空间直角坐标系dxyz，如图：则d（0，0，0），b（，0，0），p（0，0，1），m（0，1，），则=（，0，0），=（0，1，），=（0，2，1），=（，2，0），设平面bdm的法向量为=（x，y，z），则令z=2，则y=1，可取=（0，1，2），同理设平面bmp的法向量为=（，1，2），cos，=，求二面角dbmp的余弦值为【点评】本题主要考查线面垂直的性质，以及空间二面角的大小，利用向量法解决空间角的关键是求出平面的法向量20在数列bn中，b1=2，bn+1=（nn*），求b2，b3，试判定bn与的大小，并加以证明【考点】数列递推式【专题】等差数列与等比数列【分析】b1=2，bn+1=（nn*），可得b2=，b3=猜想bn利用数学归纳法证明即可【解答】解：b1=2，bn+1=（nn*），b2=，b3=猜想bn下面利用数学归纳法证明：（1）当n=1时，b1=2成立（2）假设当n=kn*时，bk则bk+1=当n=k+1时，不等式bn综上可得：nn*，bn【点评】本题考查了数列的递推式、数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21已知：函数f（x）=x3+mx在（0，1）上是增函数（1）求实数m的取值的集合a；（2）当m取集合a中的最小值时，定义数列an：满足a1=3，且an0，求数列an的通项公式（3）若bn=nan数列bn的前n项和为sn，求证：【考点】数列与函数的综合；数列的求和【专题】综合题【分析】（1）由函数f（x）是增函数，利用导数得m3x2对任意x（0，1）恒成立，从而求出m的范围，即求出集合a；（2）由（1）中的m的最小值为3，得到f（x），从而将变形得到数列an1是首项为2，公比为3的等比数列，即可求数列an的通项公式；（3）由（2）可求bn=nan=2n3n1+nsn=2（130+231+332+n3n1）+（1+2+3+n），再利用错位相减法化简得到sn=，显然【解答】解：（1）f（x）=3x2+m0对任意x（0，1）恒成立，所以：m3x2对任意x（0，1）恒成立，得m3即a=3，+）（2）由m=3得：f（x）=x3+3x