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静电平衡和静电场问题 导体静电平衡条件 导体上的电荷分布 静电场唯一性定理 唯一性定理的应用 大竹县石河中学 胡禹QQ 44610501 1 导体静电平衡条件 2 导体静电平衡条件 静电平衡 导体上任何部分都没有电荷定向运动的现象 导体静电平衡条件 3 导体静电平衡条件 4 导体静电平衡条件 1 导体内部任何一点的场强等于0 2 导体表面任何一点的场强都垂直表面 反证法 设导体内部某点E 0 则该处有 此力将驱动电子运动 导体未达静电平衡 同理可证2 例如 在均匀场放入一导体的情况 导体静电平衡条件 5 静电平衡条件小结 2 导体表面附近的场强方向处处与它的表面垂直 2 导体表面是等势面 导体静电平衡条件 问题 电势表述如何证明 6 净电荷分布在导体表面 导体内处处无净电荷 导体内任取高斯面 实心导体 证 导体上的电荷分布 7 空腔导体 腔内无带电体时 净电荷分布在导体外表面 导体内表面处处无净电荷 在体内取一高斯面S 由高斯定理 可知 内表面电荷代数和为零 证明 已经证明导体实体部分处处无净电荷 现只需证明导体空腔的内表面上处处无净电荷 若内表面上有正负两种电荷 则 必有电力线由正电荷指向负电荷 与导体的静电平衡条件相矛盾 导体上的电荷分布 8 腔体内表面所带的电量和腔内带电体所带的电量等量异号 腔体外表面所带的电量由电荷守恒定律决定 腔内有带电体 思考 如何证明这个结论 导体上的电荷分布 9 导体表面附近场强 证 表面附近作圆柱形高斯面 一半在内 一半在外 其中 是导体表面的电荷面密度 导体上的电荷分布 10 即 导体表面的的电荷面密度与导体表面的曲率半径有关 曲率半径大处电荷密度低 即 表面上愈尖锐处电荷密度越大 导体表面的电荷分布 定性的证明 所以才有尖端放电现象 避雷针即利用尖端放电原理 导体上的电荷分布 11 导体上的电荷分布 12 静电屏蔽 以静电平衡为前提 空腔内有带电体的导体壳 设导体带电荷Q 空腔内有一带电体 q 则导体壳内表面所带电荷与腔内电荷的代数和为0 证明 在导体壳内作一高斯面S 由高斯定理 得证 由电荷守恒 S q 导体上的电荷分布 13 2020 1 8 14 讨论 1 腔内 q所处位置不同 对内外表面电荷分布及电场分布的影响 2 若将腔内带电体与导体壳连接 会出现什么情况 腔内无电荷分布 E内 0 屏蔽外场 3 若将导体壳接地 又会出现什么情况 屏蔽内场 导体壳外 E外 0 思考 空腔内如果没电荷呢 导体上的电荷分布 15 例题 半径为R的金属球与地相连接 在与球心相距d 2R处有一点电荷q 0 问球上的感应电荷q 解 利用金属球是等位体 球体上处处电位 球心处 Uo 0 U 0 q q 导体上的电荷分布 思考 如果不是导体球 而是其他形状的导体呢 16 例题 一金属平板 面积为S带电Q 在其旁放置第二块同面积的不带电金属板 求 1 静电平衡时 电荷分布及电场分布 2 若第二块板接地 忽略边缘效应 解 1 设四个面上电荷面度为 1 2 3 4 则有 如图取高斯柱面可得 导体内任意一点P 其电场E 0 联立求解 可得 导体上的电荷分布 17 按电场叠加原理可求得 2 第二板接地 则与大地构成一导体 同理可得 联立求解 导体上的电荷分布 18 静电场唯一性定理 问题提出 给定导体系中各导体的电量或电势以及各导体的形状 相对位置 统称边界条件 求空间电场分布 即在一定边界条件下求解 泊松方程 拉氏方程 边值问题 定理表述 边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定下来即给定边界条件后 不可能存在不同的静电场分布 该定理对包括静电屏蔽在内的许多静电问题的正确解释至关重要理论证明在电动力学中给出 p59给出物理上的论证 19 引理一 极大 极小 定理证明 在无电荷的空间里电势不可能有极大值和极小值 思考 阅读教材 简述证明过程 若所有导体的电势为0 则导体外空间的电势处处为0 引理二 思考 阅读教材 简述证明过程 若所有导体都不带电 则各导体的电势都相等 引理三 思考 阅读教材 简述证明过程 静电场唯一性定理 20 在给定各带电导体的几何形状 相对位置后 赋予两组边界条件 1 给定每个导体的电势U k 或总电量Q k 2 给定每个导体的电势U k 或总电量Q k 设U U 满足上述两条件 则它们的线性组合U aU bU 必满足条件3 3 给定每个导体的电势Uk aU k bU k 或总电量Qk Q kak bQ k 特例 取U k U k 则U U U a 1 b 1 满足4 给定每个导体的电势为0 叠加原理 静电场唯一性定理 21 给定每个导体电势的情形 定理证明 静电场唯一性定理 给定每个导体上总电量的情形 第k个导体上的电量 22 唯一性定理表明 一旦找到某种电荷分布 既不违背导体平衡特性 又是物理实在 则这种电荷分布就是唯一可能的分布 唯一性定理的应用 静电屏蔽的解释 23 像电荷 在一接地的无穷大平面导体前有一点电荷q求空间的电场分布和导体表面上的电荷分布基本思想 利用唯一性定理 边界条件确定了 解是唯一的 可以寻找合理的试探解 电像法 唯一性定理的应用 24 解 第一步 寻找像电荷对称性分析 确定像电荷位使球面上电势 0任取P点 利用叠加原理求出像电荷位置 对所有 都成立 即要求 例题 真空中有一半径为R的接地导体球 距球心为a a R 处有一点